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2 湖北省黄冈市2013年秋季高三年级期末考试理科数学


湖北省黄冈市 2013 年秋季高三年级期末考试理科数学
一、选择题:本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的。请把它选出后在答题卡上规定的位置 上用铅笔涂黑.
1.已知集合 A ? {x ? R || lg | x ||? 1} , B ? {x ? Z | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} ,则 A ? B ? ( A. (?2,? 答案 C 解析 依题意, A ? (??,0) ? (0,10) , B ? {x ? Z | ?2 ? x ? 4} ,? A ? B ? {?1,1,2,3} . 2.复数 z1 、z 2 在复平面内分别对应点 A 、B ,z1 ? 3 ? 4i , 将点 A 绕原点 O 逆时针旋转 90 得到点 B ,则 z2 ? ( A. 3 ? 4i ) B. ? 4 ? 3i C. ? 4 ? 3i D.
?



1 1 ) ? ( ,4) 10 10

B. (?2,0) ? (0,4)

C. {?1,1,2,3}

D.

{?1,0,1,2,3}

? 3 ? 4i

答案 B 解析 又题意知 A(3,4) , B(?4,3) ,即 z2 ? ?4 ? 3i , z2 ? ?4 ? 3i . 3.将右图算法语句 (其中常数 e 是自然对数的底数) 当输入 x 为 3 时, 输出 y 的值为 ( A. 1 B. 1.5 C. 0.125 D. )

0.859141

答案

B

解析 由已知程序知,当输入 x ? 3 时,由于 3 ? e ,执行 y ? 0.5 ? 3 ? 1.5 .

x2 y 2 2 4. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y ? 4 x 的准线分别交于 a b

A 、 B 两点, O 为坐标原点, ?AOB 的面积为 3 ,则双曲线的离心率 e ? (



-1-

A. 答案 C

1 2

B.

7 2

C. 2

D.

3

解 析 双 曲 线的 性质 .? 双 曲 线 的渐 近线 方程 为 y ? ?

b x , 准 线 方 程 为 x ? ?1 , 又 a 1 b c b S ?A O B ? 2 ? ? 1? ? 3 ,即 ? 3 ,? c 2 ? a 2 ? 3a 2 ,解得 e ? ? 2 . a 2 a a

5.福彩 3D 是由 3 个 0~9 的自然数组成投注号码的彩票, 耀摇奖时使用 3 台摇奖器, 各自独 立、等可能的随机摇出一个彩球,组成一个 3 位数,构成中奖号码,下图是近期的中奖号码 (如 197,244,460 等),那么在下期摇奖时个位上出现 3 的可能性为( )

答案 A 解析 古典概型.依题意,个位上的数字由 10 种情况,个位上的数去 3 只有一种情况,故 所求的概率 p ?

1 ,即个位上出现 3 的可能性是 10%. 10

? ? ?) ? co s ? ? si n? ; 命 题 q : 直 线 x ? y ? 1 ? 0 与 圆 6. 命 题 p : ?? , ? ? R , 使 c o s(
x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 相切.则下列命题中真命题为(
A. p ? q 答案 A 解析 命题的真假判断.对命题 p ,当 ? ? ? ? 0 时, cos(? ? ? ) ? cos? ? cos ? 成立,则 命题 p 为真;又圆心到直线的距离为 B. p ? (?q ) ) D.

C. (?p) ? (?q)

(?p) ? q

|1?1| ? 2 ? 圆的半径,则命题 q 真,故 p ? q 为真. 2

? 2 1 6 ?( x ? ) , x ? 0 x 7.设函数 f ( x) ? ? ,则当 x ? 0 时, [ f ( x)] 的展开式中常数项为( ?? x , x ? 0 ?
A. ? 20 B. 20 C. ? 15 D.



15
-2-

答案 D 解 析

? 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? x , f [ f ( x)] ? f (? x ) ? ( x ?
r? ?6? r 2

1 6 ) , x

r r ? Tr ?1 ? C6 ? x r ? ( x ) ?6?r ? C6 ?x

,令 r ?

?6?r ? 0 ,解得 r ? 2 ,则所求展开式的 2

2 常数项为 C6 ? 15 .

8.函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? )(? ? 0) 的部分图象如图所示, 若 AB ? BC ? 10 , 则? ? (



A. 答案 C

? 3

B.

? 8
2?

C.

? 6

D.

? 12

解析 由图知,函数的周期为 T ?

? ? ? ? ? ? 8 ? 10 ,解得 ? ? . 又 AB ? BC ? 0 ,? 2? ? 6 a 3 a ?1 x ? 1) | 在区间 (0,??) 上单调递增”的( 9.“ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ?| x( x ? 3 2
A. 充分必要条件 C. 充分不必要条件 答案 A 解 析 : 当 a ? 0 时 , f ( x) ? B.必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

,设 A( x0 ,0) ,则 B ( x0 ?

? 3? ,2) , C ( x0 ? ,?2) , 2? 2?



1 2 x ? x , 在 (0,??) 上 单 调 递 增 ; 令 2

a a ?1 g ( x) ? x( x 2 ? x ? 1) , g?( x) ? ax2 ? (a ?1) x ,若函数 f ( x) 在 (0,??) 上单调递增, 3 2
则 ax ? (a ?1) x ? 0 或 ax ? (a ?1) x ? 0 在 (0,??) 上恒成立,
2 2

即a ?

1 1 ?1 x

或a ?

1 1 ?1 x

在 (0,??) 上恒成立,? a ? 0 或 a ? 0 .

故“ a ? 0 ”是函数 f ( x) ?| x(

a 2 a ?1 x ? x ? 1) | 在 (0,??) 上单调递增的充要条件. 3 2

10.已知 C 为线段 AB 上一点, 满足 | PA | ? | PB |? 4 P 为直线 AB 外一点,I 为 PC 上一点,

-3-

, | PA ? PB |? 10 ,

PA ? PC | PA |
) B. 4

?

PB ? PC | PB |

, 且 BI ? BA ? ? (

AC

| AC | | AP |

?

AP

)( ? ? 0) , 则

BI ? BA | BA |

的值为(

A. 2 答案 C

C. 3

D.

5

解析 ? | PA ? PB |?| AB |? 10,而

PA ? PC | PA |

?

PB ? PC | PB |



? | PC | cos?APC ?| PC | cos?CPB ,
? ?APC ? ?CPB ,又 BI ? BA ? ? (

AC

| AC | | AP |

?

AP

)( ? ? 0) ,即 AI ? ? (

AC

| AC | | AP |

?

AP

),

由此得 I 是 ?ABP的内心, 过 I 作 IH ? AB 于 H ,I 为圆心, ? I 在 ?BAP的角平分线上,

IH 为半径,作 ?PAB 的内切圆,如图,分别切 PA 、 PB 于 E 、 F ,? | PA | ? | PB |? 4 ,
1 1 | PA ? PB |? 10 ,| BH |?| BF |? (| PB | ? | AB | ? | PA |) ? [| AB | ?(| PA | ? | PB |)] ? 3 , 2 2
在 Rt ?BIH 中, cos ?IBH ?

| BH | | BI |

,?

BI ? BA | BA |

?? | BI | cos ?IBH ?| BH |? 3 .

?

BI ? BA | BA |

? 3.

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分.
(一)必做题(11-14) 11.若 S1 ? 答案 解 析

?

3

2

? 1 x dx , S 2 ? ? cos dx ,则 S 1 、 S2 的大小关系为 0 x 2

.

S1 ? S 2
??
3 2

? 1 3 x x dx ? ln x |3 ? 2 , ? ? cos dx ? (2 sin ) |? 2 ? ln 3 ? ln 2 ? ln 0?2 , 0 x 2 2 2

-4-

? S1 ? S 2 .
12.在电视节目《爸爸去哪儿》中,五位爸爸个带一名子(女)体验乡村生活.一天,村长安 排 1 名爸爸带 3 名小朋友去完成某项任务,至少要选 1 个女孩(5 个小朋友中 3 男 2 女),Kimi(男)说我爸爸去我就去,我爸爸不去我就不去;石头(男)生爸爸的气,说我爸 爸去我就不去,我爸爸不去,我就去;其他人没意见,那么可选的方案有 种. 答案 12 解析 五个爸爸带一名子女取农村体验生活,村长安排、1 名爸爸带 3 个小朋友去完成某项 任务,至少选 1 名女孩(3 男 2 女). Kimi (男)说我爸爸去我就去,我爸爸不去我就不去, 石头(男)生爸爸的气,说我爸爸去我就不去,我爸爸不去我一定去, 设 1,2,3,4,分别代表 5 个家庭的孩子,1 号家庭( Kimi ),2 号家庭(石头),4,5 号家 庭是女孩. ① 4,5 号女孩都去, 若 2 号家庭的爸爸去只有 1 种选法,即 3,4,5. 若 3 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,4,5. 若 4 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,4,5. 若 5 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,4,5. ② 4 号女孩去 若 1 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,3,4. 若 3 号家庭的爸爸去只有 1 种选法,即 2,3,4. 若 4 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,3,4. 若 5 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,3,4. ② 5 号女孩去 若 1 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,3,4. 若 3 号家庭的爸爸去只有 1 种选法,即 2,3,4. 若 4 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,3,4. 若 5 号家庭的爸爸去只有 2 种选法,即 2,3,4. 故共有 4 ? 4 ? 4 ? 12 种选法. 13.等差数列 {an } 的前 n 项和记为 Sn ,若 S 4? 4 , S 7 ? 28 ,则 a10 的最大值为 答案 16 .

4?3 ? S 4 ? 4a1 ? d ?4 ? ? 2 解析 ? 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S4 ? 4, S7 ? 28 ,? ? ,即 ?S ? 7 a ? 7 ? 6 d ? 28 7 1 ? 2 ?

?2a1 ? 3d ? 2 , ? a ? 3 d ? 4 ? 1
?a10 ? a1 ? 9d ? a1 ? 3d ? 6d ? 4 ? 6d ? ?? 2 ? 15d , a10 ? a1 ? 9d ? 2a1 ? 3d ? a1 ? 6d ? ? 2 ?
-5-

?

2 ? 15 d 2 ? 15 d ? a10 ? 4 ? 6d ,? ? 4 ? 6d ,解得 d ? 2 , 2 2

? a10 ? 4 ? 6 ? 2 ? 16.
14.定义在 R 上的偶函数, f ( x) 满足 ?x ? R , 都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) , 且当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? 2 x 2 ? 12x ? 18.若函数 y ? f ( x) ? loga ( x ? 1) 在 (0,??) 上有三个零点, 则a的 取值范围是 答案 .

3?x? 5

解 析 由 函 数 f ( x) shi 是 偶 函 数 , 则 f (1) ? f (?1) , 令 x ? ?1 , 又 对 ?x ? R 都 有

f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (1) 成立,则 f (1) ? f (?1) ? f (1) ,即 f (1) ? f (?1) ? 0 ,? f ( x) 是周
期为 2 的函数,又当 x ? [2,3] 时, f ( x) ? 2 x ? 12x ? 18,
2

又 f (3) ? 0 , f (2) ? 2 , 由 y ? f ( x) ? l o g

a

分别作 y ? f ( x) ( x ? 1) 得 f ( x) ? loga ( x ? 1) ,

与 y ? loga ( x ? 1) 的 图 象 , 若 0 ? a ? 1 不 满 足 条 件 , 当 a ? 1 时 , 要 函 数

?loga 2 ? 2 ,即 3 ? a ? 5 . y ? f ( x) ? loga ( x ? 1) 在 (0,??) 上有三个零点,则 ? ?loga 5 ? 2

(二)选做题(请在夏明两题中任选一题作答,若两题都做,则按第 15 题计分). 15.如图,在半径为 7 的圆 O 中,弦 AB 、 CD 相交于 P , PA ? PB ? 2 , CP ? 4 ,则圆 心 O 到弦 CD 的距离为 .

答案

3 2
-6-

解析 由相交弦定理得 PA ? PB ? PC ? PD ,? 2 ? 2 ? 4 PD ,? PD ? 1,CD ? 5 ,? 圆心

5 3 . O 到弦 CD 的距离为 ( 7 ) 2 ? ( ) 2 ? 2 2
16.在直角坐标系 xoy 中,椭圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a cos? ( ? 为参数, a ? 0, b ? 0 ). ? y ? b sin ?

在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为 极轴)中,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 是椭圆 C 的右焦点、短轴端点,则 a ? 答案 2 解析 依题意,椭圆 C 的普通方程为

?
3

)?
.

3 ,若直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别 2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 直 线 的 普 通 方 程 为 a2 b2

x ? 3y ? 3 ? 0 , 令 x ? 0 , 则 y ? 1 , 令 y ? 0 , 则 x ? 3 , ? c ? 3 , b ? 1 ,
? a 2 ? 3 ? 1 ? 4 ,? a ? 2 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17.(本题满分 12 分)等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,已知 S3 ? 7 , a1 ? 3 , 3a2 , a3 ? 4 成 等差数列. (1)求数列 {an } 的公比 q 和通项 an ; (2)若 {an } 是递增数列,令 bn ? log 2

an ?1 ,求 | b1 | ? | b2 | ? ? ? ? ? | bn | . 128

a ? 6a 2 ? 2 ? a 2 q ? 7 ? a2 ? 2 ? q ?6a2 ? a1 ? 3 ? a3 ? 4 ? ? ?? ?? 解析 (1)由已知条件得 ? 1 q ? 2或 ? a1 ? a2 ? a3 ? 7 ? ? a2 ? a2 q ? a2 ? 7 ? 2 ? ? q
1 ? ? q?2 ? q? 或? ?? 2 . n ?1 a ? 2 3? n ? n ? ? an ? 2
n

(5 分)

(2)若 ?an ? 是递增数列,则 an?1 ? 2 , bn ? n ? 7 当 1 ? n ? 7 时, b1 ? b2 ?

? bn ? ? ? 7 ? i ? ?
i ?1

n

n ?13 ? n ? ; 2
-7-

当 n ? 7 时, b1 ? b2 ?

? bn ? ? ?i ? 7? ? 2? ? 7 ? i ? ?
i ?1 i ?1

n

7

n ? n ? 13? ? 42 2

? b1 ? b2 ?

? n ?13 ? n ? ,1 ? n ? 7 ? ? 2 ? bn ? ? ? n ? n ? 13? ? 42, n ? 7 ? ? 2

(12 分)

18. (本题满分 12 分) 设向量 a ? (? 2 sin( 2 x ? 函数 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期;

?
4

x?R , ), 2 cos x) , b ? (1,3sin x ? cos x) ,

(2)在锐角 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c , b ? 2 6 , B ? 2 A ,

f (A ?

?

5 ) ? ,求 a 的值. 8 3

解析 (1) f ( x ) ? ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

??

2 ? ? 6sin x cos x ? 2cos x 4?

?? ? ? 2 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?
所以,函数 f ( x ) 的 T ? ? . (5 分)

(2)

?? 5 ? f ? A ? ? ? 2 2 sin B ? 1 ? 8? 3 ?
2 2 1 cos B ? 1 6 ,cos B ? ,? cos A ? ? 3 3 2 3
(12 分)

? sin B ?

a b sin A b ? ?a ? b? ?3. sin A sin B sin B 2 cos A

19.(本题满分 12 分)某英语学习小组共 12 名同学进行英语听力测试,随机抽取 6 名同学 的测试成绩(单位:分),用茎叶图记录如下,其中茎为十位数,叶为个位数. (1)根据茎叶图计算样本均值; (2) 成绩高于样本均值的同学为优秀,根据茎叶图估计该小组 12 名同学中有几名优秀同 学; (3)从该小组 12 名同学中任取 2 人,求仅有 1 人是来自随机抽取 6 人中优秀同学的概率.

-8-

解析 (1)由题意可知,样本均值 x ? (2)

18 ? 19 ? 21 ? 22 ? 28 ? 30 ? 23 . (3 分) 6
2 ? 4 . (7 分) 6

样本中成绩高于样本均值的同学共有 2 名,

? 可以估计该小组 12 名同学中优秀同学的人数为: 12 ?
(3)
2 从该小组 12 名同学中,任取 2 人有 C12 ? 66 种方法,

1 1 而恰有 1 名优秀同学有 C10 C2 ? 20
1 1 C10 C2 20 10 ? 所求的概率为: P ? . ? ? 2 C12 66 33

(12 分)

20. (本题满分 12 分) 设关于 x 不等式 | x ? 2 |? a(a ? R ) 的解集为 A , 且 (1) ?x ? R , | x ?1 | ? | x ? 3 |? a ? a 恒成立,且 a ? N ,求 a 的值;
2

3 1 ? A ,? ? A . 2 2

(2)若 a ? b ? 1 ,求

1 |b| ? 的最小值并指出取得最小值时 a 的值. 3|b | a

解析 (1)

3 1 1 3 ? A , ? ? A ? ? 2 ? a, ? ? 2 ? a , 2 2 2 2



1 5 ?a? , 2 2
x ? 1 ? x ? 3 ? ? x ? 1? ? ? x ? 3? ? 2

1 ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ??2 ? a ? 1 ,? ? a ? 1 2 又 a ?N ?a ? 1 . (5 分) 1 5 ?a? (2) 2 2

?

b a?b b b b 2 3 ?1 1 b a 1 a ? ? ? ? ? ? ?? ?2 ? ? , 3b a 3b a 3b 3b a 3 3b a 3

? 3 a? ? ? b?0 ? 3 ? 1 时上式取等号 当且仅当 ? 2 ,即 ? 2 a ? 3 b ? ?b ? ? 1 ? 3 ?1 ?
-9-



1 3 3? 3 5 ? ? ? 2 2 2 3 ?1
b 2 3 ?1 3? 3 1 ,取最小值时 a ? . ? 的最小值是 3 2 3b a
(12 分)

所以,

21.(本题满分 13 分)如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) , 设点 D( n,0) , E ( m,0) , M 为抛物线 C 上的动点(异于顶点),连结 ME 并延长交抛物线

C 于点 N ,连结 MD 、 ND 并分别延长交抛物线 C 于点 P 、 Q ,连结 PQ ,设 MN 、 PQ
的斜率存在且分别为 k1 、 k 2 . (1)若 k1 ? 1 , m ? 2 , | MN |? 4 6 ,求 p ; (2)是否存在与 p 无关的常数 ? ,是的 k2 ? ?k1 恒成立,若存在,请将 ? 用 m 、 n 表示出 来;若不存在请说明理由.

解析 (1)直线 MN : y ? x ? 2 ,设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?

?y ? x?2 ? x2 ? ? 4 ? 2 p ? x ? 4 ? 0 ? 2 ? y ? 2 px

? x1 ? x2 ? 4 ? 2 p, x1x2 ? 4
? MN ? 1 ? k12 ?

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ? 1 ? 12 ?

?4 ? 2 p?

2

? 4?4

? 2 ? 4 p 2 ? 16 p ? 4 6

p?0
- 10 -

?p ?2 .

(5 分)

(2)设 M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ?x3 , y3 ?,Q ?x4 , y4 ? 则直线 MD 的方程为: x ?

x1 ? n y ? n ,代入抛物线方程 y 2 ? 2 px , y1

整理得, y 2 ?

2 p ? x1 ? n ? y ? 2 pn ? 0 y1
2 pn y1

? y1 y3 ? ?2 pn ,即 y3 ? ?

从而 x3 ?

? 2 pn 2 2 pn ? 2 pn 2 ,故点 P ? 2 ,? ? y12 y1 ? ? y1

? 2 pn 2 2 pn ? 同理,点 Q ? ,? ?. 2 y2 ? ? y2
M , E , N 三点共线

?

y1 y2 ? x1 ? m x2 ? m

? x2 y1 ? y1m ? x1 y2 ? my2

2 y2 y2 y1 ? 1 y2 ? m ? y1 ? y2 ? 2p 2p

整理得 y1 y2 ? ?2mp

2 pn 2 pn ? y y ? y ? y ? ?2mp ? y2 ? y1 ? y 4 ? y3 y2 y1 ? ? 1 2 2 2 21 ? 所以, k2 ? 2 2 2 pn x4 ? x3 2 pn n ? 2 px1 ? 2 px2 ? n ? y1 ? y2 ? ? 2 2 y2 y1 ?

?

m ? y2 ? y1 ? m ? k1 n ? x2 ? x1 ? n
(12 分)

即? ?

k2 m ? . k1 n

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x | x ? a | ? ln(x ? 1) . (1)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调区间;
- 11 -

(2)当 a ? ?1 时,若 ?x ? [0,??) , f ( x) ? (k ? 1) x 2 恒成立,求实数 k 的最小值; (3)证明

? 2i ? 1 ? ln(2n ? 1) ? 2(n ? N ) .
? i ?1

n

2

解析 (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x x ? ln( x ? 1), x ? ?1 当 x ? ? ?1,0? 时, f ( x) ? ? x 2 ? ln( x ? 1) ,

f ?( x ) ? ?2 x ?

1 2 x2 ? 2 x ? 1 ?? ?0, x ?1 x ?1

? f ( x ) 在 ? ?1,0? 上是减函数;
当 x ? ? 0, ??? 时, f ( x ) ? x ? ln( x ? 1) ,
2

f ?( x ) ? 2 x ?

3 ?1 1 2 x2 ? 2 x ? 1 ? ,令 f ?( x ) ? 0 得, x ? , 2 x ?1 x ?1

? ? 3 ?1 ? 3 ?1? ? f ( x ) 在 ? 0, , ?? ? 上单增 ? 上单减,在 ? 2 ? ? ? 2 ?
综上得, f ( x ) 的单减区间是 ? ?1,

? ?

? 3 ?1 ? 3 ?1? , ?? ? . (4 分) ? ,单增区间是 ? 2 ? ? 2 ?
2

(2)当 a ? ?1时, f ( x) ? x x ? 1 ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? ln ? x ? 1?

??x ??0, ??? , x2 ? x ? ln ? x ? 1? ? ? k ? 1? x2
即 kx ? x ? ln ? x ? 1? ? 0 ,设 g ? x ? ? kx ? x ? ln ? x ? 1? , x ? 0 ,
2

2

当 k ? 0 时, g (1) ? ?1 ? ln 2 ? 0 ,不合题意;

1 ?? ? ? 2kx ? x ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? 2k ? ? ? 当 k ? 0 时, g ?( x ) ? 2kx ? 1 ? x ?1 x ?1
令 g ?( x ) ? 0 得, x1 ? 0 , x2 ? ① k?

1 ? 1 ? ?1 2k

1 1 时, x2 ? ? 1 ? 0 , g ?( x ) ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立, g ( x ) 在 ?0, ?? ? 上单增, 2 2k 1 ? g ( x ) ? g (0) ? 0 ,故 k ? 符合题意; 2

- 12 -

②当 0 ? k ? 故0 ? k ?

1 1 ? 1 ? 时, x2 ? ? 1 ? 0 ,对 x ? ? 0, ? 1? , g ?( x ) ? 0 , g ( x) ? g (0) ? 0 , 2 2k ? 2k ?
(8 分)

1 1 不合题意.综上, k 的最小值为 . 2 2
x2 2


(3)由(2)得, x ? ln ? x ? 1? ?

证明:当 n=1 时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立. 当 n≥2 时,令①式中 x ?
n

2 i? N*?得 ? 2i ? 1

? ln ? ? 1? ? ? ? ?? ? ?? ?ln ? 2i ? 1? ? ln ? 2i ? 1?? ? 2i ? 1 ? 2i ? 1 ?? ? 2i ? 1
i ?2 i ?2 i ?2

? 2

? 2

??

n

2

n

??
i ?2

n

n 2 2 ? ln ? 2n ? 1? ? ln 3 ? ? 2 2i ? 1 i ?2 ? 2i ? 1?

? ? 2i ? 1?
i ?2

n

2

2

n ? ? n ? 1 2 1 ? 1 ? ?? ? ? 1? , ? ? ?? ? 2i ? 1 ? 2n ? 1 i ? 2 ? ? 2i ? 1?? 2i ? 3? ? i ? 2 ? 2i ? 3

??
i ?2 n

n

2 1 ? ln ? 2n ? 1? ? 1 ? ? ln 3 , 2i ? 1 2n ? 1 2 1 ? ln ? 2n ? 1? ? 2 ? 1 ? ? ln 3 ? 2 , 2i ? 1 2n ? 1

??
i ?1

所以当 n≥2 时不等式成立. 命题得证. (13 分)

- 13 -


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