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高考总复习全套完整资料------第53课时--双曲线


课题:双曲线

(一) 主要知识及主要方法:
定义

1. 到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长( ? F 1F 2 )的点的轨迹 2. 到定点 F 与到定直线 l 的距离之比等于常数 e ( ? 1 )的点的轨迹

标准 方程

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2
y P

y 2 x2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 ) a 2 b2
y

简图
O

O

x
P

F2

x

F1

焦点坐标 顶点 范围 准线 渐近线方程 几何 性质 焦半径

F1 ? ?c,0? ,F2 ? c,0? A1 ? ?a,0? ,A2 ? a,0?
x ≥a, y?R
a2 x?? c b y?? x a PF1 ? ? ? ex0 ? a ? ,

F1 ? 0, ?c ? , F2 ? 0, c ? A1 ? 0, ?a ? , A2 ? 0, a ?
y ≥a,x? R
a2 y?? c a y?? x b PF1 ? ? ? ey0 ? a ? ,

P ? x0 , y0 ? ? C

PF2 ? ? ? ex0 ? a ? PF2 ? ? ? ey0 ? a ? P 在左支上用“ ? ” , P 在下支上用“ ? ” , P 在右支上用“ ? ” P 在上支上用“ ? ”
关于 x, y 轴均对称,关于原点中心对称;

对称性 离心率

e?

c ? ?1, ?? ? a
2

a, b, c 的关系

c ? a 2 ? b2

焦点三角形 △PF1F2 的面积: S△ PF1F2 ? b ? cot

?
2

b ( ?F 1 PF2 ? ? , 为虚半轴长)

1. 与

x2 y 2 y2 x2 ? ? 1 ? ? (? ? 0) 共渐近线的双曲线方程 - . a2 b2 a 2 b2
375

2. 与

x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 ? 1 ( k ? a 2 且 k ? ?b2 ) 有相同焦点的双曲线方程 - a 2 b2 a 2 ? k b2 ? k
b c2 ? a2 c2 ? ? ? 1 ? e2 ?1 , e 越大,即渐近线的斜 a a a2

3. 双曲线形状与 e 的关系: k ?

率的绝对值就越大,这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔,即双曲线的离心率越大,它 的开口就越阔.

(二)典例分析: 问题 1.根据下列条件,求双曲线方程:

?1? 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且过点 ?3, 2 3 ; 9 16

?

?

x2 y 2 ? 2 ? 与双曲线 ? ? 1 有公共焦点,且过点 3 2, 2 ; 16 4

?

?

? 3? 以椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴端点为焦点,且过点 P 4 2,3 ; 25 9

?

?

? 4 ? 经过点 ? ?

15 ? ,3 ? ,且一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ; ?4 ?

? 5? 双曲线中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率为
问题 2. ?1? 设 P 是双曲线 x 2 ?

2 ,且过点 4, ? 10 .

?

?

y2 ? 1的右支上的动点, F 为双曲线的右焦点, 3
376

已知 A ? 3,1? ,①求 PA ? PF 的最小值;②求 PA ?

1 PF 的最小值. 2

x2 y 2 ? ? 1 上的一点 P 与左、右两焦点 F1 、 F2 构成 △PF1F2 , 9 4 求 △PF1F2 的内切圆与边 F1F2 的切点坐标.

? 2 ? 由双曲线

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2 ( a ? 0 , b ? 0 )的左、右两焦点 F 1 、 F2 , 37 13 P 为双曲线右支上的一点, PF1 ? , PF2 ? , 3 3 ? 12 ? ?F1PF2 的平分线交 x 轴于 Q ? , 0 ? ,求双曲线方程. ?5 ?

问题 3.已知双曲线方程为

y P

F1

O

Q

F2

x

问题 4.已知双曲线方程为

x2 y 2 ? ? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,双曲线斜率大于零的渐近线 a 2 b2
377

交双曲线的右准线于点 P , F ? c,0? 为右焦点, ?1? 求证:直线 PF 与渐近线 l 垂直; ? 2 ? 若 PF 的长是焦点 F 到直线 l 的距离, PF ? 3 ,且双曲线的离心率 e ?

求双曲线的方程; ? 3? 延长 FP 交左准线于 M ,交双曲线左支于 N ,使 M 为 PN 的中点, 求双曲线的离心率.

5 , 4

问题 5.已知直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 2x2 ? y 2 ? 1与右支有两个交点 A 、 B ,
问是否存在常数 k ,使得以 AB 为直径的圆过双曲线的右焦点?

(三)课后作业:
378

1. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程是 4 9 3 2 9 4 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 2 3 4 9 1 2. 双曲线的渐近线方程为 y ? ? x ,且焦距为 10 ,则双曲线方程为 2 2 2 2 2 x2 y2 x y x y x2 y2 x2 y2 ? ?1 A. ? ? 1 B. ? ? 1或 ? ? 1 C. ? ? 1 D. 20 5 20 5 5 20 20 5 5 20

3. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? (1, 2) ,则 k 的取值范围是 4 k A. (??, 0) B. (?3, 0) C. (?12,0) D. (?60, ?12)

x2 y2 4. 若方程 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m 的范围是 m ? 3 m ?1

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 60? ,则 △F1PF2 的面积 4 3 15 15 B. C. 3 D. 是 A. 2 4 2 2 2 2 2 6. 与圆 ( x ? 3) ? y ? 1 及圆 ( x ? 3) ? y ? 9 都外切的圆的圆心轨迹方程为
5. 双曲线

x2 y2 7. 过点 (0,3) 作直线 l ,如果它与双曲线 ? ? 1 有且只有一个公共点,则直线 l 的条数 4 3


8. 过双曲线 x 2 ?

y2 ? 1的右焦点 F2 作直线 l 交双曲线于 A 、 B 两点,若 AB ? 2 ,则这样 2
379

的直线 l 有

A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条

D. 不存在

9. 双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为 e1 , e2 ,则 e1 , e2 应满足的关系是
A. e1 ? e2 ? 1
2 2

B. e1 ? e2 ? 1

2

2

C.

1 e1
2

?

1 e2
2

?1

D.

1 e1
2

?

1 e2
2

?1

x2 y2 10. 如果 F1 , F2 分别是双曲线 ? ? 1 的左、右焦点, AB 是双曲线左支上过点 F1 的弦, 16 9 且 AB ? 6 ,则 △ABF2 的周长是

11. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左支上的 P 点到右焦点的距离为 9 ,则点 P 的坐标为 16 9

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点, l 为左准线, P ? x0 , y0 ? 为双曲线 4 5 左支上一点, P 点到 l 的距离为 d ,已知 d , PF 1 , PF2 成等差数列,求 x0 的值
12. 设 F1 、 F2 分别为双曲线

13. 设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 的右支上存在与右焦点和左准线等距离的点,求离 a 2 b2

心率 e 的取值范围.

14. 设点 P 到点 M ? ?1,0? 、 N ?1,0? 距离之差为 2 m ,到 x 轴、 y 轴距离之比为 2 ,求 m 的
取值范围.
380

(四)走向高考:
15. 如果双曲线 A.

13 5

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到右焦点的距离为 13 ,那么点 P 到右准线的距离是 13 12 5 B. 13 C. 5 D. 13

x2 y2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 )的右焦点为 F ,右准线与 - a 2 b2 a2 一条渐近线交于点 A , △OAF 的面积为 ( O 为原点) ,则两条渐近线的夹角为 2
16. 已知双曲线
381

A. 30 ?

B. 45 ?

C. 60 ?

D. 90 ?

17. 已知双曲线
A. 2

? x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 2 )的两条渐近线的夹角为 ,则双曲线的离心率为 2 3 a 2 2 6 2 3 B. 3 C. D. 3 3

x2 y 2 18. 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) ,以 C 的右焦点为圆心 a b
且与 C 的渐近线相切的圆的半径是

A.

ab

B.

a 2 ? b2 C . a

D. b

19. 设 F1,F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点,若双曲线上存在点 a 2 b2 5 10 15 A ,使 ?F1 AF2 ? 90? 且 AF1 ? 3 AF2 ,则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 5 2 2 2

4 x2 y 2 20. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为 3 a b 4 5 3 B. C. D. 3 4 2
382

A.

5 3

y2 21. 过双曲线 M : x ? 2 ? 1的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 l , 若 l 与双曲线 M 的两条渐 b 近线分别相交于点 B, C , 且 AB ? BC , 则双曲线 M 的离心率是
2

A. 10

B.

5

C.

10 3

D.

5 2

22. 曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (m ? 6) 与曲线 ? ? 1 (5 ? m ? 9) 的 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m A. 焦距相等 B. 离心率相等 C. 焦点相同 D. 准线相同

23. 以 双 曲 线 x2 ? y 2 ? 2 的 右 焦 点 为 圆 心 , 且 与 其 右 准 线 相 切 的 圆 的 方 程 是 A. x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 B. x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 ? 0 D. x2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0

24. 以 双 曲 线

x2 y 2 ? ?1 的 右 焦 点 为 圆 心 , 且 与 其 渐 近 线 相 切 的 圆 的 方 程 是 9 16 A. x2 ? y 2 ?10x ? 9 ? 0 B. x2 ? y 2 ?10 x ? 16 ? 0 C. x2 ? y 2 ? 10 x ? 16 ? 0 D. x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0

25. 设 P 为双曲线 x 2 ?

y2 ? 1上的一点, F1 , F2 是该双曲线的两个焦点, 12 A. 6 3 B. 12 C. 12 3 D. 24 若 PF 1 F2 的面积为 1 : PF 2 ? 3: 2 ,则 △PF

383

26. 如图,F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, a 2 b2

A 和 B 是以 O 为圆心, 以 O F1 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,
且 △F2 AB 是等边三角形,则双曲线的离心率为

A.

3

B.

5

C.

5 2

D. 1 ? 3

27. 在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线中心在原点,焦点在 y 轴上,一条渐近线方程为

x ? 2 y ? 0 ,则它的离心率为 A. 5 B.

5 C. 3 D. 2 2

x2 y 2 ? ? 1 左焦点 F1 的直线交曲线的左支于 M ,N 两点, F2 为其右焦点, 4 3 则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为
28. 过双曲线

29. 设 动 点 P 到 点 A(? 1 , 0)和 B(1, 0) 的 距 离 分 别 为 d1 和 d2 ,

?1? 证明:动点 P 的轨迹 C 为双曲线,并求出 C 的方程; ? 2 ? 过点 B 作直线双曲线 C 的右支于 M ,N 两点,试确定 ? 的范
围,使 OM ON ? 0 ,其中点 O 为坐标原点.
384

?APB ? 2? ,且存在常数 ? (0 ? ? ? 1) ,使得 d1d2 sin2 ? ? ? .

y

d1
2?
B

P

d2

y

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 a 2 b2 右焦点. P 为双曲线 C 右支上一点,且位于 x 轴上方, M 为左准线上一点, O 为坐标原点.已知四边形 OFPM 为平行四边形, PF ? ? OF .
30. 如图, F 为双曲线 C :

y M

?1? 写出双曲线 C 的离心率 e 与 ? 的关系式;
385

H

P

O

F

x

? 2 ? 当 ? ? 1 时,经过焦点 F 且平行于 OP 的
直线交双曲线于 A 、 B 点,若 AB ? 12 , 求此时的双曲线方程.

386


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