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第七章 第五节 直线、平面垂直判定及其性质


第七章

第五节
题组一

直线、 直线、平面垂直判定及其性质
线面垂直的判定与性质

1.(2010宣武模拟 若 a、 是空间两条不同的直线, 、 是空间的两个不同的平面, a⊥α 宣武模拟)若 、 是空间两条不同的直线, β 是空间的两个不同的平面, ⊥ b α、 宣武模拟 则 的一个充分条件是 A.a∥β,α⊥β . ∥ , ⊥ C.a⊥b,b∥α . ⊥ , ∥ B.aβ,α⊥β . , ⊥ D.a⊥β,α∥β . ⊥ , ∥ ( )

解析: 解析:只有选项 D,a⊥β,α∥βa⊥α. , ⊥ , ∥ ⊥ 答案: 答案:D 2.(2010烟台模拟)如图在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中, . 烟台模拟 如图在斜三棱柱 - ∠BAC=90°,BC1⊥AC,则 C1 在底面 ABC 上的 = , , 射影 H 必在 A.直线 AB 上 . B.直线 BC 上 . C.直线 AC 上 . D.△ABC 内部 . 解析: ⊥ , 解析:由 AC⊥AB,AC⊥BC1,得 AC⊥平面 ABC1,AC平面 ABC,∴平面 ABC1⊥ ⊥ , ⊥ 平面 ABC,C1 在面 ABC 上的射影 H 必在二平面交线 AB 上. , 答案: 答案:A 3.m、n 是空间两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,下面四个命题中,真命题 . 、 是空间两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,下面四个命题中, 的序号是________. . 的序号是 ①m⊥α,n∥β,α∥βm⊥n; ⊥ , ∥ , ∥ ⊥ ; ②m⊥n,α∥β,m⊥αn∥β; ⊥ , ∥ , ⊥ ∥ ; ③m⊥n,α∥β,m∥αn⊥β; ⊥ , ∥ , ∥ ⊥ ; ④m⊥α,m∥n,α∥βn⊥β. ⊥ , ∥ , ∥ ⊥ 解析: 显然正确; 错误, 错误, 相交但不垂直; 解析:①显然正确;②错误,n 还可能在 β 内;③错误,n 可能与 β 相交但不垂直; ④正确. 正确. 答案: 答案:①④ ( )

题组二

平面与平面垂直的判定与性质

4.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, 如图所示, 如图所示 - ⊥ , 且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足__________时,平面 MBD⊥ 且底面各边都相等, 上的一动点, 满足 时 ⊥ 只要填写一个你认为是正确的条件即可) 平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析:由三垂线定理可知, ⊥ 解析:由三垂线定理可知,BD⊥PC.

∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时, ⊥ 或 ⊥ 时 即有 PC⊥平面 MBD, PC平面 PCD, 平面 MBD⊥ ⊥ , 而 , ∴ ⊥ 平面 PCD. 答案: 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) ⊥ 或 ⊥ 5.(2009苏北模拟 在四棱锥 S-ABCD 中,已知 AB∥CD, . 苏北模拟)在四棱锥 - ∥ , 苏北模拟 SA=SB,SC=SD,E、F 分别为 AB、CD 的中点. = , = , 、 的中点. 、 (1)求证:平面 SEF⊥平面 ABCD; 求证: 求证 ⊥ ; (2)若平面 SAB∩平面 SCD=l,求证:AB∥l. 若平面 ∩ = ,求证: ∥ 证明: 解:(1)证明:由 SA=SB,E 为 AB 中点得 SE⊥AB. 证明 = , ⊥ 由 SC=SD,F 为 CD 中点得 SF⊥DC. = , ⊥ 又 AB∥DC,∴AB⊥SF. ∥ , ⊥ 又 SF∩SE=S,∴AB⊥平面 SEF. ∩ = , ⊥ 又∵AB平面 ABCD, , ∴平面 SEF⊥平面 ABCD. ⊥ (2)∵AB∥CD,CD面 SCD, ∵ ∥ , , ∴AB∥平面 SCD. ∥ 又∵平面 SAB∩平面 SCD=l, ∩ =, 根据直线与平面平行的性质定理得 AB∥l. ∥

题组三

直线、 直线、平面垂直的综合问题

6.(2010岳阳模拟 设 a、b、c 表示三条直线,α、β 表示两个平面,则下列命题的逆命题 岳阳模拟)设 、 、 表示三条直线, 、 表示两个平面, 岳阳模拟 不成立的是 A.c⊥α,若 c⊥β,则 α∥β . ⊥ , ⊥ , ∥ B.bα,cα,若 c∥α,则 b∥c . , , ∥ , ∥ C.bβ,若 b⊥α,则 β⊥α . , ⊥ , ⊥ D.bβ,c 是 a 在 β 内的射影,若 b⊥c,则 b⊥a . , 内的射影, ⊥ , ⊥ 解析:C 选项的逆命题为 bβ,若 β⊥α 则 b⊥α.不正确,因为根据平面垂直的性质定 解析: , ⊥ ⊥ 不正确, 不正确 理,如果两个平面垂直,其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面. 如果两个平面垂直,其中一个平面内的直线只有垂直交线的才垂直另一个平面. 答案: 答案:C ( )

7.如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1BD .如图, , 的垂线, 的垂线,垂足为点 H,则下列命题中错误的是 ,则下列命题中错误的是( A.点 H 是△A1BD 的垂心 . B.AH 垂直于平面 CB1D1 . C.AH 的延长线经过点 C1 . )

D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45° . 解析: 是正三棱锥, 在底面的射影是底面的中心, 解析:因为三棱锥 A-A1BD 是正三棱锥,故顶点 A 在底面的射影是底面的中心,A - 正确; 平面 A1BD∥平面 CB1D1, AH 垂直于平面 A1BD, 正确; ∥ 而 , 所以 AH 垂直于平面 CB1D1, B 正确;根据对称性知 C 正确. 正确; 正确. 答案: 答案:D 8.(文)(2009天津高考 如图,在四棱锥 P-ABCD 中, .文 天津高考)如图 天津高考 如图, - PD⊥平面 ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为 ⊥ 平分∠ , ⊥ , , PC 的中点,AD=CD=1,DB=2 2. 的中点, = = , = (1)证明 PA∥平面 BDE; 证明 ∥ ; (2)证明 AC⊥平面 PBD; 证明 ⊥ ; 证明: 解:(1)证明:设 AC∩BD=H, 证明 ∩ = , 连结 EH.在△ADC 中,因为 AD=CD,且 DB 平分 在 = , 的中点. ∠ADC,所以 H 为 AC 的中点. , 又由题设, 的中点, 又由题设,E 为 PC 的中点,故 EH∥PA. ∥ 又 EH平面 BDE 且 PA平面 BDE, , 所以 PA∥平面 BDE. ∥ (2)证明:因为 PD⊥平面 ABCD,AC平面 ABCD, 证明: 证明 ⊥ , , 所以 PD⊥AC. ⊥ 可得, ⊥ 由(1)可得,DB⊥AC. 可得 又 PD∩DB=D, ∩ = , 故 AC⊥平面 PBD. ⊥ (理)(2009北京高考 如图,在三棱锥 理 北京高考)如图 北京高考 如图, P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=AB, - ⊥ , = , ∠ABC=60°,∠BCA=90°,点 D、E = , = , 、 分别在棱 PB、PC 上,且 DE∥BC. 、 ∥ (1)求证:BC⊥平面 PAC; 求证: ⊥ 求证 ; (2)当 D 为 PB 的中点时,求 AD 与平面 PAC 所成的角的正弦值; 当 的中点时, 所成的角的正弦值; (3)是否存在点 E 使得二面角 A-DE-P 为直二面角?并说明理由. 是否存在点 - - 为直二面角?并说明理由. 解:(1)∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥BC. ∵ ⊥ , ⊥ 又∠BCA=90°,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面 PAC. = , ⊥ , ⊥ (2)∵D 为 PB 的中点,DE∥BC, ∵ 的中点, ∥ , 1 ∴DE=2BC. = 又由(1)知 又由 知,BC⊥平面 PAC, ⊥ ,

∴DE⊥平面 PAC,垂足为点 E, ⊥ , , ∴∠DAE 是 AD 与平面 PAC 所成的角. 所成的角. ∴∠

∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AB. ⊥ , ⊥ 为等腰直角三角形, 又 PA=AB,∴△ = ,∴△ABP 为等腰直角三角形, ∴AD= = 1 AB. 2

1 在 Rt△ABC 中,∠ABC=60°,∴BC=2AB, △ = , = , DE BC 2 ∴在 Rt△ADE 中,sin∠DAE=AD= △ ∠ = = , 2AD 4 2 即 AD 与平面 PAC 所成角的正弦值为 4 . (3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面 PAC, ∵ ∥ ,又由 知 ⊥ , ∴DE⊥平面 PAC. ⊥ 又∵AE平面 PAC,PE平面 PAC, , , ∴DE⊥AE,DE⊥PE, ⊥ , ⊥ , ∴∠AEP 为二面角 A-DE-P 的平面角. 面角. ∴∠ - - 的平面角 ∵PA⊥底面 ABC,∴PA⊥AC, ⊥ , ⊥ , ∴∠PAC=90°,∴在棱 PC 上存在一点 E,使得 AE⊥PC. = , ∴∠ , ⊥ 这时, 这时,∠AEP=90°, = , 故存在点 E 使得二面角 A-DE-P 是直二面角. - - 是直二面角.

题组四

(理)直线与平面所成的角、二面角 理 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角、

9.(2009浙江高考 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点 D 是 . 浙江高考)在三棱柱 各棱长相等,侧棱垂直于底面, 浙江高考 - 的中心, 侧面 BB1C1C 的中心, AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 则 A.30° . B.45° . C.60° . D.90° . ( )

解析:如图, 解析:如图,取 BC 中点 E,连结 DE、AE、AD, , 、 、 , 依题意知三棱柱为正三棱柱, 依题意知三棱柱为正三棱柱,易得 AE⊥平面 BB1C1C, ⊥ , 所成的角. 故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 1, , 1 3 则 AE= 2 ,DE=2, = =

3 2 AE tan∠ADE=DE= = 3, ∠ = , 1 2 ∴∠ADE=60°. = ∴∠ 答案: 答案:C 10.设 P 是 60°的二面角 α-l-β 内一点,PA⊥α,PB⊥β,A、B 分别为垂足,PA=2, . 的二面角 - - 内一点, ⊥ , ⊥ , 、 分别为垂足, = , PB=4,则 AB 的长是________. = , 的长是 . 解析:如图所示, 解析:如图所示,PA 与 PB 确定平面 γ,与 l 交于点 E,则 BE⊥l,AE⊥l, , , ⊥, ⊥, ∴∠BEA 即为二面角的平面角, 即为二面角的平面角, ∴∠ ∴∠BEA=60°,从而∠BPA=120°, = ,从而∠ ∴∠ = , ∴AB= PA2+PB2-2PAPBcos∠BPA = ∠ = 4+16+8=2 7. + + = 答案: 答案:2 7


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