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山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考文


【山东省济宁市金乡二中2012届高三11月月考文】18.(本小题满分12分) 已 知 直 线 l 与 函 数 f ( x ) ? ln x 的 图 象 相 切 于 点 ( 1 , 0 ), 且 l 与 函 数
g ( x) ? 1 2 x ? mx ?
2

7 2

( m ? 0 ) 的图象也相切。

(1)求直线 l 的方程及 m 的值; (2)若 h ( x ) ? f ( x ? 1) ? g ?( x ) ,求函数 h ( x ) 的最大值. 【答案】18. 解: (1)? f ?( x ) ?
, 直线 l 是函数 f ( x ) ? ln x 的图象在点(1,0)处的切线。 x ? 其斜率为 k ? f ?(1) ? 1, ? 直线 l的方程为 y ? x ? 1 1

又因为直线 l与 g ( x ) 的图象相切,
?y ? x ?1 1 2 9 ? ?? 1 2 7 ? x ? ( m ? 1) x ? ? 0 , 2 2 ? y ? x ? mx ? 2 2 ? 得 ? ? ( m ? 1) ? 9 ? 0 ? m ? ? 2 ( m ? 4不题意 , 舍去 ). ? ? ? 6 分 1 2 7 (2)由(1)知 g ( x ) ? x ? 2 x ? , 2 2 ? h ( x ) ? f ( x ? 1) ? g ?( x ) ? ln( x ? 1) ? x ? 2 ( x ? ? 1),
2

( x ? ? 1). x ?1 x ?1 当 ? 1 ? x ? 0时 , h ?( x ) ? 0; 当 x ? 0时 , h ?( x ) ? 0 .

? h ?( x ) ?

1

?1 ?

?x

于是, h ( x )在 ( ? 1,0 )上单调递增 , 在 ( 0 , ?? ) 上单调递减。 所以,当 x ? 0时 , h ( x )取得最大值 h ( 0 ) ? 2 . 【山东省济宁市金乡二中 2012 届高三 11 月月考文】20(本小题满分 14 分) 2010 年世博会在上海召开,某商场预计 2010 年从 1 月起前 x 个月顾客对某种世博 1 商品的需求总量 P(x)件与月份 x 的近似关系是: P ( x ) ? x ( x ? 1)( 41 ? 2 x )( x ≤12 且 2
x ? N *).

(Ⅰ)写出第 x 月的需求量 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)若第 x 月的销售量

? f ( x ) ? 21 x ,1 ? x ? 7 且 x ? N *, ? g ( x) ? ? x 2 1 2 (单位:件 ) ,每件利 ( x ? 10 x ? 96 ), 7 ? x ? 12 且 x ? N * ? x 3 ?e
润 q ( x ) 元与月份 x 的近似关系为: q ( x ) ?
1000 e x
6
x?6

,求该商场销售该商品,预计第几

月的月利润达到最大值?月利润最大值是多少? ( e ? 403 ) 【答案】20(1)当 x ? 1 时, f (1) ? P (1) ? 39 ;

当 x ? 2 时,
f ( x ) ? P ( x ) ? P ( x ? 1) ? 1 2 x ( x ? 1)(41 ? 2 x ) ? 1 2 ( x ? 1) x (43 ? 2 x )

? 3 x (14 ? x ) ;



f ( x ) ? ? 3 x ? 42 x , ( x ? 12 , x ? N )
2

?

? 3000 e x ? 6 (7 ? x ), ? (2) h ( x ) ? q ( x ) ? g ( x ) ? ? 1000 1 3 2 ? 6 ( x ? 10 x ? 96 x ), 3 ? e ? 3000 e x ? 6 (6 ? x ), 1 ? x ? 7, ? h '( x ) ? ? 1000 ? 6 ( x ? 8)( x ? 12), 7 ? x ? 12, ? e

1 ? x ? 7, 7 ? x ? 12, 且x ? N ,
*

且x ? N ;
*

∵当 1 ? x ? 6 时, h ' ( x ) ? 0 ,∴ h ( x ) 在 x ? [1, 6] 上单调递增,
? ∴ 当 1 ? x ? 7 且 x ? N 时, h ( x ) max ? h ( 6 ) ? 3000 ;

∵当 7 ? x ? 8 时, h ' ( x ) ? 0 ,当 8 ? x ? 12 时, h ' ( x ) ? 0 ,
? ∴当 7 ? x ? 12 且 x ? N 时, h ( x ) max ? h (8 ) ?

1000 ? 299
6

?

1000 ? 299 403

? 3000 ;

e 综上,预计第 6 个月的月利润达到最大,最大月利润为 3000 元
x

【山东省潍坊市 2012 届高三上学期期末考试文】9.函数 f ( x ) ? e ? x (e 为自然对数的底 数)在区间[-1,1]上的最大值是 1 A. 1 ? B.1 C.e+1 e 【答案】D

D.e-1

【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】5.函数 y ? ? 2 e ? sin x
x

?1 ? a ? 0 ? 的导数是
x

A. ? 2 e cos x
x

B. ? 2 e

x

? sin x ? cos x ?

C. 2 e sin x

x

D. ? 2 e

? sin x ? cos x ?

【答案】 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】15. 函数 y ? f ? x ? 的导函数图象如图所示,则下面

判断正确的是

A.在 ? ? 3,1 ? 上 f ? x ? 是增函数 B.在 x ? 1 处 f ? x ? 有极大值 C.在 x ? 2 处 f ? x ? 取极大值 D.在 ?1, 3 ? 上 f ? x ? 为减函数 【答案】C 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】17. 曲线 y ? x ? 11 在点 P ?1,12 ? 处的切线方程是
2

【答案】 2 x ? y ? 10 ? 0 【山东省济南一中 2012 届高三 10 月文】24.(14 分) 设函数 f ( x ) ? ax ? (Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】24. (Ⅰ)? f ( x ) 在 x ? 2 时有极值,? 有 f ' ? 2 ? ? 0 , 又 f '? x ? ? a ?
? 有 f '? x ? ?

a x

? 2 ln x .

?????? 2 分

a x
2

? 4 5x

2 x
2

,? 有 a ?
? 2 x ? 2 5x
2

a 4

? 1 ? 0 ,? a ?
2

4 5

????????5 分

4 5

?

?2x

? 5x ? 2? ,

由 f ' ? x ? ? 0 有 x1 ?

1 2

, x2 ? 2 ,

???7 分

又 x ? 0 ? x , f ' ? x ? , f ? x ? 关系有下表

x
f '? x ?
f ? x?
?

0? x?

1 2

x?

1 2

1 2

? x?2

x?2
0

x?2

?
递增

0

?
递减

?
递增

? 1? f ( x ) 的 递 增 区 间 为 ? 0, ? ? 2?



? 2, ?? ?



递 减 区 间 为

?1 ? ? ,2? ?2 ?

????????9 分

(Ⅱ)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,则 f ' ? x ? ? 0 在 x ? 0 时恒成立,????????10 分

? f '? x ? ? a ?

a x
2

?

2 x

?

ax ? 2 x ? a
2

x

2

,? 需 x ? 0 时 ax 2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立,???11 分
2 ? 1 ,? 需 a ? 1 ,此为所求。????14 分

化为 a ?

2x x ?1
2

恒成立,?

2x x ?1
2

?

x?

1 x

【 山 东 省 济 南 市 2012 届 高 三 12 月 考 】 29 . 本 小 题 满 分 8 分 ) 设 函 数 (
y ? f ( x ) ? ax ? bx ? cx ? d 的图象在 x ? 0 处的切线方程为 24 x ? y ? 12 ? 0 .
3 2

(Ⅰ)求 c , d ; (Ⅱ)若函数在 x ? 2 处取得极值 ? 16 ,试求函数解析式并确定函数的单调区间. 【答案】29. (本小题满分 8 分) 解: (Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 R ,
2 f ?( x ) ? 3 ax ? 2 bx ? c ,∴ f ?( 0 ) ? c ;

-----------------1 分 -----------------2 分 -----------------3 分

∵切线 24 x ? y ? 12 ? 0 的斜率为 k ? ? 24 ,∴ c ? ? 24 ; 把 x ? 0 代入 24 x ? y ? 12 ? 0 得 y ? 12 ,∴P(0,12), ∴ d ? 12 . ∴ c ? ? 24 , d ? 12 . (Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x ) ? ax ? bx ? 24 x ? 12
3 2

-----------------4 分

? f ( 2 ) ? ? 16 ?8 a ? 4 b ? 36 ? ? 16 ? ? 由已知得: ? www.zxxk.com ? f ?( 2 ) ? 0 ? 12 a ? 4 b ? 24 ? 0 ?a ? 1 ∴? -----------------5 分 ?b ? 3

∴ f ( x ) ? x ? 3 x ? 24 x ? 12
3 2 2 2 ∴ f ?( x ) ? 3 x ? 6 x ? 24 ? 3( x ? 2 x ? 8 ) ? 3( x ? 4 )( x ? 2 )

-----------------6 分

由 f ?( x ) ? 0 得, x ? ? 4 或 x ? 2 ; 由 f ?( x ) ? 0 得, ? 4 ? x ? 2 ; ∴ f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? , ? 4 ), ( 2 , ?? ) ; 单调减区间为 (? 4 , 2 ) . -----------------8 分 -----------------7 分

【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】 (本题满分 12 分) 33. 已知函数 f ( x ) ? ax ? ln x ( a ? R )
2

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求 f ( x ) 在区间 [ e , e ] 上的最大值和最小值;
2

(Ⅱ)如果函数 g ( x ), f 1 ( x ), f 2 ( x ) 在公共定义域 D 上,满足 f 1 ( x ) ? g ( x ) ? f 2 ( x ) , 那么就称 g ( x ) 为 f 1 ( x ), f 2 ( x ) 的“伴随函数”.已知函数
f1 ( x) ? (a ? 1 2 ) x ? 2 ax ? (1 ? a ) ln x , f 2 ( x ) ?
2 2

1 2

x ? 2 ax .若在区间 (1, ?? ) 上,
2

函数 f ( x ) 是 f 1 ( x ), f 2 ( x ) 的“伴随函数” ,求 a 的取值范围. 【答案】33. (本小题满分 12 分)
2 解:(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? 2 x ? ln x , f ?( x ) ? 4 x ?

1 x

?

4x ? 1
2

; ----------1 分

x

2 2 对于 x ? [ e , e ] ,有 f ?( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间 [ e , e ] 上为增函数,

∴ f ( x ) max ? f ( e 2 ) ? 2 ? 2 e 4 , f ( x ) min ? f ( e ) ? 1 ? 2 e 2 .

-----------------3 分

(Ⅱ)在区间 (1, ?? ) 上,函数 f ( x ) 是 f 1 ( x ), f 2 ( x ) 的“伴随函数” ,则 f 1 ( x ) ? f ( x ) ? f 2 ( x ) , 令 p ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? 且 h( x) ? f1 ( x) ? f ( x) ? ? ∵ p ?( x ) ? ( 2 a ? 1) x ? 2 a ? ①若 a ?
1 2 1 2 1 x 1 2
2

) x ? 2 ax ? ln x ? 0 对 x ? (1, ?? ) 恒成立, ------4 分
2 2

x ? 2 ax ? a ln x ? 0 对 x ? (1, ?? ) 恒成立, ? [( 2 a ? 1) x ? 1]( x ? 1) x 1 2a ? 1

------5 分

(*)

--------------6 分
1 2 ? a ? 1 时,

,令 p ?( x ) ? 0 ,得极值点 x 1 ? 1, x 2 ?

,当 x 2 ? x1 ? 1 ,即

在 ( x 2 , ?? ) 上有 p ?( x ) ? 0 ,

--------------7 分

此时 p ( x ) 在区间 ( x 2 , ?? ) 上是增函数,并且在该区间上有 p ( x ) ? ( p ( x 2 ), ?? ) ,不合题意;
p ( x ) ? ( p (1), ?? ) ,也不合题意;

-----------------8 分

②若 a ?

1 2

,则有 2 a ? 1 ? 0 ,此时在区间 (1, ?? ) 上恒有 p ?( x ) ? 0 ,

从而 p ( x ) 在区间 (1, ?? ) 上是减函数; 要使 p ( x ) ? 0 在此区间上恒成立, 只需满足 p (1) ? ? a ? -----------------9 分
1 2 ?0? a?? 1 2

, 所以 ?

1 2

?a?

1 2

.

又 因 为 h ?( x ) ? ? x ? 2 a ? 数.
h ( x ) ? h (1) ? ? 1 2

a

2

x

?

? x ? 2 ax ? a
2

2

x

?

? (x ? a) x

2

? 0 , h ( x ) 在 (1, ?? ) 上 是 减 函

? 2 a ? 0 ,所以 a ? 1 1 , ]. 2 4

1 4

. -----------------10 分

综合可知 a 的取值范围是 [? 另解: (接在(*)号后) 先考虑 h ( x ) ,
a
2

h ?( x ) ? ? x ? 2 a ?

x

??

(x ? a) x

2

? 0 ,--------------8 分
1 2 ? 2 a ? 0 ,解得 a ? 1 4 1 4

h ( x ) 在 (1, ?? ) 上递减,只要 h (1) ? 0 ,即 ?

.-----------7 分

而 p ?( x ) ?

( x ? 1)[( 2 a ? 1) x ? 1] x 1 2

对 x ? (1, ?? ) ,且 a ?
1 2

有 p ?( x ) ? 0 . --------8 分
1 2 ?a? 1 4

只要 p (1) ? 0 ,即 a ? 即 a 的取值范围是 [?

? 2 a ? 0 ,解得 a ? ?

,所以 ?

,--------9 分

1 1 , ]. 2 4

-----------------10 分

3 2 【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】7. f ( x ) ? ax ? 3 x ? 2 ,若 f ?( ? 1) ? 4 ,则 a =

A.

19 3

B.

16 3

C.

13 3

D.

10 3

【答案】D 【山东省济南市 2012 届高三 12 月考】17.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( 4 ) ? 1 , f ?( x ) 为
f ( x ) 的导函数,已知 y ? f ?( x ) 的图象如图所示,若两个正数 a , b 满足 f ( 2 a ? b ) ? 1 ,则

b?2 a?2

的取值范围是

1 1 A. ( , ) 3 2 1 C. ( ,3 ) 2

1 B. ( ?? , ) ? ( 3, ?? ) 2

D. (?? ,3 )

【答案】C 【山东省济南外国语学校 2012 届高三 9 月质量检测】11.已知 f ?( x ) 是函数 f ( x ) 的导数, y= f ?( x ) 的 图 象 如 图 所 示 , 则 y= f ( x ) 的 图 象 最 有 可 能 是 下 图 中 ( )

【答案】B 【山东省济南外国语学校 2012 届高三 9 月质量检测】22. (12 分)已知函数 f(x)=x3-ax2 -3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个 交点?若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由. 【答案】22.【解】 (1)f′(x)=3x -2ax-3. ∵f(x)在[1,+∞)是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0,即 3x -2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立, 则必有 ≤1 且 f′(1)=-2a≥0.∴a≤0. ???4 分 3 1 (2)依题意,f′(- )=0, 3 1 2 即 + a-3=0. 3 3 ∴a=4,∴f(x)=x -4x -3x.
3 2 2 2

a

令 f′(x)=3x -8x-3 =0, 1 得 x1=- ,x2=3. 3 则当 x 变化时,f′(x)与 f(x)变化情况如下表

2

x f′(x) f(x)

1

(1,3) -

3 0 -18

(3,4) + ?

4

- 6

?

-12

∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. ???8 分 3 2 (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点, 即方程 x -4x -3x=bx 恰有 3 个 不等实根. 3 2 ∴x -4x -3x-bx=0, ∴x=0 是其中一个根, 2 ∴方程 x -4x-3-b=0 有两个非零不等实根.
?Δ =16+4(3+b)>0 ? ∴? ? ?-3-b≠0

∴b>-7 且 b≠-3. ∴存在满足条件的 b 值,b 的取值范围是 b>-7 且 b≠-3. ???12 分 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】4.函数 y ? x cos x ? sin x 的一个递增 区间是( ) ? 3? A. ( , )
2 2

B. (? , 2? )

C. (

3? 5? , ) 2 2

D. ( 2? ,3? )

【答案】B 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】10.函数 f ( x ) ? 3 ? x ln x 的单调递减区 间是( ) A.(–∞, )
e 1

B. ( 0 ,

1 e

)

C. ( , ? ? )
e

1

D. ( , e )
e

1

【答案】B 【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】20.(本小题满分 12 分)已知 a f ( x ) ? ln x ? ? 2 . g ( x ) ? ln x ? 2 x x (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)试问过点 ( 2 ,5 ) 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切?请说明理由。 【答案】20.解: x?a ( x ? 0) (1) f ?( x ) ? 2 x

????????1 分

(ⅰ)当 a ? 0 时,? f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增

??????3 分

(ⅱ)当 a ? 0 时,若 0 ? x ? a , 则 f ?( x ) ? 0 ;若 x ? a , 则 f ?( x ) ? 0 ? f ( x ) 在 ? 0, a ? 上单调 递减,在 ( a , ?? ) 上单调递增 分 (2)设切点为 ? x 0 , ln x 0 ? 2 x 0 ? ? g ?( x ) ?
? 切线方程为: y ? ? ln x 0 ? 2 x 0 ? ? (

????????5

1 x

?2

??????6 分

1 x0

? 2)( x ? x 0 )

? 切线过点(2,5)? 5 ? ? ln x 0 ? 2 x 0 ? ? (

1 x0

? 2)(2 ? x 0 )

即 x0 ln x0 ? 2 x 0 ? 2 ? 0 ??(*) 令 ? ( x ) ? x ln x ? 2 x ? 2 , ? ?( x ) ? ln x ? 1
? 当 0 ? x ? e 时, ? ?( x ) ? 0 ;当 x ? e 时, ? ?( x ) ? 0

????????8 分 ??????9 分

? ? ( x ) 在 ? 0, e ? 上单调递减,在 ( e , ?? ) 上单调递增

????????10 分

1 2e ? 3 ?1 2? 2 ? 0, ? ( e ) ? 2 ? 0 ? ? ( x ) ? 0 在 ? , e ? 上有两个零 又? ? ( e ) ? ? e ? 2 ? 0, ? ( ) ? e e ?e ?

点,即方程(*)在 ? 0, ?? ? 上有两个根
? 过点 ? 2, 5 ? 可作两条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切.

????????12 分

【山东省济宁市重点中学 2012 届高三上学期期中文】21. (本小题满分 12 分)已知函数
f ( x) ? x e
x

, g ( x) ?

(2 ? x ) e e
2

x

.

(Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 求证:当 x ? 1 时, f ( x ) ? g ( x ); (Ⅲ) 如果 x1 ? x 2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,求证: f ( x1 ) ? f (2 ? x 2 ). 【答案】21.解:⑴∵ f ( x ) = 分) 令 f ?( x ) =0,解得 x ? 1 .
x e
x

,∴ f ?( x ) =

1? x e
x



(2

x

( ?? ,1)

1

(1, ?? )

f ?( x ) f ( x)

+ ↗

0 极大值
1 e

- ↘ (3 分)

∴当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) =
x e
x

1 e


(2 ? x ) e e
2x 2 x

(4 分)

⑵证明: 令 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?

?

,则

F ?( x ) =

1? x e
x

?

e (1 ? x )
x

e

2

?

(1 ? x )( e ? e )
2

e

x?2



(6 分)

2 2x 当 x ? 1 时, 1 ? x <0, 2 x >2,从而 e ? e <0,

∴ F ?( x ) >0, F ( x ) 在 (1, ?? ) 是增函数.
∴ F ( x ) ? F (1) ?

1 e

?

1 e

? 0, 故 当 x ? 1时 , f ( x ) ? g ( x ).

(8 分)

⑶证明:∵ f ( x ) 在 ( ?? ,1) 内是增函数,在 (1, ?? ) 内是减函数. ∴当 x1 ? x 2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 时, x1 、 x 2 不可能在同一单调区间内. ∴ x1 ? 1 ? x 2 , 由⑵的结论知 x ? 1 时, F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) >0,∴ f ( x 2 ) ? g ( x 2 ) . ∵ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,∴ f ( x1 ) ? g ( x 2 ) . 又 g ( x 2 ) ? f (2 ? x 2 ) ,∴ f ( x1 ) ? f (2 ? x 2 ). (12 分)

【山东省济宁一中 2012 届高三第三次定时检测文】 10. 函数 y ? f ( x ) 的图象过原点且它的导 函数 y ? f '( x ) 的图象是如图 所示的一条直线,则 y ? f ( x ) 图象的顶点在 ( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【山东省莱州一中 2012 届高三第二次质量检测】22.(本小题满分 14 分) 设函数 f (x ) ? x 3 ? ax 2 ? ax, g(x ) ? 2x 2 ? 4x ? c .
3 1

(1) 试问函数 f (x ) 能否在 x ? ? 1 时取得极值?说明理由; (2) 若 a=-1,当 x ? [ ?3, 4] 时,函数 f (x ) 与 g(x ) 的图像有两个公共点,求 c 的取值范围.

【答案】22.解: (1)由题意 f '(x ) ? x 2 ? 2ax ? a , 假设在 x ? ? 1 时 f (x ) 取得极值,则有 f '( ? 1) ? 1 ? 2a ? a ? 0,? a ? ? 1 ??????4 分 而此时, f '(x ) ? x 2 ? 2x ? 1 ? (x ? 1)2 ? 0 ,函数 f (x ) 在 R 上为增函数,无极值. 这与 f (x ) 在 x=-1 有极值矛盾,所以 f (x ) 在 x=-1 处无极值.????????6 分 (2)设 f (x ) ? g(x ) ,则有 x 3 ? x 2 ? 3x ? c ? 0,? c ? x 3 ? x 2 ? 3x
3 1 3 1 1

设 F(x ) ? x 3 ? x 2 ? 3x , G (x ) ? c ,令 F '(x ) ? x 2 ? 2x ? 3 ? 0 .解得 x 1 ? ? 1 或 x ? 3 .?8 分
3

列表如下: X
F '(x )

-3

(-3,-1) +

-1 0
5 3

(-1,3) 减

3 0 -9

(3,4) + 增
?

4
20 3

F(x)

-9



由此可知:F(x)在(-3,-1)(3,4)上是增函数,在(-1,3)上是减函数。??10 分 、 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F(-1)= ;当 x=3 时,F(X)取得极小值
3 5

F(-3)=F(3)=-9,而 F(4)=-

20 3

. ???????12 分

如果函数 f (x ) 与 g(x)的图像有两个公共点,则函数 F(x ) 与 G (x ) 有两个公共点。 所以 ?
20 3 ?c? 5 3

或 c ? ? 9 .????????????????????14 分

【 山 东 省 莱 州 一 中 2012 届 高 三 第 二 次 质 量 检 测 】 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f ( ? x ) ? ? f ( x ), g ( ? x ) ? g ( x ), 且 x ? 0 时, f ' ( x ) ? 0 , g ' ( x ) ? 0 ,则 x ? 0 时( ) A. f ' ( x ) ? 0 , g ' ( x ) ? 0 C. f ' ( x ) ? 0 , g ' ( x ) ? 0 B. f ' ( x ) ? 0 , g ' ( x ) ? 0 D. f ' ( x ) ? 0 , g ' ( x ) ? 0

【答案】B 【山东省临清三中 2012 届高三上学期学分认定文】21. (本小题满分 12 分) a 设函数 f ( x ) ? ax ? ? 2 Inx x (1)若 f ( x ) 在 x ? 2 时有极值,求实数 a 的值和 f ( x ) 的单调区间; (2)若 f ( x ) 在定义域上是增函数,求实数 a 的取值范围 【答案】21.(本小题满分 12 分)

? 解: (I) f ( x )的定义域是( 0, ? )
ax ? 2 x ? a
2

f ' ( x) ?

x

2

依题意 f ' ( 2 ) ? 0 , 解得 a ?

4 5

………………….3 分

4 f ' ( x) ? 5

x ? 2x ?
2

4

2

x

2

5 ? 5

( 2 x ? 1)( x ? 2 ) x
2

1 1 当 x ? ( 0 ,. ), f ' ( x ) ? 0 , x ? ( , 2 )., f ' ( x ) ? 0, ? ( 2 , ?? ), f ' ( x ) ? 0 .x 2 2 1 1 ? ,)上是减函数 2 所以 f ( x ) 分别在( 0, )和( 2, ? )上是增函数,在( 2 2

……..6 分

(II)由(I)知 f ' ( x ) ?

ax ? 2 x ? a
2

x
2

2

, 令 h ( x ) ? ax ? 2 x ? a
2

则由 h ( x ) ? a ( x ? 1) ? 2 x ? 0 , x ? 1 ? 0
2

a?

2x x ?1
2

?

2 x? 1 x

…………………………………………………………………….9 分

? x ? 0, x ?

1 x

? 2 ,?

2 x? 1 x

?

2 2

? 1 ……………………………………………………12 分

?a ?1
所以 a ? ?1, ?? . f ( x ) 在定义域上是增函数
【 山 东 省 临 清 三 中
4

………………………………………….14 分

2012

届 高 三 上 学 期 学 分 认 定 文 】 9. 若 曲 线
3 x ? y ? 0 ,则点 P 的坐标为

f ( x )? x ? x 在点 P 处的切线平行于直线

A.(1,0) 【答案】A

B. (1,5)

C.(1, ? 3 )

D. ( ? 1 ,2)

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】8.设 f ( x ) ? ? x 3 ? ax 2 ? x ? 1 在(-∞,+∞) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 A. (
? ?

) C.

? ?? , ?

3 ? ? ? 3, ?? ? ?

?

B. ? ? 3, 3 ?
? ?

? ?? , ? 3 ? ? ?

3, ?? D. ? 3, 3

? ?

?

【答案】B 【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】 11.若函数 f ( x ) ? 则 a= A.5 【答案】D ( B.6 ) C.7
x ?a
2

x ?1

在 x=2 处取得极值,

D.8

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】12.定义在 R 上的函数 y ? f ( x ) ,满足
f (4 ? x ) ? f ( x ), ( x ? 2) f '( x ) ? 0

,若 x1 ? x 2 且 x1 ? x2 ? 4 ,则( C. f ( x1 ) ? f ( x2 )

) D.不确定

A. f ( x1 ) ? f ( x 2 )

B. f ( x1 ) ? f ( x 2 )

【答案】B 【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】14.函数 f ( x ) ? 3 x ? sin x , x ? ? 0,1? 的最小 值 . 【答案】1

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ( ax ? 1) e x , a ? R

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的极值;

(2)若函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. 【答案】21.解析(1)因为 f '( x ) ? ( ax ? a ? 1) e x ,所以当 a=1 时, f '( x ) ? xe x , ??2 分 令 f '( x ) ? 0, 则 x=0,所以 f ( x ), f '( x ) 的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f′(x) 0 +

↘ ↗ ? f(x) 极小值 所以 x=0 时,f(x)取得极小值 f(0)=-1. (2)因为 f '( x ) ? ( ax ? a ? 1) e x , 函数 f(x)在区间(0,1)上是单调增函数,所以 f '( x ) ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立.??6 分 又 e x ? 0 ,所以只要 ax ? a ? 1 ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立,??8 分 解法一:设 g ( x ) ? ax ? a ? 1 ,则要使 ax ? a ? 1 ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立,

只要 ?

? g (0) ? 0, ? g (1) ? 1

成立,??10 分

即?

? a ? 1 ? 0, ?2a ? 1 ? 0

解得 a ? 1 .??12 分
1 x ?1 1 0 ?1

解法二:要使 ax ? a ? 1 ? 0 对 x ? (0,1) 恒成立,因为 x ? 0 ,所以 a ? 因为函数 g ( x ) ?
1 x ?1

对 x ? (0,1) 恒成立,

在(0,1)上单调递减,所以只要 a ? g (0) ?

? 1.

【山东省莱州一中 2012 届高三第一次质量检测文】22. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ? f ( x ) ?
ln x x ,

(1)求函数 y ? f ( x ) 的图像在 x ?

1 e

处的切线方程;

(2)求 y ? f ( x ) 的最大值; (3)设实数 a ? 0 ,求函数 F ( x ) ? af ( x ) 在 ? a , 2 a ? 上的最小值. 【 答 案 】 22. 解 析 ( 1 ) ? f ( x ) 定 义 域 为 ( 0 , + ∞ ),

? f '( x ) ?

1 ? ln x x
2

??? f ( ) ? ? e , 又 ? k ? f '( ) ? 2 e 2 ,
e e 1 e

1

1

? 函数 y ? f ( x ) 在 x ?

处的切线方程为 y ? e ? 2 e 2 ( x ? ), 即 y ? 2 e 2 x ? 3e. ????4 分
e

1

(2)令 f '( x ) ? 0 得 x ? e. ? 当 x ? (0, e ) 时, f '( x ) ? 0, f(x)在(0, e)上为增函数; 当 x ? ( e, ?? ) 时, f '( x ) ? 0, f ( x ) 在(e,+∞)上为减函数,? f ( x ) max ? f ( e ) ? . ??7 分
e 1

(3)∵a>0,由(2)知:F(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减, ? F(x)在[a,2 a]上的最小值 F ( x ) min ? min{ F ( a ), F (2 a )}.
? F ( a ) ? F (2 a ) ? 1 2 ln a 2 , ? 当 0 ? a ? 2 时, F ( a ) ? F (2 a ) ? 0, F ( x ) min ? F ( a ) ? ln a ; 1

当 2<a 时, F ( a ) ? F (2 a ) ? 0, F ( x ) min ? F (2 a ) ? ln 2 a. ??14 分
2

(3)另法:①2 a<e,即 a ? ② a ? e ? 2a 即
e 2 ?a?e

e 2

, Fmin ? F ( a ) ? ln a ??8 分 ln 2 a 2 e 2 ? a ? 2 时, Fmin ? ln a ??12 分

F ( a ) ? ln a , F (2 a ) ?

1° 2 ? a ? e 时 Fmin ?

ln 2 a 2

??10 分
ln 2 a 2

2°,

③ a ? e 时, Fmin ? F (2 a ) ?
? 0 ? a ? 2 时 Fmin ? ln a

??13 分
1 2 ln 2 a ??14 分

a ? 2 时, Fmin ?

【山东省聊城一中 2012 届高三上学期期中考试文】15.已知函数 f(x)的定义域为[-2,+∞), 部分对应值如下表.f′(x)为 f(x)的导函数,函数 y=f′(x)的图象如图所示.若实数 a 满足 f(2a +1)<1,则 a 的取值范围是_________

x f(x)

-2 1

0 -1

4 1

? 3 3? 【答案】 ? ? , ? ? 2 2?

【山东省聊城一中 2012 届高三上学期期中考试文】2.函数 f ( x ) ? x ? ax ? 3 x ? 9 , 已知
3 2

f ( x ) 在 x ? ? 3 时取得极值,则 a 的值等于(

A.2 【答案】D

B.3

C.4

) D.5

【山东省青岛十九中 2012 届高三上学期模块检测文】5.曲线 y= x ? 3 x 有一条切线与直线
3 2

3 x+y=0 平行,则此切线方程为 A. x-3y+l=0 C. 3x - y -l = 0 【答案】D

( B. 3x+y-5=0 D. 3x+ y -l= O
3



【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考数学(文) 】14.若曲线 f ( x ) ? ax ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 . 【答案】 ? ?? , 0 ? 【山东省青州市 2012 届高三 2 月月考数学(文) 】22. (本小题满分 14 分)已知函数 . f ( x ) ? a ln x ? ax ? 3( a ? R 且 a ? 0 ) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 的图像在点 ( 2 , f ( 2 )) 处的切线的斜率为 1 , 问: m 在什么范围取值时,对于任意的 t ? [1, 2 ] ,函数 g ( x ) ? x ? x [
3 2

m 2

? f ?( x )] 在区

间 (t ,3 ) 上总 存在极值? 【答案】22. (本小题满分 14 分) a (1 ? x ) 解: )由 f ?( x ) ? (Ι 知: x 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( 0 ,1) ,单调减区间是 (1, ?? ) ; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (1, ?? ) ,单调减区间是 ( 0 ,1) ;??????6 分 (Ⅱ)由
f ?( 2 ) ? ? a 2 ? 1 得 a ? ?2 f ' ?x? ? 2 ? 2 x.

∴ f ( x ) ? ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ,

?????????8 分

m 2 ? 3 2 ?m 3 g ( x ) ? x ? x ? ? f '( x ) ? ? x ? (2 ? ) x ? 2 x 2 ?2 ?

∴ g '( x ) ? 3 x ? (4 ? m ) x ? 2 , ∵ 函数 g ( x ) 在区间 (t ,3 ) 上总存在极值, ∴ g ?( x ) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3 ) 内????10 分
2

又∵函数 g ?( x ) 是开口向上的二次函数,且
? g ?( t ) ? 0 ? ? g ?( 3 ) ? 0

g ?( 0 ) ? ? 2 ? 0 ,∴

????12 分
2 t ? 3t ? 4 ,∵ H ( t ) ? 2 t ? 3t ? 4 在 [1, 2 ] 上单调递减,
37 3

由 所以

g ?( t ) ? 0 得 m ?

H (t ) min ? H ( 2 ) ? ? 9 ; m ? ? 9 , g ?( 3) ? 27 ? 3( 4 ? m ) ? 2 ? 0 , ∴ 由 解得 m ? ?
37 3
3



综上得: ?

? m ? ? 9 所以当 m 在 ( ?
2

37 3

, ? 9 ) 内取值时,对于任意 t ? [1, 2 ] ,函数

g ( x) ? x ? x [

m 2

? f ?( x )] ,在区间 (t ,3 ) 上总存在极值 .
2

????14 分

【 山 东 省 青 州 市 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 3 . 已 知 f ( x ) ? x ? 3 x f '(1) 则 f ' (1)为 ,

A.-2 C.0 D.1 【答案】B 【 山 东 省 滕 州 二 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 】 10: 如 图 所 示 的 曲 线 是 函 数

( ) B.-1

f ( x ) ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象,则 x 1 ? x 2 等于 (
3 2 2 2

) D.
5 4

A.

8 9

B.

10 9

C.

16 9

【答案】C 【 山 东 省 滕 州 二 中 2012 届 高 三 上 学 期 期 中 文 】 21: ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 曲 线
2 1 2 x ? k ?x? ? x ? 1 恒成立( a ? 0 ). 2 (1)求 k ?1? 的值; y? ax 3
3

?

1

bx ? cx 在点 x 处的切线斜率为 k ( x ) ,且 k ( ?1) ? 0 ,对一切实数 x ,不等式
2

?

?

(2)求函数 k ? x ? 的表达式; (3)求证:
1 k (1) ? 1 k ( 2) ? 1 k (3) ?? ? 1 k (n) ? 2n n?2
1 2

.

【答案】21.解: (1) k ? x ? ? ax
? 1 ? k ?1 ? ? 1 2

2

? bx ? c , ? x ? k ? x ? ?

? x 2 ?1 ? ,

?1?1?

? 1 , ? k ?1 ? ? 1

???.2 分

? k ( ? 1) ? 0 ? ? ?a ?b? c?0 ? ? ? ? (2) ? k (1) ?1 ? a ? b ? c ?1 ? ?

? b? 1 ? 2 ? ?a?c? 1 ? 2

??..4 分

? k ? x? ? x
? ax 2 ? 1 2 x ? c ? x , ax
2 ?

2

?

1 2

x ? c ? 0, ? ?

1 4

? 4 ac ? 0, ? ac ?

1 16



又 ac ?

(a?c) 4

1 1 1 1 1 即 16 ? ac ? 16 , ? ac ? 16 , ? a ? c ? 4 16

? k ? x? ?
1

1 4
4

x

2

?

1 2

x?

1 4

?

1 4

? x ?1 ? 2

??.8 分

(3)证明: k x ? ? ? ? x ?1 ? 2 .

∴原式 ?

4

? 1?1 ? 2

?

4

? 2 ?1 ? 2

?

4

? 3 ?1 ? 2

?

??

? 1 1 1 ? 4? ? ? ? 2 ? 2 2 32 4 2 ? ? n ?1 ?
4

??

? ? 2? n ?1 ? ? ? 1

??..10 分

1 1 ? 1 ? 4? ? ? ? ? 2? 3 3? 4 4? 5

??

? ? ? n ?1 ?? n ? 2 ? ? ? 1

?1 1 1 1 1 1 ? 4? ? ? ? ? ? ? ?2 3 3 4 4 5

??

1 n ?1

?

1 ? ? n?2 ?

n 2n 1 ? ?1 ? 4? ? ? ? ? 4? 2? n ? 2 ? n?2 ? 2 n?2 ?

????.12 分

【 山 东 省 微 山 一 中 2012 届 高 三 10 月 月 考 数 学 ( 文 ) 21 、 14 分 ) 已 知 函 数 】 (
f ( x ) ? 4 x ? 3tx ? 6 t x ? t ? 1, x ? R, 其 中 t ? R ,
3 2 2

(1)当 t=1 时,求曲线 y ? f ( x ) 在 点 (0, f (0)) 处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求的单调区间; (3)证明:对任意的 t ? (0, ?? ), f ( x ) 在区间(0,1)内均存在零点。 解析:(1)简单考查导数的几何意义,导数运算以及直线方程; (2)考查导数在研究函数的单 调性方面的运用,分类讨论; (3)考查分类讨论,函数与方程以及函数零点的性质,是中档 偏上题。 3 2 2 (1)当 t=1 时, f ( x ) ? 4 x ? 3 x ? 6 x , f (0) ? 0, f ?( x ) ? 12 x ? 6 x ? 6, f ?(0) ? ? 6,
所 以 曲 线 y ? f ( x )在 点 (0, f (0))处 的 切 线 方 程 为 y ? ? 6 x.
t 2

(2) f ?( x ) ? 12 x ? 6 tx ? 6 t , 令 f ?( x ) ? 0, 解 得 x ? ? t 或 x ?
2 2

.

因为 t≠0,以下分两种情况讨论: t ①若 t ? 0 则 ? ? t , 当 x 变 化 时 , f ?( x ) f ( x ) 的变化情况如下表: 2 x
f ?( x ) f ( x)

t ( ?? , ) 2

t ( , ?t ) 2

(-t,∞) +





t t 所以, f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , ) , (-t,∞) f ( x ) 的单调递减区间是 ( , ? t ) 。 ; 2 2 t ②若 t ? 0 则 ? t ? , 当 x 变 化 时 , f ?( x ) f ( x ) 的变化情况如下表: 2

t t ) 所以, f ( x ) 的单调递增区间是(-∞,t) ( , ?? ; f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? t , ) 。 , 2 2 综上可得: t t 当 t<0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 ( ?? , ) , (-t, ; f ( x ) 的单调递减区间是 ( , ? t ) ∞) 2 2 t t ) 当 t>0 时, f ( x ) 的单调递增区间是 (-∞, , , ?? ;f ( x ) 的单调递减区间是 ( ? t , ) 。 t) ( 2 2 t t (3)由(2)可知,当 t>0 时, f ( x ) 在 (0, ) 内的单调递减,在 ( , ?? ) 内单调递增, 2 2 以下分两种情况讨论: t ①当 ? 1即 t ? 2时 , f ( x ) 在 (0,1)内单调递减, 2 2 f (0) ? t ? 1 ? 0, f (1) ? ? 6 t ? 4 t ? 3 ? ? 6 ? 4 ? 4 ? 2 ? 3 ? 0.

所以对任意 t ? [2, ?? ], f ( x ) 在区间(0,1)内均存在零点。 ②当 0 ?
t t ? 1即 0 ? t ? 2 时, f ( x ) 在 (0, ) 内的单调递减,在 ( ,1) 内单调递增, 2 2 2 t

1 7 3 7 3 若 t ? (0,1], f ( ) ? ? t ? 1 ? 1 ? ? t ? 0, 2 4 4 f (1) ? ? 6 t ? 4 t ? 3 ? ? 6 t ? 4 t ? 3 ? ? 2 t ? 3 ? 0,
2

t 所 以 f ( x ) 在 ( ,1)内 存 在 零 点 . 2 1 7 3 7 3 若 t ? (1, 2), f ( ) ? ? t ? ( t ? 1) ? ? t ? 1 ? 0, f (0) ? t ? 1 ? 0, 2 4 4 t 所 以 f ( x ) 在 (0, )内 存 在 零 点 . 2

【山东省微山一中 2012 届高三 10 月月考数学(文) 】4.曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处 的切线与 y 轴交点的纵坐标是 ( ) A.-10 B.-3 C.10 D.15 【答案】C
2

解析: y

' x ?1

? 2, 所以在点 P(1,12)处的切线为 y ? 12 ? 2( x ? 1), 即 2 x ? y ? 10 ? 0 ,令 x=0

得:x=10,简单考查导数运算以及几何意义,直线方程,是简单题. 【山东省潍坊市三县 2012 届高三 12 月联考文】20. 设函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ln x ,曲线
2

y ? f ( x ) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2.

(I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x ) ? 2 x ? 2 .

f ?( x ) ? 1 ? 2 ax ?

b x

.

【答案】20. (I)

? f (1) ? 0, ?1 ? a ? 0, 即? ? f ?(1) ? 2. ?1 ? 2 a ? b ? 2. 由已知条件得 ? ,解得 a ? ? 1, b ? 3.
2 (II) f ( x )的 定 义 域 为 (0, ?? ) ,由(I)知 f ( x ) ? x ? x ? 3 ln x.

设 g ( x ) ? f ( x ) ? (2 x ? 2) ? 2 ? x ? x ? 3 ln x , 则
2

g ?( x ) ? 1 ? ? 2 x ?

3 x

??

( x ? 1)(2 x ? 3) x

.

当 0 ? x ? 1时 , g ?( x ) ? 0; 当 x ? 1时 , g ?( x ) ? 0. 所 以 g ( x ) 在 (0,1) 单 调 增 加 , 在 (1, ?? ) 单 调 减 少 .

而 g (1) ? 0, 故 当 x ? 0时 , g ( x ) ? 0, 即 f ( x ) ? 2 x ? 2.


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