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数学必修2人教A:2.3.3直线与平面垂直的性质


2. 3.3 直线与平面垂直的性质
【教学目标】 (1)培养学生的几何直观能力和知识的应用能力 ,使他们在直 观感知的基础上进一步学会证明. (2)掌握直线和平面垂直的性质定理和推论的内容、推导和简单应用。 (3)掌握等价转化思想在解决问题中的运用. 【教学重难点】 重点:直线和平面垂直的性质定理和推论的内容和简单应用。 难点:直线和平面垂直的性质 定理和推论的证明,等价转化思想的渗透。 【教学过程】 (一) 复习引入

师:判断直线和平面垂直的方法有几种? 师:各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用? 师:在空间,过一点,有几条直线与已知平面垂直?过一点,有几个平面与已知直线垂直? 判断下列命题是否正确: 1、在平 面中,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 2、 在空间中,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 3、 垂直于同一平面的两直线互相平行。 4、 垂直于同一直线的两平面互相平行。 师:直线和平面是否垂直的判定方法上节课我们已研究过,这节课我们来共同探讨直线和平面如果垂直, 则其应具备的性质是什么? (二) 创设情景

如图,长方体 ABCD—A′B′C′D′中,棱 A A′、B B′、C C′、D D′所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间具有什么位置 关系? (三)讲解新课 例1 已知:a ? ? ,b ? ? 。求证:b∥a

师:此问题是在 a ? ? ,b ? ? 的条件下,研究 a 和 b 是否平 行,若从正面去证明 b∥a,则 较困难。而利用反证法来完成此题, 相对较为容易,但难在辅助线 b’的作出,这也是立体几何开始的这 部分较难的一个证明.在老师的知道下,学生尝试 证明,稍后教师指 正.
1

生:证明:假定 b 不平行于 a,设 ? ? b ? O , b’是经过点 O 的两直线 a 平行的直线.

? a ∥b’, a ? ? ,? b’ ? ?
即经过同一点 O 的两直线 b ,b’都与 ? 垂直,这是不可能的,因此 b∥a. 有了上述证明,师生可共同得到结论.: 直线和平面 垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行,也可简记为线面 垂直,线线平行. 利用三种形式去描述它

例2.已知l ? ?,l ? ?,求证a //? . 证明:设l ? ? =A,l ? ? =B 在?内过点A取两条直线a和b ? B ? l ? ? 且B ? ? ? ? 与? 相交,设? ? ? =c ? l ? ? ? l ? a,同理l ? c 在平面? 中:l ? a,l ? c ? a //c 又a ? ?,c ? ? ? a //?,同理b //? 又a ? b =A ?? //?
下列命题中错误的是(C) A、 B、 C、 若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。 若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。 若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线必平行于这个平面

l

?

b A

a

?

?
B

c

D、若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则也和这条直线垂直。 (四)课堂检测 课本 P71 页:1、2. 拓展练习:设直线 a,b 分别在正方体 ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内, 欲使 b∥a,a、b 应满足什么条件? 分析:结合两直线平行的判定定理,考虑 a、b 满足的条件。 解:a、b 满足下面条件中的任何一个 ,都能使 b∥a (1)a、b 同垂直于正方体的一个面 (2)a、b 分别在正方体两个相对的面内且共面。 (3)a、b 平行于同一条棱。 (4)E、F、G、H分别为 B′C′、CC′、AA′、AD的中点,
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EF所在直线为 a,GH所在直线为 b,等等。 (五)课堂小结 本节课,我们学习了直线和平面垂直的性质定理,定理的证明用到反证法,证明几何问题常规的方法 有两种:直接证法和间接证法。直接证法长依据定义、定理、公理,并适当引用平面几何知识;用直接法 证明比较困难时,我们可以考虑间接证法,反证法就是一种间接证法。关于直线与平面垂直的性质定理的 证明,教材采用反证法,学生理解上会有一定的困难,教学时应注意引导学生理解反证法的反设、归谬, 进而得到要证的结论。 【板书设计】 一、直线和平面垂直的性质定理及其推论 二、例题 例1 例2 【作业布置】 导学案课后练习与提高

2.3.3 直线与平面垂直的性质
课前预习学案 一、预习目标:通过对图形的观察,知道直线于平面垂直的性质 二、预习内容: 1、直线与平面垂直的判定方法有哪些? 2、在空间,过一点,有几条直线与已知平面垂直?过一点,有几个平面与已知直线垂直? 3、判断题(判断下列命题是否正确) (1) 、在平面中,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 (2) 在空间中,垂直于同一直线的两条直线互相平行。 、 (3) 、垂直于同一平面的两直线互相平行。 (4) 、垂直于同一直线的两平面互相平行。 4、若直线和平面如果垂直,则其应具备的性质是什么? 三、 提出疑惑 同学们,通过你的自主学习,你还有那些疑惑,请填在下面的表格中 疑惑点 疑惑内容

课内探究学案
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一、学习目标: (1)明确直线与平面垂直的性质定理。 (2)利用直线与平面垂直的性质定理解决问题。 学习重点:直线和平面垂直 的性质定理和推论的内容和简单应用。 学习难点:直线和平面垂直的性质定理和推论的证明,等价转化思想的渗透。 二、学习过程 探究一、直线与平面垂直的性质 1、 如图, 长方体 ABCD—A′B′C′D′中, A A′、 B′、 C′、 棱 B C

D D′所在直线都垂直于平面 ABCD,它们之间具有什么位置关系? 2、 已知:a ? ? ,b ? ? 。求证:b∥a(由 1 让学生自行证明) 得直线与平面垂直的性质定理 三种语言刻画 探究二、定理的应用 例 1 已知 l ? ? , l ? ? , 求证? // ?

l

?
变式 1: 下列命题中错误的是()

b A

a

c B A、若一直线垂直于一平面,则此直线必垂直于这个平面上的所有直线。
B、若一个平面通过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。 C、若一直线垂直于一个平面的一条垂线,则此直线必平行于这个平面 D、若 平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直,则也和这条直线垂直。 (四)课堂检测 1、课本 P71 页:1、2. 2、设直线 a,b 分别在正方体 ABCD—A′B′C′D′中两个不同的平面内, 欲使 b∥a,a、b 应满足什么条件? 课后巩固练习与提高 1.若 a, b, c 表示直线, ? 表示平面,下列条件中,能使 a ? ? 的是 ( )

?

?

( A) a ? b, a ? c, b ? ? , c ? ? (C ) a ? b ? A, b ? ? , a ? b

( B ) a ? b, b // ? ( D) a // b, b ? ?

2.已知 l 与 m 是两条不同的直线,若直线 l ? 平面 ? ,①若直线 m ? l ,则 m // ? ;②若 m ? ? ,则

m // l ;③若 m ? ? ,则 m ? l ;④ m // l ,则 m ? ? 。上述判断正确的是

( ( )



( B ) ②③④ (C ) ①③④ ( D) ②④ 3.下列关于直线 l , m 与平面 ? , ? 的命题中,真命题是
4

( A) ①②③

( A) 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l ? ? ( B ) 若 l ? ? 且 ? // ? ,则 l ? ? (C ) 若 l ? ? 且 ? ? ? ,则 l // ? ( D) ? ? ? ? m 且 l // m ,则 l // ? 4.在直四棱柱 ABCD ? A B1C1D1 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 1
(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况) 5.设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在平面 ABC 上的射影是 H ,给出以下命题: ①若 PA ? BC , PB ? AC ,则 H 是 ?ABC 的垂心 ②若 PA, PB, PC 两两互相垂直,则 H 是 ?ABC 的垂心 ③若 ?ABC ? 90 , H 是 AC 的中点,则 PA ? PB ? PC ④若 PA ? PB ? PC ,则 H 是 ?ABC 的外心 其中正确命题的命题是
?

时,有 AC ? B1D1 1

6 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,?ACB ? 90? , AC ? 1, CB ? 2 ,侧棱 AA ? 1 ,侧面 AA B1B 的 1 1 两条对角线交于点 D , B1C1 的中点为 M , 求证: CD ? 平面 BDM
D C M B B1 C1 A A1

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