伤城文章网 > 数学 > 高中数学典型例题分析与解答:同角三角函数的基本关系式

高中数学典型例题分析与解答:同角三角函数的基本关系式


同角三角函数的基本关系式 1.已知某角的一个三角函数值,求该角的其他三角函数值. 解 ∵sinα <0 ∴角α 在第三或第四象限(不可能在 y 轴的负半轴上) (2)若α 在第四象限,则 说明 在解决此类问题时,要注意: (1)尽可能地确定α 所在的象限,以便确定三角函数值的符号. (2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次). (3)必要时进行讨论. 例2 已知 sinα =m(|m|≤1),求 tgα 的值. (2)当 m=±1 时,α 的终边在 y 轴上,tgα 无意义. (3)当α 在Ⅰ、Ⅳ象限时,∵cosα >0. 当α 在第Ⅱ、Ⅲ象限时,∵cosα <0, 说明 (1)在对角的范围进行讨论时,不可遗漏终边在坐标轴上的情况. (2)本题在进行讨论时,为什么以 cosα 的符号作为分类的标准,而不按 sinα 的符号(即 m 的符号)来分类讨论呢?你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗? 2.三角函数式的化简 三角函数式的化简的结果应满足下述要求: (1)函数种类尽可能地少. (2)次数尽可能地低. (3)项数尽可能地少. (4)尽可能地不含分母. (5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来. 化简的总思路是:尽可能地化为同类函数再化简. 例3 化简 sin2α ·tgα +cos2α ·ctgα +2sinα cosα =secα ·cscα 解2 原式=(sin2α ·tgα +sinα ·cosα )+(cos2α ·ctgα +sinα cosα ) =tgα ·(sin2α +cos2α )+ctgα (sin2α +cos2α ) =tgα +ctgα =secα ·cscα 说明 (1)在解 1 中,将正切、余切化为正弦、余弦再化简,仍然是循着减少函数种类 的思路进行的. (2)解 2 中的逆用公式将 sinα ·cosα 用 tgα 表示,较为灵活,解 1 与解 2 相比,思路 更自然,因而更实用. 例4 化简: 分析 将被开方式配成完全平方式,脱去根号,进行化简. 3.三角恒等式的证明 证明三角恒等式的过程,实际上是化异为同的过程,即化去形式上的异,而呈现实质上 的同,这个过程,往往是从化简开始的——这就是说,在证明三角恒等式时,我们可以从最 复杂处开始. 例5 分析 求证 cosα (2secα +tgα )(secα -2tgα )=2cosα -3tgα . 从复杂的左边开始证得右边. =2cosα -3tgα =右边 例6 证明恒等式 (1)1+3sin2α sec4α +tg6α =sec6α (2)(sinA+ secA)3+(cosA+cscA)2=(1+secAcscA)2 分析 (1)的左、右两边均较复杂,所以可以从左、右两边同时化简 证明 (1)右边-左边=sec6α -tg6α -3sin2α sec4α -1 =(sec2α -tg2α )(sec4α +sec2α ·tg2α +tg2α )-3sin2α sec4α -1 =(sec4α -2sec2α tg2α +tg2α )-1 =(sec2α -tg2α )2-1=0 ∴等式成立. =sin2A+cos2A=1 故原式成立 在解题时,要全面地理解“繁”与“简”的关系.实际上,将不同的角化为同角,以减 少角的数目,将不同的函数名称,化为同名函数,以减少函数的种类,都是化繁为简,以上 两点在三角变换中有着广泛的应用. 分析 1 从右端向左端变形,将“切”化为“弦”,

搜索更多“高中数学典型例题分析与解答:同角三角函数的基本关系式”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com