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【优教通


统计初步中的用样本估计总体
通过从总体中抽取部分对象进行观测或

试验,进而对整体做出推断.

成语“一叶知秋”
意思是从一片树叶的凋落,知道秋
天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化,由部分推知全体.

合情推理 推理

演绎推理 推理与证明
直接证明 证明 间接证明

数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3+7=10 3+17=20 13+17=30

10= 3+7 20= 3+17 30= 13+17
一个规律: 偶数=奇质数+奇质数

6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, ?? 1000=29+971, 1002=139+863, ??

猜想任何一个不小于6的 偶数都等于两个奇质数的和.

世界近代三大数学难题之一 哥德巴赫猜想
1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6
的偶数都是两个素数(只能被1和它本身整除的数) 之和。如6=3+3,12=5+7等等。猜想

(a) 任何一个≥6之偶数,都可以表示成两个奇 质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数,都可以表示成三个奇 质数之和。
有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算, 哥德巴赫猜想(a)都成立。

200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想 由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。 到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。

1920年,挪威的布朗证明了“9+9”。
1924年,德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年,英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 ……… ……… 目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证 明的,称为陈氏定理(Chen?s Theorem).“任何充份大 的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅 是两个质数的乘积”,通常都简称这个结果为大偶数 可表示为 “1+2”的形式。

陈氏定理 (Chen‘s Theorem) 任何充分大的偶数都是一个质数与 一个自然数之和,而后者仅仅是两个 质数的乘积, 简称为 “1 + 2 ” 。

例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和

棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

立方体
正八面体 五棱柱 截角正方体 尖顶塔

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

猜想:
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

F+V-E=2

欧拉公式

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10 6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

7 7
9

15 15
16

10 9

哥德巴赫猜想的过程: 归纳推理的过程:

具体的材料 观察分析 猜想出一般性的结论

由某类事物的 部分对象具有某些特征,

推出该类事物的 全部对象都具有这些特征
的推理,或者由 个别事实概括出一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳). 但是,利用归纳推理得出的结论不一 定是正确的.

观察到都是质数,进而猜想: 任何形如 的"费马猜想" 的数都是质数这就是著名

近百年后的1732年,瑞士数学家 欧拉发现

费马

宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求 质数的公式.以后,人们又陆续发现

不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没 有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有 n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.

大胆猜想 小心求证

1,3,5,7,…,由此你猜想出第 n
2n ? 1 个数是_______.
这就是从部分到整体,从个别到一般的归纳推理.

1.已知数列{an}的第一项 a1 =1, an 且 an ?1 ? ( n =1,2,3,· · · ), 1 ? an

1 an ? 请归纳出这个数列的通项公式为________. n

归纳推理 归纳推理的基础 归纳推理的作用 注意

由部分到整体、 个别到一般的推理 观察、分析 发现新事实、 获得新结论

归纳推理的结论不一定成立

地球

火星

行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕 轴自转 轴自转 有大气层 有大气层 一年中有四季的变更 一年中有四季的变更 大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存

温度适合生物的生存

有生命存在

可能有生命存在

火星与地球类比的思维过程:
存在类似特征

地球

火星

地球上有生命存在

猜测火星上也可能有生命存在

由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为类比推理.

我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”. 你是否想过“等和数列”、“等积数列” ?

从第二项起,每一项与其前一项的 差等于一个常数的数列是等差数列.
类 推

从第二项起,每一项与其前一项的 和等于一个常数的数列是等和数列.

试根据等式的性质猜想不等式的性质.

等式的性质:
(1) a ? b ? a ? c ? b ? c ; (2) a ? b ? ac ? bc ; (3) a ? b ? a 2 ? b 2 ;等等.

类比推理的结论不一定成立.

例1:类比平面内直角三角形的勾股定理, 试给出空间中四面体性质的猜想.
A B

c2=a2+b2
c

a


s1 o s2 s3

b



B

C

2 2 2 2 S =S +S +S 猜想: △ABC △AOB △AOC △BOC

类比推理

由特殊到特殊的推理

类比推理

以旧的知识为基础,推测新 的结果,具有发现的功能

注意 类比推理的结论不一定成立

归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理; 以观察分析为基础,推测新的结论; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

类比推理
由特殊到特殊的推理; 以旧的知识为基础,推测新的结果; 具有发现的功能; 结论不一定成立.

小结

?
观察、分析、 比较、联想 归纳、 类比 提出 猜想

归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发

归纳推理 合情推理 类比推理
通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理.

传说在古老的印度有一座神庙,神庙中有三根针和套在一 根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则, 把圆环从一根针上全部移到另一根针上,第三根针起“过渡” 的作用. 1.每次只能移动1个圆环; 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天,僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上, 那么世界末日就来临了. 请你试着推测:把 n 个圆环从1号针移到3号针,最少需要移 动多少次?

2

1

3

设 a n为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则

a1 =1 n =1时,

第1个圆环从1到3.

2

1

3

设 a n为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则

a1 =1 n =1时,

第1个圆环从1到3. 前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.

n =2时,a 2=3

2

1

3

设 a n为把 n 个圆环从1号针移到3号针的最少次数,则 n =1时, a1 =1 第1个圆环从1到3.

n =2时, a 2 =3 前1个圆环从1到2;
第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.

n=3时, a 3 =7 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;

前2个圆环从2到3.

2

1

3

欧拉

? 哥尼斯堡七桥问题 18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河 上有7座桥,将河中的两个岛和河岸 连结, 城中的居民经常沿河过桥散 步,于是提出了一个问题:能否一 次走遍7座桥,而每座桥只许通过一 次,最后仍回到起始地点。这就是 七桥问题,一个著名的图论问题。


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