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第7章 第5节 直线、平面垂直的判定与性质


2010~2014 年高考真题备选题库 第7章 第5节 立体几何

直线、平面垂直的判定与性质
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1. (2012 安徽,5 分)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在 平面 β 内,且 b⊥m,则“α⊥β”是“a⊥b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若 α⊥β,又 α∩β=m,b?β,b⊥m,根据两个平面垂直的性质定理可得 b⊥α, 又因为 a?α,所以 a⊥b;反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,一定有 b⊥a,但不能保证 b⊥α, 即不能推出 α⊥β. 答案:A 2. (2011 浙江,5 分)下列命题中错误的是( )

A.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析:对于 D,若平面 α⊥平面 β,则平面 α 内的直线可能不垂直于平面 β,甚至可能平 行于平面 β,其余选项均是正确的. 答案:D 3. (2011 新课标全国,12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,∠DAB=60° ,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 解:(1)证明:因为∠DAB=60° ,AB=2AD,由余弦定理得 BD= 3AD. 从而 BD2+AD2=AB2,故 BD⊥AD. 又 PD⊥底面 ABCD,可得 BD⊥PD. 所以 BD⊥平面 PAD.故 PA⊥BD. (2)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴 的正半轴建立空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),B(0, 3,0),C(-1, 3,0),P(0,0,1).

??? ? ??? ? ??? ? AB =(-1, 3,0), PB =(0, 3,-1), BC =(-1,0,0).

??? ? ?n·AB =0, 设平面 PAB 的法向量为 n=(x,y,z),则? ??? ? PB =0, ? n·

?-x+ 3y=0, 即? ? 3y-z=0,
因此可取 n=( 3,1, 3).

??? ? ?m· PB =0, 设平面 PBC 的法向量为 m,则? ??? ? BC =0, ?m·
-4 2 7 可取 m=(0,-1,- 3).则 cos〈m,n〉= =- . 7 2 7 2 7 故二面角 A-PB-C 的余弦值为- . 7


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