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广东省韶关市2014届高三考前热身考数学理试题


广东省韶关市 2014 届高三考前热身考数学 理试题
一、选择题 1.设全集 U ? R , A ? {x | y ? lg(1 ? x)} ,则 C R A ? A. (??,1) B. (0,1] C. [1, ??) D. (1, ??)

1+i) (1 ? mi) 是纯虚数 (i 是虚数单位) 2.已知 z=( ,则实数 m 的值为
A. ?1 B.1 C. 2 D. ?1

3.运行如图 1 的程序框图,则输出 s 的结果是 A.

1 6

B.

25 24

C.

3 4

D.

11 12

?
4.将函数 y=cos2x 的图象向右平移 4 个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短 到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为 A.y=sinx B.y=-cos4x x y 6 2 8 3 C.y=sin4x 10 5 D.y=cosx 12 6
?

5.某研究机构对高三学生的记忆力 x 和判断力 y 进行统计分析,得下表数据:

? ?a ? ? bx ? 中的 b 的 根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 y
值为 0.7 ,则记忆力为 14 的同学的判断力约为 A.7 B. 7.5 C.8 D. 8.5

6. 把边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 形成的三棱锥 A ? BCD 的正视图与俯视 图如图所示,则其侧视图的面积为 A.

2 2

B.

1 2

C.

2 4

D.

1 4

7.已知圆 C: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的圆心为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,直线 3x+4y+2 =0 与圆 C 相切,则该圆的方程为

64 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 C. 25 ?4 ? | 8x ? 12 |, 1 ? x ? 2, ? 8.已知定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? 1 x 则 f ( ), x ? 2, ? ?2 2 (A)函数 f ( x) 的值域为 [1, 4]
( x ? 1) 2 ? y 2 ? A. 64 25

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? B.

x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 D.

(B)当 x ?[2n?1,2n ] ( n ? N* )时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴围成的面积为 2

1 ? 0 ( n ? N* )有 2n+4 个不相等的实数根 n 2 (D)存在实数 x0 ,使得不等式 x0 f ( x0 ) ? 6 成立
(C)关于 x 的方程 f ( x) ? 二、填空题 (一)必做题: 9.等比数列 ?an ? 的各项均为正数, a2 ? 8 ,且 2a4 , a3 , 4a5 成等差数列,则 ?an ? 的前 5 项 和为 .

2 10.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2ax ? a ? 0 .若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围





?x ? y ? 2 ? 0 y ? 11. 已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 , 则 的最大值是__________. x ?x ? y ? 7 ? 0 ?
1 12 ) 的展开式中, x 3 的系数为 . 3x ? , AB ? AC ? ?2 , 则 AD 的 最 小 值 13 . 已 知 AD 是 ?ABC 的 中 线 , 若 ?A ? 1 2 0
12.在 ( x ? 是 . (二)选做题: 14.(坐标系与参数方程选做题) 已知 C 的参数方程为 ?

? x ? 3cos t ( t 为参数),C 在点(0,3)处的切线为 l ,若以直角 ? y ? 3sin t
.

坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的极坐标方程为 15.(几何证明选讲选做题) 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90 ,E 为 AB 上一点,以 BE 为 直径作圆 O 与 AC 相切于点 D.若 AB:BC=2:1, CD= 3 ,则圆 O 的 半径长为 三、解答题: 16.(本小题满分 12 分) .
o

在 ?ABC 中,C-A=

? 3 ,sinA= . 2 3

(1)求 sinC 的值;(2)若 BC= 6 ,求 ?ABC 的面积.

17.( 本小题满分 12 分) 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试, 成绩在 8.0 米(精确到 0.1 米)以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率分布直方图 的一部分(如图),已知从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.04,0.10,0.14,0.28,0.30 ,第 6 小 组的频数是 7 。 (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数; (2) 用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 X 表示两 人中成绩不合格 的人数,求 X 的分布列及数学期望. ...

18.( 本小题满分 14 分) 如图 5 所示,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,

PD ? AC 于点 D , AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 3 .
(1)证明△ PBC 为直角三角形; (2)求直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P

A

D B
图5

C

19.( 本小题满分 14 分) 已 知 数 列

?an ?,?bn?





a1 ?

2 3



an ?1 ?

2an an ? 2



b1 ? 2b2 ? 22 b3 ?

? 2n?1bn ? n (n ? N? ) .

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?

? bn ? ? 的 前 n 项 和 Tn , 问 是 否 存 在 正 整 数 m 、 M 且 M ? m ? 3 , 使 得 ? an ?

m ? Tn ? M 对一切 n ? N? 恒成立?若存在,求出 m 、 M 的值;若不存在,请说明理由.

20.( 本小题满分 14 分) 已知抛物线的方程为 y ? ax 2 ? 1 ,直线 l 的方程为 y ? 对称点在抛物线上. (1)求抛物线的方程; (2)已知 P ?

x ,点 A ? 3, ?1? 关于直线 l 的 2

15 ?1 ? ? ) 是抛物线的焦点,M 是抛物线上的动点,求 ,1? ,点 F (0, 16 ?2 ?

| MP | ? | MF | 的最小值及此时点 M 的坐标;
(3)设点 B、C 是抛物线上的动点,点 D 是抛物线与 x 轴正半轴交点,△BCD 是以 D 为 直角顶点的直角三角形.试探究直线 BC 是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经 过,请说明理由.

21.( 本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

1 2 . x ? bx ? 1 ( b 为常数) 2

(1)函数 f ( x) 的图象在点( 1, f (1) )处的切线与函数 g ( x) 的图象相切,求实数 b 的值; (2)若 b ? 0, h( x) ? f ( x) ? g ( x) , ? x1 、 x2 ? [1, 2] 使得 h( x1 ) ? h( x2 ) ? M 成立,求 满足上述条件的最大整数 M ; (3)当 b ? 2 时,若对于区间[1,2]内的任意两个不相等的实数 x1 , x2 ,都有
| f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 成立,求 b 的取值范围.

参考答案
一、选择题 二、填空题 CDBA BDCB

) ; 11.6; 12. 9. 31; 10. (0,1

16. (1)因为在 ?ABC 中,C-A=

? ,所以 A 为锐角,且 2

22 ; 13. 1; 14.? sin ? ? 3 ; 15. 2 3

cos A ? 1 ? sin 2 A ? 1 ? (
(4 分)

? 6 3 2 6 .?(2 分)所以 sinC=sin(A+ )=cosA= .? ) ? 2 3 3 3

BC AB BC sin C ? ? (2)由正弦定理得 ,所以 AB ? sin A sin C sin A
分) 在 ?ABC 中, 由 C-A= 分) 因为在 ?ABC 中, B ? ? ? ( A ? C ) , 所 以 s i nB ? s i nA (?C ? ) (10 分) 所以 ?ABC 的面积为 S ?ABC ? 分)

6? 3 3

6 3 ? 2 3 .????(6

? 6 2 3 , 知 C 为钝角, 且 cos C ? ? 1 ? sin 2 C ? ? 1 ? ( . (8 ) ?? 2 3 3

s iA n

co Cs ?

co As

C s i? n

3 3 6 6 ? ? ( ? ) ? 3 3 3 3

1 ?. ?? 3

1 1 1 AB ? BC ? sin B ? ? 2 3 ? 6 ? ? 2 .????(12 2 2 3

17.解:(I)第 6 小组的频率为 1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14, ∴此次测试总人数为

7 ? 50 (人). 0.14

????(2 分)

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36(人)???(5 分) (II) X =0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为

14 7 7 ,?(6 分)∴ X ~ B (2, ) .?(7 分) ? 50 25 25
?(10 分)

P( X ? 0) ? (
所求分布

18 2 324 18 252 7 49 1 7 , P( X ? 1) ? C2 , P( X ? 2) ? ( ) 2 ? ) ? ( )( ) ? 25 625 25 25 625 25 625
X P 0
324 625

1
252 625

2
49 625

列是 , E( X ) ? 2 ?

7 14 ????(12 分) ? 25 25

18. (1)证明:因为平面 PAC ? 平面 ABC ,平面 PAC

平面 ABC ? AC , PD ? 平面

PAC ,PD ? AC , 所以 PD ? 平面 ABC . ???????????????????
1分 记 AC 边上的中点为 E ,在△ ABC 中, AB ? BC ,所以 BE ? AC . 因为 AB ? BC ? 6 ,AC ? 4 , 所以 BE ? 3分 因为 PD ? AC ,所以△ PCD 为直角三角形.因为 PD ? 3 , CD ? 3 , 所以 PC ?

BC 2 ? CE 2 ?

? 6?
P

2

? 22 ? 2 ???

PD ? CD ?
2 2

? 3? ? 2?

2

? 3 ? 2 3 .???4 分
2

连接 BD ,在 Rt △ BDE 中,因为 BE ? 2 , DE ? 1 , 所以 BD ?

BE 2 ? DE 2 ?

2

? 12 ? 3 .?5 分 A

E D B

C

因为 PD ? 平面 ABC , BD ? 平面 ABC ,所以 PD ? BD . 在 Rt △ PBD 中,因为 PD ? 3 , BD ? 3 , 所以 PB ?

PD 2 ? BD 2 ?

? 3? ? ? 3?
2

2

? 6 .????????????6 分

在 ?PBC 中,因为 BC ? 6 , PB ?
2 2 2

6 , PC ? 2 3 ,

所以 BC ? PB ? PC .所以 ?PBC 为直角三角形.??????????7 分 (2)解:以点 E 为坐标原点,以 EB , EC 所在的直线分别为 x 轴, y 轴建立如图的 空间直角坐标系 E ? xyz , 则 A? 0, ?2,0? , B

?

P 0, ?1, 3 .???9 分
于是 AP ? 0,1, 3 , PB ? 10分

?

?

2, 0, 0 , C ? 0,2,0? , z P

?

?

?

?

2,1, ? 3 , PC ? 0,3, ? 3 .
E D

?

?

?

???

A ? ?n ? PB ? 0, 设平面 PBC 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ? ?n ? PC ? 0.
即?

C

y

x

B

? ? 2 x ? y ? 3z ? 0, ? ?3 y ? 3z ? 0.

取 y ? 1 ,则 z ? 3 , x ?

2.

所以平面 PBC 的一个法向量为 n ? 设 直 线

?

2,1, 3 .?????????????12分
PBC
所 成 的 角 为

?

AP







?





sin ? ? cos ? AP ,n ? ?

AP ? n AP ? n

?

4 6 . ? 3 2? 6
6 .??????????????14 3

所以直线 AP 与平面 PBC 所成角的正弦值为 分 19. (1)由 an ?1 ? 差 为

1 2

?1? 2an a ?2 1 1 1 3 1 ,得 ? n ? ? .∴数列 ? ? 是首项为 ? ,公 a1 2 an ? 2 an?1 2an 2 an ? an ? 1 3 1 n?2 的 等 差 数 列 . ∴ , 即 ? ? (n ? 1) ? ? an 2 2 2

2 (n ? N? ) .????????4 分 n?2 ∵ b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? ? 2n?1 bn ? n ① , ∴ b1 ? 2b2 ? 22 b3 ? ? 2n?2 bn?1 ? n ?1 1 ② . ① ? ② 得 2n?1 bn ? 1 , 即 bn ? n ?1 (n ? 2 ) . 由 ① 知 , b1 ? 1 也 满 足 上 式 , 故 2 1 bn ? n ?1 (n ? N? ) . 8 分 2 b n?2 (2)由(1)知, n ? ,下面用“错位相减法”求 Tn . an 2n 1 3 4 5 n?2 3 4 n ?1 n ? 2 Tn ? Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? 3 ? ? n ? n ?1 ③, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 an ?
④.

n?4 1 n?2 n?4 ? n ?1 ? 2 ? n ?1 ,∴ Tn ? 4 ? n ? 4 . n 2 2 2 2 3 a 又 n ? 0 ,则数列 ?Tn ? 单调递增,故 Tn ? T1 ? ? 1 ,从而 1 ? Tn ? 4 .????? 2 bn
③ ? ④得 Tn ?

1 2

3 1 1 ? ? ? 2 2 2 23

?

? 因此, 存在正整数 m ? 1 、M ? 4 且 M ? m ? 3 , 使得 m ? Tn ? M 对一切 n ? N 恒成立. ?

14 分 20.解:(1)设点 A(3,-1)关于直线 l 的对称点为坐标为 A ' (x,y),
y ?1 ?x?3 ? 2? ?0 ?x ? 1 2 ? 2 则? 2 解得 ? ----3 分把点 A ' (1,3)代入 y ? ax ? 1 , ? y ? 3 ? ? y ? 1 ? ?2 ? ?x ?3

解得 a = 4,所以抛物线的方程为 y ? 4 x ? 1-------4 分
2

? (2)∵ F (0,
5分

15 17 ) 是抛物线的焦点,抛物线顶点为(0,-1),∴抛物线的准线为 x ? ? , 16 16

过点 M 作准线的垂线,垂足为 A,由抛物线的定义知 | MF |?| MA | , ∴ | MP | ? | MF | = | MP | ? | MA |?| PA | ,当且仅当 P、M、A 三点共线时“=”成立,-------7 分

即当点 M 为过点 P 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时, | MP | ? | MF | 取最小值, ∴ (| MP | ? | MF |) min ? 1 ? (? 分 (3)BC 所在的直线经过定点,该定点坐标为 ( ? 标为 ( , 0) 设 B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) ,显然 x1 ? x2 ,则 kBC ? 分

17 33 1 )? , 这时点 M 的坐标为 ( , 0) . -------------------9 16 16 2 1 1 , ) ,令 y ? 4 x2 ?1=0 ,可得 D 点的坐 2 4

1 2

y1 ? y2 4( x12 ? x2 2 ) ? ? 4( x1 ? x2 ), -----10 x1 ? x2 x1 ? x2

1 1 k DB ? 4( x1 ? ), k DC ? 4( x2 ? ), ------------------------------------------------2 2
11 分

1 1 2 2 直线 BC 的方程为 y ? y1 ? 4( x1 ? x2 )( x ? x1 ), 即

∵ BD ? CD ,∴ k DB ? k DC ? 16( x1 ? )( x2 ? ) ? ?1 ,即 x1 x2 ? ?

5 1 ? ( x1 ? x2 ), 16 2

y ? 4( x1 ? x2 ) x ? 4 x1 x2 ? 1 ? 2( x1 ? x2 )(2 x ? 1) ?

1 所以直线 BC 经过定点 4

1 1 ( ? , ) .---------------------------------------------------14 分 2 4
1 , f ' (1) ? 1 , x ∴函数 f ( x) 的图象在点 ( 1, f (1) ) 处的切线方程为 y ? x ? 1 , --------------------------2

21.解: (1)∵ f ( x) ? ln x ,∴ f ' ( x) ?



? y ? x ? 1, ? ∵直线 y ? x ? 1 与函数 g ( x) 的图象相切,由 ? 消去 y 得 1 2 y ? x ? bx ? 1, ? ? 2

x 2 ? 2(b ? 1) x ? 4 ? 0 ,
则 ? ? 4(b ? 1) ? 16 ? 0 ,解得
2

b ? 1或 ? 3 -------------------------------------------4 分 1 (2)当 b ? 0 时,∵ h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? x 2 ? 1( x ? [1, 2]) , 2 1 (1 ? x)(1 ? x) ∴ h '( x) ? ? x ? , x x
--------------------------------------------------5 分 当 x ? (1, 2] 时, h '( x) ? 0 ,∴在 [1, 2] 上单调递减, h( x) max ? h(1) ? ?

3 , 2

h( x)min ? h(2) ? ln 2 ? 3,

则 [h( x1 ) ? h( x2 )]max ? h( x)max ? h( x)min ? ∴M ?

3 ? ln 2 , 2

3 ? ln 2 ? 1 ,故满足条件的最大整数 2

M ? 0 .----------------------------------9 分
(3)不妨设 x1 ? x2 ,∵函数 f ( x) ? ln x 在区间[1,2]上是增函数,∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) , ∵函数 g ( x) 图象的对称轴为 x ? b ,且 b ? 2 ,∴函数 g ( x) 在区间[1,2]上是减函数, ∴ g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,∴ | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |?| g ( x1 ) ? g ( x2 ) | 等价于 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ? g ( x1 ) , 即 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) , ------------------------------------------------11 分

1 2 x ? bx ? 1在区间[1,2]上是增函数, 2 1 1 等价于 ? '( x) ? ? x ? b ? 0 在区间[1,2]上恒成立,等价于 b ? x ? 在区间[1,2]上恒成 x x
等价于 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? 立, ∴ , 又 b?2 b?2 ∴ b ? 2 .------------------------------------------------------14 分 ,


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