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2016年宁夏吴忠市高考数学二模试卷(理科)(解析版)


2016 年宁夏吴忠市高考数学二模试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 i 为虚数单位,复数 z=a+i(a<0) ,且|z|= ,则复数 z 的实部为( ) A.3 B.﹣3 C.﹣1 D.i 2.已知集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={﹣1,0,1},则 A∩B 的子集的个数为( ) A.16 B.15 C.8 D.7 3.某单位老年人、中年人、青年人的人数如表,用分层抽样的方法抽取 17 人进行单位管理 问卷调查,其中抽到 3 位老年人,则抽到的中年人人数为( ) 类别 人数 15 老年人 中年人 ? 40 青年人 A.9 B.8 C.6 D.3 4.已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,下列命题中正确的是( ) A.若 α∥β,m⊥n,m⊥α,则 n∥βB.若 α⊥β,m∥n,m⊥β,则 n? α C.若 n⊥α,m⊥α,则 m∥n D.若 α⊥β,n∥α,m⊥β,则 m⊥n 5.某次招聘考试中,考生甲在答对第一道题的情况下也答对第二道题的概率为 0.8,这两道 题均答对的概率为 0.5,则考生甲答对第一道题的概率为( ) A. B. C. D. )

6.执行如图所示的程序框图,则输出的 y 值为(

A.1

B.0

C.

D.﹣

7. AA1=3, BB1=2, CC1=1, 如图 1 是一个正三棱柱被平面 A1B1C1 截得的几何体, 其中 AB=2, 几何体的俯视图如图 2,则该几何体的正视图是( )

A.

B.

C.

D.

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8.已知函数 f(x)=log2|x|﹣1.若 a=f(﹣4) ,b=f(2sinθ) ,c=2f(sinθ) ,θ≠ 则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c

,k∈Z,

9.已知实数 x,y 满足

若 z=y+mx 有最大值 12,则实数 m 的取值为(



A.﹣4 B.﹣8 C.8 10.过双曲线 C:

D.4 =1 的右焦点 F 作一直线(不平行于坐标轴)交双曲线于 A、B )

两点,若点 M 是 AB 的中点,O 为坐标原点,则 kAB?kOM 的值为( A. B.﹣ C. D.﹣ )

11.函数 f(x)=

﹣sin2x 的图象大致是(

A.

B.

C.

D.

12.设定义在区间(0,+∞)内的函数 f(x)满足下列条件:①单调递增;②f(x)?f[f (x)+ ]=4 恒成立;③f(2)+1>0,则 f(2)=( A.1﹣ B.1+ C.1± D.2 )

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.执行表中的算法语句,若输入(INPUT)的 x 值为 2,则输出(PRINT)的 y 值 为 .

14.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,过点 P(1,1)作直线 l 与圆 x2+y2=9 分别相交 于 A,B 两点,则弦|AB|的最大值与最小值的积为 . 15.如图所示,在△ABC 中,FC=2BF,AC=4AE,BC=3,AC=4,∠ACB=60°,则 ? = .

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16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 b=2,△ABC 的面积 S=2 且 2ccosA=2b﹣ a,则 a= . 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,Sn=2an+1﹣1(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn= (n∈N+) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.



18.2016 年是我国重点打造“智慧城市”的一年,主要在“智慧技术、智慧产业、智慧应用、 智慧服务、智慧治理、智慧人文、智慧生活”7 个方面进行智慧化.现假设某一城市目前各 项指标分数 x(满分 10 分)与智慧城市级别 y(级)的有关数据如表: 智慧技 智慧产 智慧应 智慧服 智慧治 智慧人 智慧生 项目 术 业 用 务 理 文 活 指标分数 6.8 7 6.8 6.8 7.2 7 7.4 x 智慧级别 9 8.8 9 9.1 9.2 8.8 9.1 y (1)请根据表中的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程; (2)从智慧城市级别的 7 项指标中随机抽取 1 项指标,级别在区间[9.1,10)内记 10 分, 在区间[9,9.1)内记 6 分,在区间[8,9)内记 5 分.现从中随机抽取 2 项指标考查,记得 分总和为 ξ,求 ξ 的分布列与数学期望.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 =



. 19.如图,在多面体 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 A1B1BA 是正方形,AC=AB=1,△A1BC 为 等边三角形, =2 .

(1)求证:AC1⊥BC; (2)求二面角 C﹣A1C1﹣B 的余弦值的大小.

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20.已知椭圆 E:

=1(a>1) ,过点 B( ,﹣ )作斜率为 1 的直线 l 交椭圆 E

于 C、D 两点,点 B 恰为线段 CD 的中点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设动点 Q 在椭圆 E 上,点 R(﹣1,0) ,若直线 QR 的斜率大于 1,求直线 OQ 的斜率 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=﹣x3﹣mx+ 数) . (1)当实数 m 为何值时,直线 y=2x+ 与曲线 y=f(x)相切; (m<0) ,g(x)=﹣e﹣x﹣1+1(其中 e 为自然对数的底

(2)记函数 h(x)= 的零点个数.

x∈R,当 m>﹣1﹣

时,试讨论函数 h(x)

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图所示,过点 P 作⊙O 的切线 PA,A 为切点,割线 PB 交⊙O 于点 B、C,R 为⊙O 上的点,且有 AC=AR. (1)证明:∠PAC=∠ACR; (2)若 AB 为⊙O 的直径,证明 = .

[选修 4-4:坐标系及参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l:x﹣y=1,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系 中,曲线 C:ρ2+ρ2sin2θ﹣2=0,直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求△OPQ 的面积. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设 f(x)=|x﹣m|+|x+m|,x∈R.记不等式 f(2)>5 的解集为 M. (1)若 m0∈M,求 m02+ 的最小值;

(2)若 a,b∈M,证明:16a2b2+625>100a2+100b2.

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2016 年宁夏吴忠市高考数学二模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知 i 为虚数单位,复数 z=a+i(a<0) ,且|z|= A.3 B.﹣3 C.﹣1 D.i

,则复数 z 的实部为(



【考点】复数求模. 【分析】利用复数模的公式得到关于 a 的方程,求解方程得答案. 【解答】解:∵z=a+i(a<0) ,且|z|= , ∴ 则 a2=9, ∴a=﹣3. 故选:B. 2.已知集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={﹣1,0,1},则 A∩B 的子集的个数为( A.16 B.15 C.8 D.7 【考点】交集及其运算. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的交集,确定出交集子集个数即可. 【解答】解:∵A={﹣1,0,1,2,3},B={﹣1,0,1}, ∴A∩B={﹣1,0,1}, 则 A∩B 的子集的个数为 23=8, 故选:C. 3.某单位老年人、中年人、青年人的人数如表,用分层抽样的方法抽取 17 人进行单位管理 问卷调查,其中抽到 3 位老年人,则抽到的中年人人数为( ) 类别 老年人 中年人 青年人 A.9 B.8 人数 15 ? 40 C.6 D.3 ) ,即 a2+1=10,

【考点】分层抽样方法. 【分析】根据老年人的人数和抽取的人数,得到每个个体被抽到的概率,根据三个层次的人 数,做出总体数,根据概率求出要抽取的人数. 【解答】解:∵单位有 15 名老年人,n 名中年人,40 名青年人, 用分层抽样的方法从他们中抽取了 17 个人进行体检,其中有 3 名老年人, ∴ = ,

∴n=30, ∴抽到的中年人人数为 30× 故选:C
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=6 人,

4.已知 α、β 是两个不同的平面,m、n 是两条不同的直线,下列命题中正确的是( A.若 α∥β,m⊥n,m⊥α,则 n∥βB.若 α⊥β,m∥n,m⊥β,则 n? α C.若 n⊥α,m⊥α,则 m∥n D.若 α⊥β,n∥α,m⊥β,则 m⊥n 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】利用平面与平面平行、垂直,线面垂直、平行的判定与性质,即可得出结论. 【解答】解:若 α∥β,m⊥n,m⊥α,则 n∥β 或 n? β,故 A 不正确; 若 α⊥β,m∥n,m⊥β,则 n? α 或 n∥α,故 B 不正确; 若 n⊥α,m⊥α,利用垂直于同一平面的两条直线平行,可得 m∥n,故 C 正确; 若 α⊥β,n∥α,m⊥β,则 m、n 垂直,平行、异面都有可能,故 D 不正确. 故选:C.



5.某次招聘考试中,考生甲在答对第一道题的情况下也答对第二道题的概率为 0.8,这两道 题均答对的概率为 0.5,则考生甲答对第一道题的概率为( ) A. B. C. D.

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】设事件 A 表示“考生甲在答对第一道题”,事件 B 表示“考生甲在答对第二道题”, 由已知得 P(B|A)=0.8,P(AB)=0.5,由此利用条件概率计算公式能求出考生甲答对第 一道题的概率. 【解答】 解: 设事件 A 表示“考生甲在答对第一道题”, 事件 B 表示“考生甲在答对第二道题”, ∵某次招聘考试中,考生甲在答对第一道题的情况下也答对第二道题的概率为 0.8, 这两道题均答对的概率为 0.5, ∴P(B|A)=0.8,P(AB)=0.5, ∵P(B|A)= , = = .

∴考生甲答对第一道题的概率:P(A)= 故选:C. 6.执行如图所示的程序框图,则输出的 y 值为(



A.1

B.0

C.

D.﹣

【考点】程序框图. 【分析】模拟执行程序,依次写出每次循环得到的 p,n 的值,当 p=﹣1 时,不满足条件 p > ,退出循环,计算并输出 y=sin(﹣ 【解答】解:模拟执行程序,可得 p=5,n=0 执行循环体,p=5,n=1 )=﹣ ,从而得解.

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满足条件 p> ,执行循环体,p=4,n=2 满足条件 p> ,执行循环体,p=2,n=3 满足条件 p> ,执行循环体,p=﹣1,n=4 不满足条件 p> ,退出循环,y=sin(﹣ 输出 y 的值为﹣ 故选:D. 7. AA1=3, BB1=2, CC1=1, 如图 1 是一个正三棱柱被平面 A1B1C1 截得的几何体, 其中 AB=2, 几何体的俯视图如图 2,则该几何体的正视图是( ) . )=﹣ ,

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由直观图和俯视图知底面△ABC 是正三角形,由正视图的定义进行判断即可. 【解答】解:由直观图和俯视图知,底面△ABC 是正三角形, 则正视图中点 B 的射影是边 AC 的中点,棱 BB1 的射影与棱 AA1、CC1 平行, 所以正视图是选项 A 中的图形, 故选:A. 8.已知函数 f(x)=log2|x|﹣1.若 a=f(﹣4) ,b=f(2sinθ) ,c=2f(sinθ) ,θ≠

,k∈Z,

则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 【考点】复合函数的单调性. 【分析】根据已知函数 f(x)=log2|x|﹣1.结合正弦函数和指数函数的图象和性质,分析 a,b,c 的范围,可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=log2|x|﹣1. ∴a=f(﹣4)=log2|﹣4|﹣1=log24﹣1=1, b=f(2sinθ)=log2|2sinθ|﹣1=log2(2sinθ)﹣1=sinθ﹣1∈(﹣2,0) ,

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c=2f(sinθ)= 故 a>c>b, 故选:C

=

∈(0, ) ,

9.已知实数 x,y 满足

若 z=y+mx 有最大值 12,则实数 m 的取值为(



A.﹣4 B.﹣8 C.8 D.4 【考点】简单线性规划的应用. 【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,分类讨论得到最优解, 联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立

,解得 A( , ) ,

联立

,解得 B(1,4) ,

化目标函数 z=mx+y 为 y=﹣mx+z, 当﹣m≤﹣1,即 m≥1 时,直线过 A 时在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 m+ =12,解 得 m=4; 当 2<﹣m,即 m<﹣2 时,直线过 B 时在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 m+4=12,解得 m=8(舍) . m=4 ∴ . 故选:D.

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10.过双曲线 C:

=1 的右焦点 F 作一直线(不平行于坐标轴)交双曲线于 A、B )

两点,若点 M 是 AB 的中点,O 为坐标原点,则 kAB?kOM 的值为( A. B.﹣ C. D.﹣

【考点】双曲线的简单性质. b) A y1) B y2) 【分析】 设M (a, , (x1, , (x2, , 易知 kOM= , 再由点差法可知 kAB= = ,由此可求出 kAB?kOM= .

【解答】解:设 M(a,b) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵M 为 AB 的中点,∴x1+x2=2a,y1+y2=2b, 把 A、B 代入双曲线 C: x12﹣ y12=1, x22﹣ y22=1, =1,得

两式相减得 (x1+x2) (x1﹣x2)= (y1+y2) (y1﹣y2) , ∴ a(x1﹣x2)= b(y1﹣y2) , ∴kAB= =



∵kOM= ,∴kAB?kOM= . 故选:A.

11.函数 f(x)=

﹣sin2x 的图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】函数的奇偶性和函数值的变化趋势即可判断. 【解答】解:因为 f(﹣x)= ﹣sin(﹣2x)=﹣f(x) ,

所以函数 f(x)为奇函数,故图象关于原点对称,故排除 C, ∵﹣1≤sin2x≤1,
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∴当 x→+∞时,f(x)→+∞,故排除 A, 但 x=1 是,f(1)< +sin2>0,故排除 D, 故选:B. 12.设定义在区间(0,+∞)内的函数 f(x)满足下列条件:①单调递增;②f(x)?f[f (x)+ ]=4 恒成立;③f(2)+1>0,则 f(2)=( A.1﹣ B.1+ C.1± D.2 , )

【考点】函数单调性的性质;函数恒成立问题. 【分析】由恒成立思想可令 x=2,可得 f(2)?f[f(2)+1]=4,运用排除法,设 f(2)=1+ f(2)=2,代入计算,运用单调性,即可判断不成立,进而得到答案. 【解答】解:由 f(x)?f[f(x)+ ]=4 恒成立, 可得 f(2)?f[f(2)+1]=4, 若 f(2)=1+ ,则(1+ )?f(2+ 即有 f(2+ )= =2( ﹣1) ,

)=4,

由 2+ >2,可得 f(2+ )>f(2) , 2 1 2 f 2 1 但 ( ﹣ )< ,则 ( )≠ + ,故排除 B,C; 若 f(2)=2,则 2f(3)=4,即 f(3)=2, 则 f(2)=f(3) ,这与 f(2)<f(3)矛盾,故排除 D. 故选:A. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.执行表中的算法语句,若输入(INPUT)的 x 值为 2,则输出(PRINT)的 y 值为

2 .

【考点】程序框图. 【分析】算法的功能是计算 y= 的值,代入 x=2,计算 y 的值即可得解.

【解答】解:由程序语句知:算法的功能是计算 y= 当输入的 x=2 时,y=22﹣2=2. 故答案为:2.

的值,

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14.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,过点 P(1,1)作直线 l 与圆 x2+y2=9 分别相交 于 A,B 两点,则弦|AB|的最大值与最小值的积为 12 . 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】点 P(1,1)在圆 x2+y2=9 内,弦|AB|的最大值是直径,再求出|AB|的最小值, 由此能求出弦|AB|的最大值与最小值的积. 【解答】解:∵12+12<9, ∴点 P(1,1)在圆 x2+y2=9 内, ∵过点 P(1,1)作直线 l 与圆 x2+y2=9 分别相交于 A,B 两点, ∴弦|AB|的最大值|AB|max=2r=6, |OP|= ,r=3, 弦|AB|的最小值|AB|min=2 ∴弦|AB|的最大值与最小值的积为:6× 故答案为:12 . = =12 =2 . ,

15.如图所示,在△ABC 中,FC=2BF,AC=4AE,BC=3,AC=4,∠ACB=60°,则 .

?

=

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知结合向量加法的三角形法则把 量积求得 ? . 【解答】解:∵FC=2BF,AC=4AE, ∴ , 又 BC=3,AC=4,∠ACB=60°, ∴ = = = 故答案为: . = . ? = , 用 表示,然后展开向量的数

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16.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,若 b=2,△ABC 的面积 S=2 且 2ccosA=2b﹣ a,则 a= 4 .



【考点】正弦定理. 【分析】由题意和余弦定理变形易得 cosC,进而可得 sinC,代入三角形的面积公式可得 a 的方程,解方程可得的. 【解答】解:∵在△ABC 中,2ccosA=2b﹣ a, ∴2c? =2b﹣ a,

∴b2+c2﹣a2=2b2﹣ ab, ∴b2+a2﹣c2= ab, ∴cosC= = ,

∴C=

,∴sinC= ; ,

又∵ABC 的面积 S= absinC= ab=2 ∴a= = =4 .

故答案为:4

三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1= ,Sn=2an+1﹣1(n∈N*) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 bn= (n∈N+) ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)由 Sn=2an+1﹣1(n∈N*) ,利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出. (2)bn= =2(n+1) ,利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出.

an=Sn﹣Sn﹣1=2an+1﹣1﹣ 【解答】 解: ( 1) ∵Sn=2an+1﹣1 (n∈N*) , ∴当 n≥2 时, (2an﹣1) , 化为: ,

∴数列{an}是等比数列,公比为 , ∴an= (2)bn= . =2(n+1) , +4× +…+ ,

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=2

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=2 ∴ =2

+…+

+(n+1)× (n+1)×



=2

=8﹣(2n+8)×



Tn=24﹣(6n+24)



18.2016 年是我国重点打造“智慧城市”的一年,主要在“智慧技术、智慧产业、智慧应用、 智慧服务、智慧治理、智慧人文、智慧生活”7 个方面进行智慧化.现假设某一城市目前各 项指标分数 x(满分 10 分)与智慧城市级别 y(级)的有关数据如表: 智慧技 智慧产 智慧应 智慧服 智慧治 智慧人 智慧生 项目 术 业 用 务 理 文 活 指标分数 6.8 7 6.8 6.8 7.2 7 7.4 x 智慧级别 9 8.8 9 9.1 9.2 8.8 9.1 y (1)请根据表中的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程; (2)从智慧城市级别的 7 项指标中随机抽取 1 项指标,级别在区间[9.1,10)内记 10 分, 在区间[9,9.1)内记 6 分,在区间[8,9)内记 5 分.现从中随机抽取 2 项指标考查,记得 分总和为 ξ,求 ξ 的分布列与数学期望.

附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 =



. 【考点】线性回归方程. 【分析】 (1)根据回归系数公式计算回归系数,得出回归方程; (2)根据各项指标的分数分布得出 ξ 的取值情况,计算各种可能的概率得到分布列,代入 公式计算数学期望. 【解答】解: (1) = =9. =7,

=0+0+0+(﹣0.2)×0.1+0.2×0.2+0+0.4×0.1=0.06.

=0.04+0+0.04+0.06+0.04+0+0.16=0.34.
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=

=

.

=9﹣

= =

. + .

∴y 关于 x 的线性回归方程为

(2)级别在[9.1,10)内的有 3 项,在区间[9,9.1)内的有两项,在区间[8,9)内的有两 项. ∴从中随机抽取 2 项指标考查,总得分 ξ 的取值集合为{10,11,12,15,16,20}. 从 7 项指标中随机抽取两项共有 =21 个基本事件,

P(ξ=10)=

,P(ξ=11)=

,P(ξ=12)=



P(ξ=15)= ∴ξ 的分布列为: ξ 10 P

,P(ξ=16)=

,P(ξ=20)=



11

12

15

16

20

∴ξ 的数学期望 E(ξ)=10×

+11×

+12×

+15× +16× +20× =



19.如图,在多面体 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 A1B1BA 是正方形,AC=AB=1,△A1BC 为 等边三角形, =2 .

(1)求证:AC1⊥BC; (2)求二面角 C﹣A1C1﹣B 的余弦值的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. A1A=AC=1, 【分析】 (1) 由已知得 A1C=A1B= , 由此能证明 A1A⊥平面 ABC, 从而 AC1 ⊥BC. (2)以 A 为原点,AC,AB,AA1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,利用向 量法能求出二面角 C﹣A1C1﹣B 的余弦值. 【解答】证明: (1)∵在多面体 ABC﹣A1B1C1 中,四边形 A1B1BA 是正方形, AC=AB=1,△A1BC 为等边三角形, ∴BC=A1C=A1B= ∴A1A2+AC2=A1C2, ∴A1A⊥AC,
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=2



=

,A1A=AC=1,

又 A1A⊥AB,∴A1A⊥平面 ABC, ∵BC? 面 ABC,∴AC1⊥BC. 解: (2)∵AC=AB=1,BC= ,∴AC2+AB2=BC2,∴AC⊥AB, ∵A1A⊥平面 ABC,∴以 A 为原点,AC,AB,AA1 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直 角坐标系, C(1,0,0) ,B(0,1,0) ,A1(0,0,1) ,C1( =( ,0) , =(1,0,﹣1) , ) ,

=(0,1,﹣1) ,

设平面 A1C1C 的法向量 =(x,y,z) , 则 ,取 x=1,得 =(1,﹣1,1) ,

设平面 A1C1B 的法向量 =(a,b,c) , 则 ,取 a=1,得 =(1,﹣1,﹣1) ,

设二面角 C﹣A1C1﹣B 的平面角为 θ, 则 cosθ=|cos< >|= = = ,

∴二面角 C﹣A1C1﹣B 的余弦值为 .

20.已知椭圆 E:

=1(a>1) ,过点 B( ,﹣ )作斜率为 1 的直线 l 交椭圆 E

于 C、D 两点,点 B 恰为线段 CD 的中点,O 为坐标原点. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)设动点 Q 在椭圆 E 上,点 R(﹣1,0) ,若直线 QR 的斜率大于 1,求直线 OQ 的斜率 的取值范围.
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【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)求出直线 l:y=x﹣1,与椭圆联立,得(a2+1)x2﹣2a2x=0,由此利用根的判 别式、中点坐标公式,求出 a2,由此能求出椭圆 E 的标准方程. (2)由题意 Q(2cosθ,sinθ) ,R(﹣1,0) , 由此能求出直线 OQ 的斜率的取值范围. 【解答】解: (1)∵直线 l 过点 B( ,﹣ )斜率为 1, ∴直线 l:y+ =x﹣ ,整理,得 y=x﹣1, >1,从而 ,

联立

,得(a2+1)x2﹣2a2x=0,

△=4a4﹣4(a2+1)>0,设 C(x1,y1) ,D(x2,y2) , ∵过点 B( ,﹣ )作斜率为 1 的直线 l 交椭圆 E 于 C、D 两点,点 B 恰为线段 CD 的中 点, ∴ 解得 a2=4, ∴椭圆 E 的标准方程为 (2)∵动点 Q 在椭圆 E: ∵直线 QR 的斜率大于 1,∴ ∴0<2cosθ+1<sinθ, ∴﹣ <cosθ<0, ∴ , = , ) . ) . , =1. =1 上,∴Q(2cosθ,sinθ) ,R(﹣1,0) , >1, ,

∵直线 OQ 的斜率 k=

∴直线 OQ 的斜率 k∈(﹣∞,﹣

∴直线 OQ 的斜率的取值范围是(﹣∞,﹣

21.已知函数 f(x)=﹣x3﹣mx+ 数) .

(m<0) ,g(x)=﹣e﹣x﹣1+1(其中 e 为自然对数的底

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(1)当实数 m 为何值时,直线 y=2x+

与曲线 y=f(x)相切;

(2)记函数 h(x)=

x∈R,当 m>﹣1﹣

时,试讨论函数 h(x)

的零点个数. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数零点的判定定理. 【分析】 (1)求出 f(x)的导数,设出切点(t,﹣t3﹣mt+ ) ,可得切线的斜率,由切线

的方程,可得 m,t 的方程,解得 m=﹣2; (2)由 g(x)=0,解得 x=﹣1,代入检验成立;由 y=f(x)与 x 轴相切,求得 m 的值, 讨论当﹣1﹣ <m<﹣ 时,当 m=﹣ 时,当﹣ <m<0 时,结合三次函数的极值和 f

(0)>0,即可得到零点的个数. 【解答】解: (1)函数 f(x)=﹣x3﹣mx+ 设切点为(t,﹣t3﹣mt+ 由切线方程 y=2x+ 解得 t=0,m=﹣2, 则有实数 m 为﹣2 时,直线 y=2x+ 与曲线 y=f(x)相切; 的导数为 f′(x)=﹣3x2﹣m,

) ,可得切线的斜率为﹣3t2﹣m, =2t+ ,

,可得﹣3t2﹣m=2,﹣t3﹣mt+

(2)g(x)=﹣e﹣x﹣1+1 为 R 上的增函数,且有 g(﹣1)=0, 当 g(x)<f(x) ,即﹣e﹣x﹣1+1<﹣x3﹣mx+ 可得﹣1+1<1+m+ ,即有 m>﹣1﹣ ,代入 x=﹣1,

成立; ,

当 g(x)≥f(x) ,即有﹣e﹣x﹣1+1≥﹣x3﹣mx+ 由 f(x)的图象与 x 轴相切,可得 f′(x)=0, 即有﹣3x2﹣m=0,又﹣x3﹣mx+ 解得 m=﹣ , 则当﹣1﹣ 实根; =0,

<m<﹣ 时,f(0)>0,f(x)=0 有两个负根,一个正根,共 3 个不等的

当 m=﹣ 时,f(x)与 x 轴相切,可得 f(x)=0 有 1 个负根,1 个正根,共 2 个不等的实 根; 当﹣ <m<0 时,f(x)=0 有 1 个正根.

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综上可得,当﹣1﹣

<m<﹣ 时,h(x)有 4 个零点;

当 m=﹣ 时,h(x)有 3 个零点; 当﹣ <m<0 时,h(x)有 2 个零点.

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图所示,过点 P 作⊙O 的切线 PA,A 为切点,割线 PB 交⊙O 于点 B、C,R 为⊙O 上的点,且有 AC=AR. (1)证明:∠PAC=∠ACR; (2)若 AB 为⊙O 的直径,证明 = .

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)利用弦切角定理及等腰三角形的性质,即可证明:∠PAC=∠ACR; (2)证明△PAC∽△ABR,即可证明 = .

【解答】证明: (1)∵过点 P 作⊙O 的切线 PA,A 为切点, ∴∠PAC=∠ARC, ∵AC=AR, ∴∠ACR=∠ARC, ∴∠PAC=∠ACR; (2)作出直径 AB,连接 RB,则∠ARB=∠ACB=90°, ∵∠PAC=∠ACR=∠ABR ∴△PAC∽△ABR, ∴ = .

[选修 4-4:坐标系及参数方程] 23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l:x﹣y=1,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系 中,曲线 C:ρ2+ρ2sin2θ﹣2=0,直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求△OPQ 的面积.
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【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)把极坐标方程根据极坐标与直角坐标的互化公式,化为直角坐标方程. (2)解方程组求得 P、Q 的坐标,利用点到直线的距离公式求得点 O 到直线 PQ 的距离 d, 可得△OPQ 的面积为 S= ?PQ?d 的值. 【解答】解: (1)曲线 C:ρ2+ρ2sin2θ﹣2=0 化为直角坐标方程为 x2+2y2﹣2=0,即 表示一个椭圆. +y2=1,

(2)由

求得

,或

,故可设 P(0,﹣1) 、Q( , ) ,

故点 O 到直线 PQ:x﹣y﹣1=0 的距离为 d= △OPQ 的面积为 S= ?PQ?d= ? ? = .

=



[选修 4-5:不等式选讲] 24.设 f(x)=|x﹣m|+|x+m|,x∈R.记不等式 f(2)>5 的解集为 M. (1)若 m0∈M,求 m02+ 的最小值;

(2)若 a,b∈M,证明:16a2b2+625>100a2+100b2. 【考点】不等式的证明. 【分析】 (1)由 f(2)>5 解得 m 的范围,再由均值不等式即可得到所求最小值; (2)a,b∈M,可得 a2,b2∈( ,+∞) ,将原不等式作差,因式分解,即可得到证明.

【解答】解: (1)不等式 f(2)>5 即为|2﹣m|+|2+m|>5,

由|2﹣m|+|2+m|=



可得 m> ,或 m<﹣ , m02∈( m02+ ,+∞) , =(m02+1)+

﹣1≥2

﹣1=15,

当且仅当 m02+1=

,即 m02=7 时,取得最小值 15; ,+∞) ,

(2)证明:a,b∈M,可得 a2,b2∈(

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则 00a2+100b2﹣16a2b2﹣625=16( =16( ﹣a2) (b2﹣ )<0,

a2+

b2﹣a2b2﹣



可得 16a2b2+625>100a2+100b2.

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2016 年 8 月 23 日

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