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7章第五节 直线、平面垂直的判定和性质


第七章

立体几何

第五节 直线、平面垂直的判定和性质

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第七章

立体几何

以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和理解 空间中线面垂直的判定定理与有关性质.
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立体几何

一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的 任意 一条直线都垂直,就说直线l与平 面α互相垂直.

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立体几何

2.直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判 定 一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直, 则该直线与此平面垂直 图形语言 符号语言 a、b?α a∩b=O l⊥a l⊥b l⊥α
?? ? ? ? ? ? ?



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立体几何

文字语言 性 质 垂直于同一个平面

图形语言

符号语言

a⊥α b⊥α

定 的两条直线 平行

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? ? ? ? ?

?a∥b

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立体几何

3.直线和平面所成的角

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立体几何

二、平面与平面垂直 1.二面角的有关概念

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立体几何

2.直线和平面垂直的定义 两个平面相交,如果所成的二面角是 直二面角 说这两个平面互相垂直. , 就

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立体几何

3.平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 判 一个平面过另一个 平面的 垂线 ,则 这两个平面垂直 图形语言 符号语言 l?β l⊥α
? ? ? ? ?


定 理
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?α⊥β

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立体几何

文字语言 两个平面垂直,则 性质 定理 一个平面内垂直于 交线 的直线与另 一个平面垂直
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图形语言

符号语言 α⊥β l?β α∩β=a l⊥a
? ? ? ? ? ? ? ?l⊥α

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立体几何

垂直于同一平面的两平面是否平行?
提示:不一定,可能平行也可能相交.

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1.设l、m、n均为直线,其中m、n在平面α内,则 “l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的( A.充分不必要条件 )

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析:当l⊥α时,l⊥m且l⊥n.但当l⊥m,l⊥n时,若m、 n不是相交直线,则得不到l⊥α.
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答案:A

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2.已知直线l⊥平面α,直线m?平面β,有下列命题: ①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m; ③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β. 其中正确的命题是( )

A.①与②
C.②与④
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B.③与④
D.①与③

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立体几何

解析:对①,l⊥α,α∥β ?l⊥β, 又∵m?β,∴l⊥m,∴①正确; 对②,α⊥β,l⊥α,则l∥β或l?β, ∴l不一定与m平行,∴②错误;

对③,∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,
又m?β∴α⊥β,∴③正确;④错误.
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答案:D

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立体几何

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,B1C与对角面DD1B1B 所成角的大小是( A.15° ) B.30°

C.45°
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D.60°

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解析:如图所示,连结 AC 交 BD 于 O 点,易证 AC⊥平 面 DD1B1B,连结 B1O,则∠CB1O 即为 B1C 与对角面所成的 2 角,设正方体边长为 a,则 B1C= 2a,CO= 2 a,∴sin∠ 1 CB1O= .∴∠CB1O=30° . 2
答案:B
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立体几何

4.设P是60°的二面角α-l-β内一点,PA⊥α,PB⊥β, A、B分别为垂足,PA=2,PB=4,则AB的长是________.

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立体几何

解析:如图所示,PA 与 PB 确定平面 γ,与 l 交于点 E, 则 BE⊥l,AE⊥l, ∴∠BEA 即为二面角的平面角, ∴∠BEA=60° ,从而∠BPA=120° , ∴AB= PA2+PB2-2PA· cos∠BPA PB· = 4+16+8=2 7.
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答案:2 7

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5.在△ABC 中,∠ACB=90° ,AB=8,∠ABC=60° , PG⊥平面 ABC,PC=4,M 是 AB 上一个动点,则 PM 的最 小值为____________________________________________.

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解析:∵PC⊥平面 ABC,CM?平面 ABC, ∴PC⊥CM,∴PM= PC 2+CM 2= 16+CM 2 要使 PM 最小,只需 CM 最小,此时 CM⊥AB, 4×4 3 ∴CM= 8 =2 3,∴PM 的最小值为 2 7.
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答案:2 7

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立体几何

1.证明直线和平面垂直的常用方法有

方法一
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利用判定定理 利用平行线垂直于平面的传递性(a∥b, 方法二 a⊥α?b⊥α) 方法三 利用面面平行的性质(a⊥α,α∥β ?a⊥β) 方法四 利用面面垂直的性质

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立体几何

2.直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的 判定定理,可以并入平行推导链中,实现平行与垂直的相互 转化,即线线垂直?线面垂直?线线平行?线面平行.

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立体几何

如图,已知PA垂直于矩形ABCD所在平面,M,N 分别是AB,PC的中点,若∠PDA=45°,求证:MN⊥平面

PCD.

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【思路点拨】取CD的中点E易证CD⊥ME,可推证CD⊥ 面MNE.问题即得证.

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立体几何

【自主解答】证明:PA⊥平面 ABCD?PA⊥AD, ∠PDA=45° ?PA=AD=BC, 又 M 是 AB 的中点, Rt△PAM≌Rt△CBM?MP=MC? ? ??MN⊥PC. ? N是PC的中点 ? 设 E 为 CD 的中点,连接 ME,EN,
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PA⊥CD ? ?CD⊥平面PAD?CD⊥PD? ? ? ? ? ? AD⊥CD? PD∥NE ? ?

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立体几何

?CD⊥NE ? ? CD⊥平面MNE ? ? ? ME⊥CD ? ? MN?平面MNE? ? ? ME∩NE=E? ?MN⊥CD ? ? MN⊥PC ??MN⊥平面 PCD. PC∩CD=C? ?
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立体几何

【活学活用】 1.若将例1条件改为“△PAD为正三角形, 且平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,M、N分别是 AB、PC的中点”,试问直线MN与平面PCD是否仍然垂直?

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解:如图,取 PD 的中点为 F,连接 AF、NF. ∵F、N 分别是 PD、PC 的中点, 1 ∴FN 綊2CD.

1 又∵CD 綊 AB,∴FN 綊 AB, 2
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即 FN 綊 AM,

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立体几何

∴四边形AFNM为平行四边形, ∴MN∥AF.∵平面PAD⊥平面ABCD,CD⊥AD, ∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AF.① 又∵△PAD为正三角形, 且F为PD的中点,② ∴AF⊥PD.又PD∩CD=D,

则由①、②知AF⊥平面PDC.
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∴MN⊥平面PDC, 即直线MN与平面PDC仍然垂直.

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立体几何

1.证明平面和平面垂直的方法. (1)利用定义证明.只需判定两平面所成的二面角为直二 面角即可. (2)利用线面垂直的判定定理.此种方法要注意平面内的 两条直线必须相交.
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(3)利用线面平行的性质.两平行线中一条垂直于一个平
面,另一条也垂直于这个平面.

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立体几何

(4)利用面面垂直的性质 ①两平面垂直,在一个平面内垂直于交线的直线必垂直 于另一个平面.此种方法要注意“平面内的直线”. ②两个相交平面同时垂直于第三个平面,那么它们的交 线也垂直于第三个平面.此性质是在课本习题中出现的,在

问题不很复杂的题目中,要对此进行证明,以免无谓扣分.
(5)利用面面平行的性质,一条直线垂直于两平行平面中
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的一个,必垂直于另一个平面.

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立体几何

2.两个平面垂直的性质定理,可以作为直线和平面垂直 的判定定理,当条件中有两个平面垂直时,常添加的辅助线 是在一个平面内作两平面交线的垂线.

3.关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆.

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立体几何

(12 分)如图,在△BCD 中,∠BCD=90° ,BC=CD =1,AB⊥平面 BCD,∠ADB=60° ,E、F 分别是 AC、AD AE AF 上的动点,且 = =λ(0<λ<1). AC AD (1)判断 EF 与平面 ABC 的位置关系并证明; (2)是否存在 λ,使得平面 BEF⊥平面 ACD,如果存在, 求出 λ 的值,如果不存在,说明理由.
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【思路点拨】

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立体几何

【规范解答】(1)EF⊥平面ABC.
对位置关系作出判断 证明:因为AB⊥平面BCD, 所以AB⊥CD, 又在△BCD中,∠BCD=90°, 所以BC⊥CD, 又AB∩BC=B,
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所以CD⊥平面ABC, 先证明CD⊥平面ABC,再判断CD与EF的关系 2分

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立体几何

又在△ACD 中,E、F 分别是 AC、AD 上的动点, AE AF 且AC=AD=λ(0<λ<1), ∴EF∥CD. 由平行线的性质,推得 EF∥CD ∴EF⊥平面 ABC. 转化为 EF 与平面 ABC 的关系,证得结论
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4分

6分

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立体几何

(2)∵CD⊥平面 ABC,BE?平面 ABC, ∴BE⊥CD, 易知要使平面 BEF⊥平面 ACD, 只要 BE⊥AC 即可. 分析平面BEF⊥平面ACD成立 应满足的条件,明确目标、方向
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8分

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立体几何

在 Rt△ABD 中,∠ADB=60° , ∴AB=BDtan 60° 6, = 则在 Rt△ABC 中,AC= AB2+BC2= 7, AB×BC 6 当 BE⊥AC 时,BE= = , AC 7 AE= AB -BE =
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2 2

36 6 7 = 7,

将条件向△ABC 内转化集中

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6 7 6 AE 则AC= =7, 7 AE 6 即当 λ=AC=7时, BE⊥AC. 又 BE⊥CD,AC∩CD=C, ∴BE⊥平面 ACD.
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10 分

∵BE?平面 BEF,

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∴平面 BEF⊥平面 ACD. 求出 λ 的值,并检验其正确性. 6 所以存在 λ,且当 λ=7时,平面 BEF⊥平面 ACD. 总结解题过程,呈现结论.
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12 分

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【活学活用】 2.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD
是∠DAB=60°的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面 垂直于底面ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若E为BC边的中点,能否在棱 PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD,并证明你的
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结论.

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解:(1)证明:如图,取AD的中点G, 连接PG,BG,BD. ∵△PAD为等边三角形, ∴PG⊥AD, 又∵平面PAD⊥平面ABCD,
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∴PG⊥平面ABCD. 在△ABD中,∠DAB=60°,AD=AB, ∴△ABD为等边三角形, ∴BG⊥AD, ∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.
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(2)连接CG,DE,且CG与DE相交于H点, 在△PGC中作HF∥PG,交PC于F点,连接DF, ∴FH⊥平面ABCD,∴平面DHF⊥平面ABCD. ∵H是CG的中点,∴F是PC的中点, ∴在PC上存在一点F,即为PC的中点,使得平面DEF⊥ 平面ABCD.
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立体几何

高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之 一,有时在客观题中考查,更多的是在解答题中考查.

求这两种空间角的步骤:
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义,作(找)出

该角,再解三角形求出该角,步骤是作(找)→认(指)→求.
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在客观题中,也可用射影法:

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立体几何

设斜线段 AB 在平面 α 内的射影为 A′B′,AB 与 α 所 │A′B′│ 成角为 θ,则 cos θ= . │AB│ 设△ABC 在平面 α 内的射影三角形为△A′B′C′,平 S△A′B′C′ 面 ABC 与 α 所成角为 θ,则 cos θ= . S△ABC
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立体几何

三棱锥P-ABC中,PC、AC、BC两两垂直, BC=PC=1,AC=2,E、F、G分别是AB、AC、AP的中 点. (1)证明:平面GFE∥平面PCB;

(2)求二面角B-AP-C的正切值.

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【思路点拨】

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【自主解答】(1)证明:因为E、F、G分别是AB、AC、 AP的中点, 所以EF∥BC,GF∥CP. 因为EF,GF?平面PCB. 所以EF∥平面PCB,GF∥平面PCB. 又EF∩GF=F,所以平面GFE∥平面PCB.
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(2)∵BC⊥PC,BC⊥CA,且 PC∩AC=C,∴BC⊥平面 PAC. 过点 C 作 CH⊥PA 于 H 点,连结 HB, 则易证 HB⊥PA, ∴∠BHC 即为二面角 B-AP-C 的平面角. 在 Rt△ACP 中,AP= PC2+AC 2= 5,
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1×2 2 5 BC 1 5 HC= = 5 (等积).∴tan∠BHC=HC= =2. 5 2 5 5

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立体几何

【活学活用】 3.AB为圆O的直径,点E,F在圆上, AB∥EF,矩形ABCD所在平面与圆O所在平面互相垂直,已 知AB=2,EF=1.

(1)求证:BF⊥平面DAF;
(2)求BF与平面ABCD所成的角;

(3)若AC与BD相交于点M,
求证:ME∥平面DAF.
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立体几何

解:(1)∵AB为圆O的直径, ∴BF⊥AF. 又∵平面ABCD⊥圆O面, 且平面ABCD∩圆O面=AB,DA⊥AB. ∴DA⊥圆面O,BF?圆面O, ∴DA⊥BF,DA∩AF=A,
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所以BF⊥平面ADF.

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(2)过 F 作 FH⊥AB 交 AB 于 H, DA⊥圆面 O,FH?圆面 O, DA⊥FH,∴FH⊥平面 ABCD, 3 ∴∠HBF 是 BF 与平面 ABCD 所成角的角.∵HF= 2 , 3 BH=2,
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∴∠HBF=30° , 所以 BF 与平面 ABCD 所成角是 30° .

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(3)过 M 作 MG∥AB 交 DA 于 G,连接 FG, 1 则 MG∥AB,MG=2AB,而 EF∥AB, 1 EF= AB,所以 EF 綊 MG, 2 四边形 MGFE 为平行四边形,∴GF∥ME,
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∵GF?平面 DAF,ME?平面 DAF, ∴ME∥平面 DAF.

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立体几何

在所有距离中,点到面的距离是最基本的,其他距离都 可转化为点到面的距离求解.求点到面的距离可分为两类方

法,一类是先作出垂线段,再求出其值;另一类是通过计算
得出垂线段的长.

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立体几何

如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠ACB=90°, AC=BC=a,D, E分别为棱AB,BC的中点,M为棱

AA1上的点,二面角M-DE-A为30°.
(1)证明:A1B1⊥C1D;

(2)求MA的长,并求点C到平面MDE的距离.
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立体几何

【思路点拨】(1)可证AB⊥C1D,需证AB⊥平面CC1D; (2)一种办法是转化为求点A到平面MDE的距离,作出点A 到平面MDE的垂线段;另一办法是利用等体积法.

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立体几何

【自主解答】(1)证明:连接CD, ∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥平面ABC. ∴CD为C1D在平面ABC内的射影. ∵△ABC中,AC=BC,D为AB中点, ∴AB⊥CD.∴AB⊥C1D. ∵A1B1∥AB,∴A1B1⊥C1D.
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立体几何

(2)解法一:

过点A作CE的平行线,交ED的延长线于F,连接MF.
∵D,E分别为AB,BC的中点, ∴DE∥AC.又∵AF∥CE,CE⊥AC. ∴AF⊥DE.∵MA⊥平面ABC, ∴AF为MF在平面ABC内的射影.
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∴MF⊥DE.

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∴∠MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角,∠MFA=30° . 1 a 在 Rt△MAF 中,AF= BC= ,∠MFA=30° , 2 2 3 ∴AM= 6 a.作 AG⊥MF,垂足为 G. ∵MF⊥DE,AF⊥DE, ∴DE⊥平面 AMF.
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∵平面 MDE⊥平面 AMF, ∴AG⊥平面 MDE.

第七章

立体几何

a 在 Rt△GAF 中,∠GFA=30° ,AF= , 2 a a ∴AG= ,即 A 到平面 MDE 的距离为 . 4 4 ∵CA∥DE,∴CA∥平面 MDE. ∴C 到平面 MDE 的距离与 A 到平面 MDE 的距离相等,
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a 为4.

第七章

立体几何

解法二:过点 A 作 CE 的平行线,交 ED 的延长线于 F, 连接 MF. ∵D,E 分别为 AB,BC 的中点,∴DE∥AC. 又∵AF∥CE,CE⊥AC,∴AF⊥DE. ∵MA⊥平面 ABC,∴AF 是 MF 在平面 ABC 内的射影. ∴MF⊥DE. ∴∠MFA 为二面角 M-DE-A 的平面角,∠MFA=30° .
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1 a 在 Rt△MAF 中,AF= BC= ,∠MFA=30° , 2 2

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3 ∴AM= a.设 C 到平面 MDE 的距离为 h, 6 1 1 ∴VM-CDE=VC-MDE,∴ SCDE· MA= SMDE· h 3 3 1 a2 3 S△CDE= CE· DE= ,MA= a, 2 8 6 1 1 AF 3 2 S△MDE=2DE· MF=2DE· 30° 12 a , = cos
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1 a2 3 1 3 2 ∴ × × a= × a ×h. 3 8 6 3 12 a a ∴h=4,即 C 到平面 MDE 的距离为4.

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题眼:立体几何中的探索性问题 (12分)如图所示,四边形ABCD为矩形,AD⊥平面 ABE,AE=EB=BC,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE. (1)求证:AE⊥BE;(2)设M在线段AB上,且满足AM= 2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.
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第七章

立体几何

【审题】(1)通过线面垂直证明线线垂直.(2)这是一道探 索性问题,先确定点N的位置,再进行证明.要注意解题的方 向性,通过寻找到的条件,证明MN∥平面DAE成立.

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【满分展示】解:(1)证明:∵AD⊥平面ABE,AD∥BC, ∴BC⊥平面ABE, 则AE⊥BC.2分

又∵BF⊥平面ACE,∴AE⊥BF,
∴AE⊥平面BCE,又BE?平面BCE,∴AE⊥BE.5分
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第七章

立体几何

(2)在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在△ BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连接 MN,则由比 1 例关系易得 CN=3CE.8 分 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE?平面 ADE,
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第七章

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∴MG∥平面ADE. 同理,GN∥平面ADE.又∵GN∩MG=G, ∴平面MGN∥平面ADE.10分

又MN?平面MGN,∴MN∥平面ADE.
∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.12分
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第七章

立体几何

【答题样板】对于探索类问题,书写步骤的格式有两种:

一种是:第一步,探求出点的位置.
第二步,证明符合要求.

第三步,给出明确答案.
第四步,反思回顾,查看关键点,易错点和答题规范. 另一种是:从结论出发,“要使什么成立”,“只须使
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什么成立”,寻求使结论成立的充分条件,类似于分析法.

第七章

立体几何

【心得】(1)书写格式混乱,不条理,反映思路不清 晰.(2)对于这类探索性问题找不到切入口,入手难.(3)本题 要确定点N,使得MN∥平面DAE,我们往往是利用平行确定

出点N,然后再去证明结论成立.

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