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河北省石家庄市2013届高三保温练习数学(理)试题 Word版含答案


2013 年高中毕业班保温练习 (数学理科)
一、选择题:
2 1.若复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) z 是 z 的共轭复数 , 则 z + z ? 的虚部为(A)

?

?

A . 0 B.-1 C . 1 D. -2 2.下列命题中,真命题是(D A. ?x0 ? R, e
x0

) B. ?x ? R,2 ? x
x 2

?0
a ? ?1 b

C. a ? b ? 0 的充要条件是

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件

3.一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是(D ) A.球 B.三棱锥 C.正方体 D.圆柱 4. 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向 左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图象是(A)

ED 5.如图, 正方形 ABCD 的边长为 1 , 延长 BA 至 E , AE ? 1 , 使 连接 EC 、 则 sin ?CED ? ( B )

3 10 A. 10
C.

10 B. 10
D.

D

C

5 10

5 15

E

A

B

6.将圆 x2+y2 -2x-4y+1=0 平分的直线是(C ) A.x+y-1=0 B .x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0

7.在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 , 则点 Q 的坐标是( A. (?7 2, ? 2) A ) B. (?7 2, 2) C. (?4 6, ?2)

??? ?

???? 3? 后,得向量 OQ 4

D. (?4 6, 2)

8.已知 F1、F2 为双曲线 C: x2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=|2PF2|,则 cos∠ 1PF2=(C ) F A.

1 4

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

9.样本( x1 , x2 ,?, xn )的平均数为 x ,样本( y1 , y2 ,? ym )的平均数为 y( x ? y) ,若样本 ( x1 , x2 ,?, xn , y1 , y2 ,? ym )的平均数 z ? ? x ? (1 ? ? ) y ,其中 0 ? ? ? 小关系为( A ) A. n ? m B. n ? m C. n ? m

1 ,则 n,m 的大 2

D.不能确定

10.设 a>0,b>0,下列选项正确的是(A) A.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b C.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a>b B.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b D.若 2a ? 2a ? 2b ? 3b ,则 a<b

11. 右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应填 入( D )

N 1000 M C. P ? 1000
A. P ?

4N 1000 4M D. P ? 1000
B. P ?

12.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 .将 ? ABD 沿矩形的 对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中,下列选项正 确是(B) A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直
]

二、填空题: 13.设数列{an},{bn}都是等差数列, a1 ? b1 ? 7 ,a3 ? b3 ? 21, a5 ? b5 ? ____35______. 若 则 14.右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水面宽(单位:米)

2 6

.

15.某公司生产甲、 乙两种桶装产品.已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、B 原料 2 千克; 生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克, B 原料 1 千克.每桶甲产品的利润是 300 元,每桶乙产 品的利润是 400 元;公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润 是__2800 元_______

?a 2 ? ab, a ? b 16.对于实数 a, b ,定义运算“ ? ”: a ? b ? ? 2 ,设 f ( x) ? (2 x ? 1) ? ( x ? 1) , ?b ? ab, a ? b
且关于 x 的方程为 f ( x ) ? m(m ? R) 恰有三个互不相等的实数根 x1 , x2 , x3 ,则 x1 x2 x3 的取 值范围是__ (

1? 3 ,0) ___. 16 2 ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x 2 4 .

三、解答题: 17.设函数 f ( x) ?

(I)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

gx (II) 设函数 g ( x) 对任意 x ? R , g ( ? ) ? ( ) 有 x 2
求函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式. 解: (I) f ( x) ?

?

, 且当 x ? [0,

?
2

] 时,g ( x) ?

1 ? f ( x) ; 2

2 ? 1 1 1 cos(2 x ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 4 2 2 2

?

1 1 ? sin 2 x 2 2 , 2? ?? 2 . 1 1 ? f ( x) ? sin 2 x 2 2 ,

函数 f ( x ) 的最小正周期 T ?

(II)当 x ? [0,

?
2

] 时, g ( x) ?

当 x ? [?

?

? ? ? 1 ? 1 , 0] 时, ( x ? ) ? [0, ] g ( x) ? g ( x ? ) ? sin 2( x ? ) ? ? sin 2 x 2 2 2 2 2 2 2 ,

当 x ? [?? , ?

?

? 1 1 ) 时, ( x ? ? ) ? [0, ) g ( x) ? g ( x ? ? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x 2 2 2 2 ,

? ? 1 ?? 2 sin 2 x, x ? [? 2 , 0] ? 得:函数 g ( x) 在 [?? , 0] 上的解析式为 g ( x) ? ? ? 1 sin 2 x, x ? [ ?? , ? ? ) ?2 ? 2 .
18.某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是 A 类型试题,则使用后 该试题回库,并增补一道 A 类试题和一道 B 类型试题入库,此次调题工作结束;若调用 的是 B 类型试题,则使用后该试题回库,此次调题工作结束。试题库中现共有 n ? m 道 试题,其中有 n 道 A 类型试题和 m 道 B 类型试题,以 X 表示两次调题工作完成后,试 题库中 A 类试题的数量。 (Ⅰ )求 X ? n ? 2 的概率; (Ⅱ )设 m ? n ,求 X 的分布列和均值(数学期望). 解: (I) X ? n ? 2 表示两次调题均为 A 类型试题,概率为 (Ⅱ m ? n 时,每次调用的是 A 类型试题的概率为 p ? ) 随机变量 X 可取 n, n ? 1, n ? 2

n n ?1 ? m?n m?n?2

1 2,

P( X ? n) ? (1 ? p) 2 ?
X
P

1 1 1 2 , P( X ? n ? 1) ? 2 p (1 ? p ) ? , P ( X ? n ? 2) ? p ? 4 2 4 n n ?1 n?2
1 4 1 2 1 4

1 1 1 EX ? n ? ? (n ? 1) ? ? (n ? 2) ? ? n ? 1 4 2 4
19. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面

ABCD, AB=4, BC=3, AD=5, DAB=∠ ∠ ABC=90° , E 是 CD 的中点. (Ⅰ )证明:CD⊥ 平面 PAE; (Ⅱ )若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与 平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P-ABCD 的体积. 解 :( Ⅰ ) 连 接 AC , 由 AB=4 ,,

?ABC ? 90? ,得AC ? 5. 又AD ? 5, E是CD的中点,所以 CD ? AE.

? PA ? 平面ABCD, CD ? 平面ABCD, 所以 PA ? CD.
而 PA, AE是平面PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥ 平面 PAE. (Ⅱ )过点B作 BG ? ?CD, 分别与AE, AD相交于F , G, 连接PF. 由(Ⅰ )CD⊥ 平面 PAE 知,BG⊥ 平面 PAE.于是 ? BPF 为直线PB与平面 PAE 所成的角,且 BG ? AE . 由 PA ? 平面ABCD 知, ?PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ?PBA ? ?BPF ,
因为 sin ?PBA ?

PA BF ,sin ?BPF ? , 所以 PA ? BF . PB PB

由 ?DAB ? ?ABC ? 90? 知,AD / / BC, 又BG / /CD, 所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2. 在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以

AB2 16 8 5 BG ? AB ? AG ? 2 5, BF ? ? ? . BG 2 5 5
2 2

于是 PA ? BF ?

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15

法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB, AD, AP 所在直线分别为 x轴,y轴,z轴 建立空

间直角坐标系.设 PA ? h, 则相关的各点坐标为:

A(4,0,0), B(4,0,0), C(4,3,0), D(0,5,0), E(2, 4,0), P(0,0, h).
(Ⅰ )易知 CD ? (?4, 2,0), AE ? (2, 4,0), AP ? (0,0, h). 因为

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD ? AE ? ?8 ? 8 ? 0 ? 0, CD ? AP ? 0, 所以 CD ? AE, CD ? AP. 而 AP, AE 是平面 PAE
内的两条相交直线,所以 CD ? 平面PAE. (Ⅱ )由题设和(Ⅰ )知, CD, AP 分别是 平面PAE , 平面ABCD 的法向量,而 PB 与

??? ??? ? ?

平面PAE 所成的角和 PB 与 平面ABCD 所成的角相等,所以

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD ? PB PA ? PB cos ? CD, PB ? ? cos ? PA, PB ? ,即 ??? ??? ? ??? ??? . ? ? ? ? CD ? PB PA ? PB
由(Ⅰ )知, CD ? (?4, 2,0), AP ? (0,0, ?h), 由 PB ? (4,0, ?h), 故

??? ?

??? ?

??? ?

?16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
解得 h ?
2

?

0 ? 0 ? h2 h ? 16 ? h2

.

8 5 . 5
1 ? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2

又梯形 ABCD 的面积为 S ?

1 1 8 5 128 5 V ? ? S ? PA ? ?16 ? ? . 3 3 5 15
??? F (?c,0), F2 (c,0) 分别是椭圆 C : 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点,过点 F1 作 x 轴 a 2 b2 a2 于点 Q ; c

的垂线交椭圆的上半部分于点 P ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ? (I)若点 Q 的坐标为 (4, 4) ;求椭圆 C 的方程; (II)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 解: (I)点 P(?c, y1 )( y1 ? 0) 代入

x2 y 2 b2 ? 2 ? 1 得: y1 ? a2 b a

b2 ?0 4?0 PF1 ? QF2 ? a ? ? ?1 ①, ?c ? c 4 ? c


a2 ?4 ② , c

c2 ? a2 ? b2 (a, b, c ? 0) ③
由① ③ ② 得: a ? 2, c ? 1, b ? 3 既椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3 .

b2 ?0 a2 y ?0 (II)设 Q( , y2 ) ;则 PF1 ? QF2 ? a ? 2 ? ?1 ? y2 ? 2a c ?c ? c a 2 ?c c
b2 2a ? c ? 2 a ? a a ?c c
b2 ? 2x x2 y 2 b 2 a ? 2 ? 1 ? y ? b 2 ? 2 x 2 ? y? ? a2 b a b2 b2 ? 2 x2 a
x ?? c

得: kPQ

过点 P 与椭圆 C 相切的直线斜率 k ? y?

?

c ? k PQ a .

得:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点。 21.已知函数 f ( x ) = ? e ? x ,其中 a≠0.
ax

(Ⅰ )若对一切 x∈ R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (II)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线AB的 斜率为K,问:是否存在x0∈ 1,x2) (x ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若 不存在,请说明理由.
ax 解: )若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x ) ? e ? x ? 1 ,这与题设矛盾,又 a ? 0 , (Ⅰ

故a ? 0.
ax 而 f ?( x) ? ae ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 得x ?

1 1 ln . a a

1 1 1 1 ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增, a a a a 1 1 1 1 1 1 1 故当 x ? ln 时, f ( x ) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln . a a a a a a a
当x? 于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1 恒成立,当且仅当

1 1 1 ? ln ? 1 . a a a
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t.



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ )由题意知, k ?

1 ? 1 即 a ? 1 时,① 式成立. a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) eax2 ? eax1 ? ? 1. x2 ? x1 x2 ? x1 eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? aeax ?

eax1 ?ea ( x2 ? x1 ) ? a( x2 ? x1 ) ? 1? , ? ( x1 ) ? ? ? x2 ? x1 ?

? ( x2 ) ?

eax2 ?ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1? . ? x2 ? x1 ?

令 F (t ) ? et ? t ?1 ,则 F ?(t ) ? et ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增.
t 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.

从而 e

a ( x2 ? x1 )

? a( x2 ? x1 ) ?1 ? 0 , ea( x1 ?x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ?1 ? 0, 又

eax1 eax2 ? 0, ? 0, x2 ? x1 x2 ? x1

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使

? ( x0 ) ? 0, ??( x) ? a2eax ? 0,? ( x) 单 调 递 增 , 故 这 样 的 x0 是 唯 一 的 , 且
1 eax2 ? eax1 1 eax2 ? eax1 .故当且仅当 x ? ( ln ln , x2 ) 时, f ?( x0 ) ? k . a a( x2 ? x1 ) a a( x2 ? x1 )

x0 ?

综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为

1 eax2 ? eax1 ( ln , x2 ) . a a( x2 ? x1 )
选做题: 22. 选修 4-1:几何证明选讲 如图,圆 O 和圆 O? 相交于 A,B 两点,过 A 作两 圆的切线分别交两圆于 C ,D 两点, 连结 DB 并延长 交圆 O 于点 E . 证明: (I) AC ? BD ? AD ? AB ; (II) AC =AE 证 明 : I ) 由 AC 与 圆 O 相 切 于 A , 得 ( ?C A B ? A D,同理 ?ACB =?DAB , = B

AC AB = ,即 AC ? BD ? AD ? AB AD BD BAD ,又 ?ADE =? BDA ,得 ?EAD 相似于 (II)由 AD 与圆 O 相切于 A ,得 ?AED =? ?ABD AE AD = 从而 ,即 AE ? BD ? AD ? AB ,综合(I)的结论, AC =AE AB BD
所以 ?ACB 相似于 ?DAB ,从而 23. 选修 4-4:坐标系与参数方程
2 在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2 +y 2 =4 ,圆 C2 : ? x-2 ? +y =4 2

. (I)在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 ,C2 的极坐标方程, 并求出圆 C1 ,C2 的交点坐标(用极坐标表示); (II)求圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程. 解: (I)圆 C1 的极坐标方程为 ? =2 ,圆 C2 的极坐标方程为 ? =4cos ? ,

? ? =2 ? ? ?? ? ?? 得 ? =2,? = ? ,故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为 ? 2, ? , ? 2,- ? 3 ? 3? ? 3? ? ? =4cos ? ? x=? cos ? (II)由 ? ,得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标为 1, 3 , 1,- 3 ? y =? sin ? ? x ? 1; 故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为 ? (t为参数, 3 ? t ? 3) ? ? y ? t.
解?

?

??

?

24. 选修 4-5:不等式选讲 (I)求 a 的值;

已知 f ? x ? = ax+1 ? a ? R ? ,不等式 f ? x ? ? 3 的解集为 x -2 ? x ? 1 (II)若 f ? x ? -2 f ?

?

?

? x? ? ? k 恒成立,求 k 的取值范围. ?2? 解: (I)由 ax+1 ? 3 得 -4 ? ax ? 2 ,又 f ? x ? ? 3 的解集为 ? x -2 ? x ? 1? ,所以
当 a ? 0 时,不合题意 当 a >0 时, -

4 2 ? x ? ,得 a =2 a a

.

? ?1,x ? -1 ? 1 ? ? x? (II)记 h ? x ? =f ? x ? -2 f ? ? ,则 h ? x ? = ?-4 x-3,-1<x <- , 2 ?2? ? 1 ? ?-1,x ? - 2 ? 所以 h ? x ? ? 1 ,因此 k ? 1 .


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