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2.3.4平面与平面垂直的性质——修改使用版


任务:请在黑板上 画出一条垂直于地 面的直线!

活动(一)猜想与证明 【探究1】教室的黑板所在的平面与地面是 什么关系?在黑板上是否存在直线与地面 垂直?若存在,该怎样画线?
α

β

【探究2】如图,长方体ABCD—A1B1C1D1中, 平面A1ADD1与平面ABCD垂直,其交线为AD, 直线A1A,D1D都在平面A1ADD1内,且都与交线 AD垂直,这两条直线与平面ABCD垂直吗?
C1 D1 A1

B1 C B

【猜想】通过上述
D

探究,你能得出什么 结论?

A

大胆猜想:

若两个平面互相垂直,则 在一个平面内垂直交线的 直线与另一个平面垂直.

【推理证明】 已知:? ? ? , ? ? ? ? AB
CD ? ? , CD ? AB 求证:CD ? ?
α C D A B E

β

(活动二) 请用三种语言概括 平面与平面垂直的性质定理:

文字语言
若两个平面互相 垂直, 则在一个平面内 垂直交线 的直线与另一个 平面垂直.

图形语言
α l β

符号语言
若? ? ? ,

? ? ? ? m, l ? ?,
l ? m, 则l ? ?

m

【定理剖析】 1.这个定理实现了什么关系的转化?
面面垂直 线面垂直

2.这个定理的作用是什么? 判断线面垂直

【灵机一动】

判断线面垂直的方法, 你能总结出几种?哪几 种?
(1)利用线面垂直的定义; (2)利用线面垂直的判定定理; (3)利用面面垂直的性质定理.

(活动三) 概念巩固
练习:已知平面α ⊥平面β ,α ∩ β =l,判断下列命 题的正误. (1)平面α 内的任意一条直线必垂直于平面β ( × ) (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β ( ) × (3)过平面α 内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂 直于平面β ( )

×

若不对,你能举出反例来吗?

【反思】应用面面垂直的性质定理的 关键点:
1.线在面内; 2.线垂直交 线。

(活动四) 巩固深化、发展思维

【探究3】若α ⊥β ,过平面α 内 一点C作平面β 的垂线,垂足为D, 那么点D在什么位置?说明你的理由.
α C

β

大胆猜想:

D在交线上 CD在平面 内

【推理证明】

【收获结论】上述分析表明:如果两个 平面互相垂直,那么经过一个平面内一 点且垂直于另一个平面的直线,必在这 个平面内。 【反思】这个结论的作用是什么?

证明线在面内

α

A

β

B

(活动五) 定理的综合应用

例1 如图,已知 ? ? ? , a ? ? , a ? ? , 求证: a∥ ?
α

b
a β

【反思】此题的证明用到了哪些所学的定理?

变式练习:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC, (1)求证:BC⊥平面PAB;(2)BC ⊥AB 证明:过点A作AE⊥PB,垂足 P 为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC,BC ? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB B

C

三、总结提升
1、平面与平面垂直的性质定理:两个平面 垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法: 线线垂直→线面垂直;面面垂直→线面垂直 3、作辅助线-------垂线 的方法

妈妈去哪儿-------《小蝌蚪找妈妈》 爷爷去哪儿-------《葫芦兄弟》

老师去哪儿-------《西游记》
。。。


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