伤城文章网 > 数学 > 江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件:3.2 导数的应用

江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件:3.2 导数的应用


§3.2 导数的应用 基础知识 自主学习
要点梳理 1.函数的单调性 在 (a,b)内可导函数 f(x),f′ (x)在(a,b)任意子区间 内都不恒等于 0.则有: f′(x)≥ 0?f(x)为 增函数 f′(x)≤ 0?f(x)为 减函数

2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, 那么 f(x0)是极大值; 那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′ (x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0 ,右侧 f′(x)<0 , ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0 ,右侧 f′(x) >0 ,

③检查 f′ (x)在方程 f′(x)=0 的根左右值的符号. 如果左正右 负,那么 f(x)在这个根处取得 极大值 么 f(x)在这个根处取得极小值 . ;如果左负右正,那

3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与 最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值, 为函数的最大值, f(b) 为函数的最小值. b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的 极值 ; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最 大值,最小的一个是最小值.

f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)

(3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,

4.生活中的优化问题 解决优化问题的基本思路是:

[难点正本 件

疑点清源]

1.f′(x)>0 在(a,b)上成立是 f(x)在(a,b)上单调递增的充分条 利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便, 但应注意 f′(x)>0(或 f′(x)<0)仅是 f(x)在某个区间上递增 (或递减)的充分条件.在区间(a,b)内可导的函数 f(x)在(a, b)上递增(或递减)的充要条件应是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0), x ∈(a,b)恒成立,

且 f′ (x)在(a, b)的任意子区间内都不恒等于 0.这就是说, 函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点 x0 处有 f′(x0)= 0, 甚至可以在无穷多个点处 f′ (x0)= 0, 只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间,因此在 已知函数 f(x)是增函数 (或减函数 )求参数的取值范围时, 应令 f′(x)≥ 0(或 f′ (x)≤ 0)恒成立,解出参数的取值范 围,然后检验参数的取值能否使 f′(x)恒等于 0,若能恒 等于 0,则参数的这个值应舍去,若 f′ (x)不恒为 0,则 由 f′ (x)≥ 0(或 f′ (x)≤ 0), x∈ (a, b)恒成立解出的参数 的取值范围确定.

2.对于可导函数 f (x) ,f ′(x0)=0 并不是 f (x)在 x=x0 处有 极值的充分条件 对于可导函数 f (x) ,x=x0 是 f (x)的极值点,必须具 备 f ′(x0)=0,②在 x0 两侧,f ′(x)的符号为异号.所 以f ′(x0)=0 只是 f (x)在 x0 处有极值的必要条件,但并 不充分.

基础自测 1. f(x)=3x-x3 的单调减区间为 (-∞,-1)和(1,+∞) .
解析 由 f′(x)=3-3x2<0,得 x>1 或 x<-1. 即 f(x)的单调减区间为(-∞,-1)和(1,+∞).

2.函数 y=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最大值,最小

5,-15 . 值分别是 ________
解析 由 y′=6x2-6x-12=0,得 x=-1(舍去)或 2, 故函数 y=f(x)=2x3-3x2-12x+5 在[0,3]上的最值可 能是 x 取 0,2,3 时的函数值,而 f(0)=5,f(2)=-15, f(3)=-4,故最大值为 5,最小值为-15.

(1,+∞) ,单调 3.函数 y=3x2-6ln x 的单调增区间为__________
减区间为(0,1) _____.
2 6 x -6 6 y′ = 6x- = . x x

解析

∵定义域为(0,+∞), 由 y′ >0,得 x>1, ∴增区间为 (1,+∞); 由 y′ <0,得 0<x<1,∴减区间为 (0,1).

4.若函数 f(x)=ax +3x -x 恰有 3 个单调区间,则实 数 a 的取值范围是 (-3,0)∪(0,+∞) .
解析 由题意 f′(x)=3ax +6x-1=0 有两个不相等的实
2

3

2

??2+? ? ? a ? 0 数根,故 ? =>a>-3 且 a≠0. a?0 ?

5.已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调递增函 数,则 a 的取值范围是 (-∞,3] .
解析 f′ (x)=3x2-a,∵ f(x)在[1,+∞)上单调递增函数, ∴f′(x)≥0 在区间[1, +∞)上恒成立, 即 3x2-a≥0, x∈[1, +∞ )恒成立,故实数 a 小于或等于 3x2 在[1,+∞)上的最小 值,即 a≤3,.

点评 本题易错答为(-∞,3).考生易忽略f′(x)≥0是f(x)在 [1,+∞)上单调递增的充要条件.

题型分类
题型一 函数的单调性与导数 例 1 已知 f(x)=ex-ax-1. (1)求 f(x)的单调增区间;

深度剖析

(2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围.

思维启迪:(1)通过解 f′(x)≥0 求单调递增区间; (2)转化为恒成立问题,求 a.
解 (1)∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a. 令 f′(x)≥0,得 ex≥a, 当 a≤0 时,有 f′(x)>0 在 R 上恒成立; 当 a>0 时,有 x≥ln a. 综上,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(-∞,+∞); 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为[ln a,+∞).

(2)∵ f(x)= ex-ax- 1,∴f′(x)= ex- a. ∵ f(x)在 R 上单调递增,∴f′ (x)=ex- a≥ 0 恒成立, 即 a≤ ex, x∈R 恒成立. ∵ x∈R 时, ex∈ (0,+ ∞),∴a≤ 0. 即 a 的取值范围为(-∞, 0].

探究提高 在区间内 f′ (x)>0 (f′(x)<0)是函数 f(x)在此区 间上为增(减 )函数的充分条件而不是必要条件,如果出现 个别点使 f′(x)= 0,不会影响函数 f(x)在包含该点的某个 区间上的单调性. 一般地, 可导函数 f(x)在 (a, b)上是增 (减 ) 函数的充要条件是:对任意 x∈ (a , b) ,都有 f′(x)≥ 0 (f′(x)≤ 0),且 f′ (x)在(a,b)的任何子区间内都不恒等于 零.特别是在已知函数的单调性求参数取值范围时,要特 别注意 “=”是否可以取到.

变式训练 1

已知 a∈ R,函数 f(x)= (- x2+ ax)ex (x∈ R,

e 为自然对数的底数 ). (1)当 a= 2 时,求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若函数 f(x)在 (- 1,1)上单调递增,求 a 的取值范围.
解 (1)当 a=2 时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(- x2+ 2x)ex=(-x2+2)ex. 令 f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得- 2<x< 2. ∴a=2 时,函数 f(x)的单调递增区间是(- 2, 2). (2)∵ 函数 f(x)在(- 1,1)上单调递增, ∴f′(x)≥0 对 x∈(-1,1)都成立.

∵ f′(x)= (- 2x+ a)ex+(- x2+ ax)ex = [- x2+ (a- 2)x+ a]ex, ∴ [- x2+ (a- 2)x+ a]ex≥0 对 x∈ (- 1,1)都成立. ∵ ex>0, ∴- x2+(a- 2)x+ a≥0 对 x∈ (- 1,1)都成立. x2+ 2x ? x+ 1?2- 1 1 即 a≥ = = x+ 1- 对 x∈(- 1,1)都成立. x+ 1 x+ 1 x+ 1 1 1 令 y= x+ 1- ,则 y′ = 1+ 2>0, x+ 1 ? x+ 1? 1 ∴ y= x+ 1- 在 (- 1,1)上单调递增. x+ 1 1 3 3 ∴ y<1+ 1- = ,∴ a≥ . 2 1+ 1 2 ?3 ? 即 a 的取值范围是? ,+∞ ?. ?2 ?

题型二

函数的极值与导数

例 2 (2010· 全国)已知函数 f(x)=x3- 3ax2+3x+1. (1)设 a= 2,求 f(x)的单调区间; (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点, 求 a 的取值范围.

思维启迪:(1)单调区间即为 f′(x)>0,f′(x)<0 的解区间. (2)f′(x)的零点在(2,3)内至少有一个.

解 (1)当 a=2 时,f(x)=x3-6x2+3x+1, f′(x) = 3x2 - 12x + 3 = 3(x - 2 + 3)(x - 2 - 3 ) . 当 x∈(-∞,2- 3)时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,2- 3)上单 调递增; 当 x∈(2- 3, 2+ 3)时, f′(x)<0, f(x)在(2- 3, 2+ 3) 上单调递减;

当 x∈(2+ 3,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(2+ 3,+∞) 上单调递增. 综上,f(x)的单调增区间是(-∞,2- 3)和(2+ 3, +∞),f(x)的单调减区间是 (2- 3,2+ 3). (2)f′(x)=3x2-6ax+3=3[(x-a)2+1-a2]. 当 1-a2≥0 时,f′(x)≥0,f(x)为增函数,故 f(x)无极值 点; 当 1-a2<0 时,f′(x)=0 有两个根 x1=a- a2-1,x2 =a+ a2-1. 由题意,知 2<a- a2-1<3, ① 或 2<a+ a2-1<3, ② 5 5 5 5 ①无解,②的解为 <a< ,因此 a 的取值范围为( , ). 4 3 4 3

探究提高

(1) 导函数的零点并不一定就是函数的极值

点.所以在求出导函数的零点后一定注意分析这个零点 是不是函数的极值点. (2)本题的易错点为不对 1-a2 讨论,致使解答不全面.

变式训练 2 设函数 f(x)= x3+bx2+cx (x∈R),已知 g(x)= f(x)-f′ (x)是奇函数. (1)求 b、 c 的值;(2)求 g(x)的单调区间与极值.



(1)∵f(x)=x3+bx2+cx,∴f′(x)=3x2+2bx+c.

∴g(x)=f(x)-f′(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c, 由题意得 g(0)=0,∴c=0,由奇函数的定义得 b=3. (2)由(1)知 g(x)=x3-6x, 从而 g′(x)=3x2-6, 由此可知, (-∞,- 2)和( 2,+∞)是函数 g(x)的单调递增区间; (- 2, 2)是函数 g(x)的单调递减区间. ∴g(x)在 x=- 2时取得极大值,极大值为 4 2,g(x)在 x= 2时取得极小值,极小值为-4 2.

题型三 函数的最值与导数 例 3 已知 a 为实数,且函数 f(x)=(x2-4)(x-a). (1)求导函数 f′(x); (2)若 f′(-1)= 0,求函数 f(x)在[-2,2]上的最大值、 最小值. 思维启迪:先求函数的极值,然后再与端点值进行比较

确定最值.

(1)由 f(x)= x3- ax2- 4x+ 4a,得 f′ (x)= 3x2- 2ax- 4. 1 (2)因为 f′ (- 1)= 0,所以 a= , 2 1 2 3 有 f(x)= x - x - 4x+ 2,f′ (x)= 3x2- x- 4. 2 4 令 f′ (x)= 0,则 x= 或 x=- 1. 3 ?4 ? 50 9 ? ? 又 f =- , f(- 1)= ,f(- 2)= 0, f(2)= 0, 27 2 ?3 ? 9 50 所以 f(x)在 [- 2,2]上的最大值、最小值分别为 、- . 2 27 探究提高 在解决类似的问题时, 首先要注意区分函数最 解

值与极值的区别.求解函数的最值时,要先求函数 y=f(x) 在[a,b]内所有使 f′(x)=0 的点,再计算函数 y=f(x)在区 间内所有使 f′(x)=0 的点和区间端点处的函数值,最后 比较即得.

变式训练 3

已知函数 f(x)= ax3- 6ax2+b,是否存在实数

a、 b,使 f(x)在 [- 1,2]上取得最大值 3、最小值-29?若 存在,求出 a、 b 的值,若不存在,请说明理由.

解 显然 a≠0,f′(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x). 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=4(舍去). (1)当 a>0 时,如下表: x f′(x) f(x) (-1,0) + 0 0 极大值 (0,2) -

∴当 x=0 时,f(x)取得最大值,f(0)=3,∴b=3. 又 f(-1)=-7a+3>f(2)=-16a+3, ∴最小值 f(2)=-16a+3=-29,a=2.

(2)当 a<0 时,如下表: x f′(x) f(x) (- 1,0) - 0 0 极小值 (0,2) +

∴当 x= 0 时,f(x)取得最小值,∴b=- 29. 又 f(- 1)=- 7a-29<f(2)=- 16a- 29, ∴最大值 f(2)=- 16a- 29=3, a=- 2.
? a= 2 ? 综上,? ? ?b= 3 ?a=- 2, ? 或? ? ?b=- 29.

题型四 例 4

生活中的优化问题 某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本

为 10 万元/辆,出厂价为 13 万元/辆,年销售量为 5 000 辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适当增 加投入成本,若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1), 则出厂价相应提高的比例为 0.7x ,年销售量也相应增 加.已知年利润= ( 每辆车的出厂价-每辆车的投入成 本 )×年销售量.

(1)若年销售量增加的比例为 0.4x,为使本年度的年利润 比上年度有所增加,则投入成本增加的比例 x 应在什么 范围内? (2)年销售量关于 x 的函数为 s= 3
? 5? 2 240?- x + 2x+ ?,则 3? ?

当 x 为何值时 ,本年度的年利润最大?最大利润为多少?
思维启迪:(1)建立本年度的利润函数解析式,构造不等式 求解. (2)建立本年度利润的函数解析式,运用导数研究最大值.



(1)由题意得:上年度的利润为(13-10)×5 000=

15 000 万元;本年度每辆车的投入成本为 10×(1+x)万 元;本年度每辆车的出厂价为 13×(1+0.7x)万元;本年 度年销售量为 5 000×(1+0.4x)辆. 因此本年度的利润为 y=[13× (1+0.7x)-10× (1+x)]×5 000×(1+0.4x) =(3-0.9x)×5 000×(1+0.4x) =-1 800x2+1 500x+15 000 (0<x<1). 5 由-1 800x +1 500x+15 000>15 000,解得 0<x< ,所 6
2

以要使本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增 5 加的比例的范围为 0<x< . 6

(2)本年度的利润为 f(x)= (3- 0.9x)×3
? 5? 2 240×?-x +2x+ ? 3? ?

= 3 240×(0.9x3-4.8x2+4.5x+5). 则 f′ (x)= 3 240×(2.7x2- 9.6x+4.5)= 972(9x-5)(x-3). 5 由 f′ (x)= 0,解得 x= 或 x=3(舍去). 9 ? 5? 当 x∈?0, ?时,f′ (x)>0, f(x)是增函数; 9? ? ?5 ? 当 x∈? ,1?时,f′ (x)<0, f(x)是减函数, ?9 ? ?5 ? 5 ∴当 x= 时,f(x)取得最大值,最大值为 f? ?=20 000. 9 ?9 ? 5 ∴当 x= 时, 本年度的年利润最大, 最大利润为 20 000 万元. 9

探究提高

利用导数解决生活中的优化问题时:

(1)既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示, 还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间. (2)一定要注意求得结果的实际意义,不符合实际的值应 舍去. (3)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点,那么根 据实际意义该极值点就是最值点.

变式训练 4

用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状

的框架,要求长方体的长与宽之比为 2∶1,问该长 方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体 积是多少?
解 设长方体的宽为 x(m),则长为 2x(m), ? 18- 12x 3? 高为 h= = 4.5- 3x (m) ?0<x< ?, 4 2? ? 故长方体的体积为 3 V(x)= 2x (4.5- 3x)= 9x - 6x (m ) (0<x< ). 2
2 2 3 3

从而 V′ (x)= 18x- 18x2= 18x(1- x). 令 V′ (x)= 0,解得 x=0(舍去 )或 x= 1,因此 x= 1,当 3 0<x<1 时, V′(x)>0;当 1<x< 时, V′ (x)<0.故在 x= 1 2 处 V(x)取得极大值, 并且这个极大值就是 V(x)的最大值. 从而最大体积 V= V(1)= 9× 12- 6×13=3(m3), 此时长方体的宽为 1 m,长为 2 m,高为 1.5 m.
答 当长方体的长为 2 m,宽为 1 m,高为 1.5 m 时,体 积最大,最大体积为 3 m3.

答题模板 4.导数法求函数最值问题 试题:(16 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间;(2)当 a>0 时,求函数 f(x)在 [1,2]上的最小值.

审题视角

(1) 知函数解析式求单调区间,实质上是求

f′(x)>0, f′(x)<0 的解区间. 并注意定义域. (2)先研究 f(x) 在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值. (3)由于解析式中含有参数 a, 要对参数 a 进行分类讨论. 规范解答 1 解 (1)f′(x)=x -a (x>0), [1 分] 1 ①当 a≤0 时,f′(x)=x-a>0,即函数 f(x)的单调增区间

为(0,+∞).

[3 分]

1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)=x-a=0,可得 x=a, 1-ax 1 当 0<x<a时,f′(x)= x >0; 1-ax 1 当 x>a时,f′(x)= x <0, ? 1? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0,a?, ? ? ?1 ? 单调递减区间为?a,+∞?. [6 分] ? ? 1 (2)①当a≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函 数,∴f(x)的最小值是 f(2)=ln 2-2a. [8 分] 1 1 ②当a≥2, 即 0<a≤ 时, 函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数, 2 ∴f(x)的最小值是 f(1)=-a. [10 分]

? 1? 1 1 ③当 1<a<2,即 <a<1 时,函数 f(x)在?1,a?上是增函数,在 2 ? ? ?1 ? ? ,2?上是减函数. [12 分] ?a ?

又 f(2)-f(1)=ln 2-a, 1 ∴当 <a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a;当 ln 2≤a<1 时,最 2 小值为 f(2)=ln 2-2a. 综上可知, 当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 f(x)min=-a; 当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 f(x)min=ln 2-2a. [16 分] [14 分]

答题模板 用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下 几步答题: 第一步:求函数 f(x)的导数 f′(x); 第二步:求 f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:求 f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值比较,确定 f(x) 的最大值与最小值. 第五步:反思回顾:查看关键点,易错点和解题规范. 批阅笔记 (1)本题考查求函数的单调区间, 求函数在给
定区间[1,2]上的最值,属常规题型. (2) 本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全 面,不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.

思想方法 感悟提高
方法与技巧 1 .注意单调函数的充要条件,尤其对于已知单调性求 参数值 (范围)时,隐含恒成立思想. 2 .求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全;含参 数时,要讨论参数的大小. 3.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点, 那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即 可,不必再与端点的函数值比较.

失误与防范 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯, 可使问题直观且有条理,减少失分的可能. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值 点,要通过认真比较才能下结论. 3 .要强化自己用导数知识处理函数最值、单调性、方 程的根、不等式的证明等数学问题的意识.

返回


搜索更多“江苏省宿迁市马陵中学2015届高三数学复习课件:3.2 导数的应用”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com