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【走向高考】2014高考一轮复习课件:2-2函数的单调性与最值 103


走向高考· 数学
北师大版 ·高考一轮总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章

函 与 本 等 数 数 基 初 函

第二章

函数与基本初等函数

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第二章
第二节 函 的 调 与 数 单 性 最 值

第二章

函数与基本初等函数

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高考目标

3

课堂典例讲练

课前自主预习

4

思想方法点拨

5

课后强化作业

第二章

第二节

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高考目标

第二章

第二节

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考纲解读 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会运用函数图像理解和研究函数的单调性、最值. 考向预测 1. 数 单 性 最 是 数 重 的 个 质 在 函的调与值函最要两性,每 年高考中均有重要体现. 2. 单 区 、 断 调 、 最 及 用 们 参 求调间判单性求值利它求数 的取值范围是热点.

第二章

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课前自主预习

第二章

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知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义

第二章

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增函数 定 义

减函数 D上

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内 个 间 某区 的任意两个自变量 x1,x2 当 x1<x2 时都 ,有
f(x1)<f(x2) ,么 那

当 x1<x2 时 都 ,有

f(x1)>f(x2) , 么 那

就说函数 f(x)在区间 D 上是增加的 就说函数 f(x)在区间 D 上 减 的 是少

图像描 述 自左向右看图像是
逐渐上升的

自左向右看图像是
逐渐下降的

第二章

第二节

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() 如果函数 y=f(x)在定义域的某个子集上是 增加的 或 2

减少的

,则称函数 y=f(x)在这个子集上具有单调性.

2.函数的最值
前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M 存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 ; 对于任意 x∈I, 都有 f(x)≥M ; 存在 x0∈I,使得

f(x0)=M

M 为最小值

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3.判 函 单 性 方 断数调的法 () 定 法 利 定 严 判 . 1 义:用义格断 () 利 函 的 算 质 如 2 用数运性:若 ①f(x)+g(x)为 函 ; 增数 1 ② 为减函数(f(x)>0); f?x? ③ f?x?为增函数(f(x)≥0); ④f(x)· g(x)为增函数(f(x)>0,g(x)>0); ⑤-f(x)为减函数. f(x)、g(x)为 函 , 增数则

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(3)利 复 函 关 判 单 性 用合数系断调. 法则是“ 同增异减 ”, 两 简 函 的 调 相 , 即 个 单 数 单 性 同则 这两个函数的复合函数为 增函数 ,若两个简单函数的单调性 相反,则这两个函数的复合函数为 减函数. (4)图像法. (5)奇 数 两 关 原 对 的 间 具 函 在个于点 称 区上有

相同 的单

调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有 相反 的单调 性.

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() 导数法 6 ①若 f(x)在某个区间内可导, f′(x)>0 时, 当 f(x)为增 函数; 当 f′(x)<0 时,f(x)为 减 函数; ②若 f(x)在某个区间内可导,当 f(x)在该区间上递增时,则 f′(x) ≥ 0;当 f(x)在该区间上递减时,则 f′(x) ≤ 0.

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4.基 初 函 的 域 本等数值 () y=kx+b(k≠0)的值域为 R . 1 (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是当 a>0 时,值域为 ?4ac-b2 ? ? ? ? 4ac-b2? ? ? ,+∞? ? 4a ?-∞, 4a ? ? ? ? ? ;当 a<0 时,值域为 . k {y|y∈R 且 y≠0} . (3)y=x(k≠0)的值域是

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() y=ax(a>0,且 a≠1)的值域是 (0,+∞). 4 (5)y=logax(a>0,且 a≠1)的值域是 R . (6)y=sinx,y=cosx,y=tanx 的值域分别为 [-1,1],R .

[-1,1],

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基 础 自 测
1.(文)(教 改 题 材 编 ( ) A.y=-x+1 C.y=x -4x+5
2

)下 函 中 在 间 列 数 , 区

(2 0 ,)

上 增 的 是 加 是

B.y= x 2 D.y= x

[答案] B

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[解析] 题意.

结函的像知有项 合数图可只选

B 对应的函数满足

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(理)下列函数 f(x)中 足 “对任意 x1,x2∈(0,+∞),当 满 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( A.f(x)=e
x

)

1 B.f(x)= x D.f(x)=l( x+3) n

C.f(x)=(x-2)2

[答案] B

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[解析]

由件知 条可,

f(x)在(0,+∞)上 单 减 的 是调少, C 在(2 0) , 上 少在 减,

A (2,+

和 D 在(0,+∞)上 单 增 的 是调加,

1 ∞)上单调增加,只有 y=x在(0,+∞)上是单调减少的.

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2.(02 21· 函数的是(

广东理,4)下 函 中 在 间 列 数 ,区 ) B.y=- x+1 1 D.y=x+ x

(0,+∞)上为增

A.y=l( x+2 n ) 1x C.y=( ) 2

[答案] A

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[解析]

本考导的用也利函图解. 题查数应,可用数像题 {x|x>

1 对于 A,y′= ,∵x+20 ,∴y′>0, 义 为 > 定域 x+2 -2},∴函数 y=l( x+2)在(-2,+∞)上 增 数 n 为函.

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3.(文)若函数 f(x)=x2-2x+m 在[3,+∞)上的最小值为 1,则实数 m 的值为( A.-3 C.-1 ) B.-2 D.1

[答案] B

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[解析]

∵f(x)=(x-1)2+m-1 在[3,+∞)上是增加的,

且 f(x)在[3,+∞)上的最小值为 1, ∴f() =1,即 22+m-1=1,m=-2.选 B. 3

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(理)02 ( 1· 2

济南模拟)f(x)=4x2-mx+5 在[-2,+∞)为增 )

加的,f() 的取值范围是( 1 A.(-∞,2] 5 C.[5 ,+∞) 2

B.(5 ,+∞) 2 D.(-∞,25)

[答案] C

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[解析]

由意对轴 题知称

m ≤-2,即 m≤-16, 8

所以 f() =9-m≥25. 1

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4.(文)02 ( 1· 2
1 2

洛阳调研)给定函数:
1 2

①y=x ;②y=lg o 中在区间(1 0) , A.①② C.③④

(x+1);③y=|x-1|;④y=2x 1,其 )



上单调递减的函数序号是( B.②③ D.①④

[答案] B

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[解析]

①是 函 , 在 幂 数其

(0,+∞)上 增 数 故 项 为函,此
1 2

不符合题意;②中的函数是由函数 y=lg o 位 到 , 原 数 得 的 因 函 在

x向平 左移

1 个单

(0,+∞)上 减 数 故 项 合 为 函, 此 符 题 x 轴上方的

意; ③中的函数图像是由函数 y=x-1 的 像 留 图保 部 ,方 图 翻 分下 的 像 在(1 0) ,

折到 x 轴 方 到 , 其 像 知 数 上 得 的由 图 可 函

上单调递减;④中的函数为指数函数,其底数大于 1,

故其在 R 上单调递增,不符合题意.综上可知选 B.

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(理)函数 y=lg o
?5 ? A.?2,+∞? ? ? ? 5? C.?-∞,2? ? ?

1 2

(x2-5x+6)的单调递增区间为( B.(3,+∞) D.(-∞,2)

)

[答案] D

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[解析] ∵y=lg o

由 x2-5x+60 ?x>3 或 x<. > 2
1 2

u 在(0,+∞)上为减函数,

u=x2-5x+6 在(-∞,2)上为减函数, ∴函数 y=lg o
1 2

(x2-5x+6)在(-∞,2)上 增 数 为函.

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1 5.已知函数 f(x)为 R 上的减函数,则满足 f(| ) f() 的实 < 1 | x 数 x 的取值范围是________.

[答案] (-1) ∪(1 0 , 0) ,

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[解析]

1 由 数 f(x)为 R 上的减函数且 f(| ) f() , 函 < 1 | x

?1 ?|x|1 , ?| > , |1 ? < x 得? 即? ?x≠0. ? ?x≠0, ? ∴0<x<1 或-1<x<. 0

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1-x2 6.函数 y= 的值域为________. 1+x2
[答案] (-1 1 ,]

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[解析]

1-x2 1-y 2 解法 1: (反函数法)由 y= , x= 得 ≥0, 1+x2 1+y

解得-1<y≤1. 1-x2 -?x2+1?+2 解法 2:(分离常数法)y= = =-1+ 1+x2 x2+1 2 . 2 x +1 2 2 ∵x +1≥1,∴0< 2 ≤2,∴-1<-1+ 2 ≤1. x +1 x +1
2

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1 7.证明:f(x)=x+ 在(-∞,-1)上是增加的. x

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[证明]

设 x1,x2 是(-∞,-1)内的任意两个不相等的负

实数,且 x1<x2,则 Δx=x2-x1>0, ?x2-x1??x1x2-1? Δy=f(x2)-f(x1)= , xx
1 2

∵x1<x2<-1,∴x1x2>>. 10 ∴x1x2-10 ,∴Δy=f(x2)-f(x1)0 > >. 1 所以 f(x)=x+x 在(-∞,-1)上是增加的.

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课堂典例讲练

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求函数的值域

[例 1]

求列数值 下函的域

() y=2x2+x;() y=|x-1|+|x+4|; 1 2 2x+1 () y= 3 ;() y=2x+4 1-x; 4 x-1 () y=x- 1-x2; 5 () y=x5-5x4+5x3+2,x∈[-1,2]. 6

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[分析]

上各在解前先观其构点择 述题求之,应察结特选

最优的方法,然后再解.

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[解析] ∵y=2x

() 采用配方法 1
2

? 1?2 1 1 ?x+ ? - ≥- , +x=2 4? 8 8 ?
2

∴函数 y=2x +x

? 1 ? 的值域是?-8,+∞?. ? ?

() 解法 1:(图像法) 2 ?-2x-3 ?x≤-4? ? y=?5 ?-4<x<1? ?2x+3 ?x≥1? ?

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画图像如下

从图像可知:y≥5,即值域为[5,+∞).

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解法 2:(单调性法) 当 x≤-4 时,y=-2x-3 为减函数, ∴y≥-2×(-4)-3=5, 当-4<x<1 时,y=5, 当 x≥1 时,y=2x+3 为增函数,∴y≥2×1+3=5. 综上可知,函数值域为{y|y≥5}.

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() 解法 1:(反函数法) 3 2x+1 3x+1 ∵y= 的反函数为 y= ,其定义域为{x|x≠2}, x-3 x-2 ∴原函数的值域是{y|y∈R 且 y≠2}. 2x+1 2?x-3?+7 7 解法 2: (分离常数法)∵y= = =2+ , x-3 x-3 x-3 7 其中 ≠0, x-3 2x+1 ∴y= 的值域是(-∞,2)∪(2,+∞). x-3

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() 采用换元法. 4 设 t= 1-x≥0,则 x=1-t2,于是 y=-2t2+4t+2=- 2(t-1)2+4(t≥0),故可知 y∈(-∞,4]. () 利用三角代换法. 5 因为|x|≤1,所以设 x=cs θ,θ∈[0,π], o 则 y=cs θ-s θ= 2cs o n i o
? π? ?θ+ ?. 4? ?

π π 5π ∵θ∈[0,π],∴4≤θ+4≤ 4 ,

第二章

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于是-1≤cs o

? π? ?θ+ ?≤ 4? ?

2 2 ,即得知- 2≤y≤1.

∴函数的值域为[- 2,1]. () 导数法. 6 y′=5x4-20x3+15x2, 令 y′=0,得 5x4-20x3+15x2=0, 即 5x2(x-3 x-1)=0,∴x1=0,x2=1,x3=3. ) ( 由于 x3?[-1 , 以 要 较 2 ,] 所只比 由解析式可知:f(x)最 值 大为 故值域为[-9 . 3 ,]
第二章 第二节

f() ,f() ,f(-1),f() . 0 1 2 3,最小值为-9.

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[点评] 值域.

() 对于二次函数型的一类问题常采用配方法求 1

() 换元法是解决无理函数值域的最有效手段. 2

第二章

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(文)求 列 数 值 . 下函的域 () y=4- 3+2x-x2;() y=2x+ 1-2x; 1 2 x2 () y= 2 3 . x +1

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[解析]

() 配方法):由 3+2x-x2≥0,得-1≤x≤3. 1 (

∵y=4- -?x-1?2+4, ∴当 x=1 时,ym =2.当 x=-1 或 3 时,ym =4. n i x a ∴函数值域为[4 2 ,]

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1-t2 () 换元法):令 t= 1-2x(t≥0),则 x= 2 ( , 2 12 5 ∴y=-t +t+1=-(t-2) +4(t≥0),
2

1 3 5 ∵当 t= 即 x= 时,ym = ,无最小值. x a 2 8 4 5 ∴函数值域为(-∞,4].

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?x2+1?-1 x2 1 () 分离常数法)∵y= 2 = 3 ( =1- 2 , x +1 x2+1 x +1 1 又∵x +1≥1,∴0< 2 ≤1. x +1
2

1 ∴0≤1- 2 <1, x +1 x2 即函数 y= 2 的值域为[1 0) , x +1 .

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(理)求下列函数的值域. () y=4- 3+2x-x ; 1 1-2x () y= 3 x; 1+2
2

4 () y=x+x ; 2

2-s x n i () y= 4 . 2+s x n i

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[解析]

() 配方法):由 3+2x-x2≥0,得-1≤x≤3. 1 (

∵y=4- -?x-1?2+4, ∴当 x=1 时,ym =2.当 x=-1 或 3 时,ym =4. n i x a ∴函数值域为[4 2 ,] .

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4 () ∵函数 y=x+ 是定义域为{x|x≠0}上 奇 数 故 2 的函,其 x 图像关于原点对称, 故只讨论 x>0 时 即 知 ,可 值域. 4 ∵当 x>0 时,y=x+ ≥2 x 4 x·=4, x x<0 时的最值和

当且仅当 x=2 时,等号成立, ∴当 x<0 时,y≤-4. 综上,函数的值域为(-∞,-4]∪[4,+∞).

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() 解法 1:(分 常 法 3 离数

):

1-2x 2 2 x f(x)= = -1, 为 1+2 >1,0< 因 <2, 以 所 1+2x 1+2x 1+2x 2 -1< -1<1,故所求值域为(-1,1). 1+2x 解法 2:(利用反函数法): 1-2x 1-y x 由 y= 得2= >0,所以 y∈(-1,1). 1+2x 1+y

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2-s x n i () 利用三角函数有界性)由 y= 4 ( , 2+s x n i -2y+2 解得 s x= n i , y+1 -2y+2 ∵-1≤s x≤1,∴-1≤ n i ≤1. y+1 -2y+2 1 由 ≤1 得 y<-1 或 y≥3, y+1 -2y+2 由 ≥-1 得,-1<y≤3, y+1 1 ∴所求函数值域为[3 3 .(你会用分离常数求解吗?) ,]
第二章 第二节

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[点评]

对于形如 y=ax+b+ cx+d的 数 令 函 , a2-x2结 的 数 构函,

t=

cx+d, 之 形 二 函 , 于 使变为次数对含

可利用三角代换,令 x=acs θ,θ∈[0,π], 令 x=as θ,θ o 或 n i
? π π? ∈?-2,2?转化为三角函数. ? ?

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求函数的单调区间

[例 2]

(文)求 下 函 的 调 间 出列数单区:

() f(x)=|x2-4x+3|; 1 () f(x)=lg 2(x2-1). 2 o [分析] 注意() 函数含有绝对值,故可将其转化为分段 1

函数并作出图像求解;() 中的函数为函数 y=lg 2u, 2 o u=x2-1 的复合函数,要注意其定义域.

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[解析] 的 用把 作,

() 先作出函数 y=x2-4x+3 的 像由 绝 值 1 图 ,于 对 x 轴下方的部分翻折到上方,可得函数的图像.如

图() 所示. 1

由图可知 函 的 区 为 ,数 增 间 ∞,1),(3 2] , .

[2 1] ,

, +∞), 区 为 (3, 减间

(-

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() 函数的定义域为 x2-10 , 2 > 即{x|x>1 或 x<-1}. 令 u(x)=x2-1, 像 图 图如 () 所示. 2

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由图像可知,u(x)在(-∞,-1)上 减 数 在 是函, 上是增函数. 而 f(u)=lg 2u 是增函数. o 故 f(x)=lg 2(x2-1)的 调 区 是 o 单增间 单调减区间是(-∞,-1). (1,+∞),

(1,+∞)

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(理)求下列函数的单调区间,并指出其增减性. () y=a1-x2(a>0,且 a≠1); 1 () y=lg 2 o [分析]
1 2

(4x-x2).

利复函的别法断类目 用合数判方判该题.

() 的复合关系为 y=at,t=1-x2; 1 () 的复合关系为 y=lg 2 o
1 2

t,t=4x-x2.

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[解析]

() 令 t=1-x2,则 t=1-x2 的 减 间 1 递区是

[0,+

∞),递增区间是(-∞,0]. 又当 a>1 时,y=at 在(-∞,+∞)上是增函数; 当 0<a<1 时,y=at 在(-∞,+∞)上是减函数. ∴当 a>1 时,函数的单调减区间是[0,+∞),单调增区 间是(-∞,0]; 当 0<a<1 时 函 的 调 区 是 ,数单减间 间是[0,+∞). (-∞,0],单调增区

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() 由 4x-x2>0, 函 的 义 是 2 得数定域 ∵t=4x-x2=-(x-2)2+4, ∴t=4x-x2 的递减区间是[4 2) , 又 y=lg o
1 2

(4 0) ,

.令 t=4x-x2,

,递增区间是(2 0] ,



t 在(0,+∞)上是减函数, ,单调增区间是[4 2 ,) .

∴函数的单调减区间是(2 0] ,

第二章

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[点评]

() 复合函数 y=f[g(x)]的单调规律是“同 增异 1 则,

则减”,即 f(u)与 u=g(x)若具有相同的单调性,则 f[g(x)]为增 函,具不的调, 数若有同单性则 函数单调性的步骤是: f[g(x)]必 减 数 讨 复 为函.论合

第二章

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①求出复合函数的定义域; ②把复合函数分解成若干个常见的基本函数, 并判定其单 调性; ③把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围; ④根据上述复合函数的单调性规律判定其单调性. () 求函数的单调区间(即判断函数的单调性), 般 以 2 一有下 几种方法: ①图像法. ②定义法.
第二章 第二节

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1 ③利用已知函数的单调性,如函数 y=x 与 y= 的单调性 x (一增一减)等. ④利 导 : 函 用 数 设 数 y=f(x)在 个 间 可 , 某 区 内 导 如 果

f′(x)0 ,则 f(x)为 函 ; 果 > 增数如

f′(x)0 ,则 f(x)为减函数. <

⑤如果函数的解析式中含有参数(字母), 往 要 虑 往需考分 类讨论的思想方法.

第二章

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(文)求 数 y=x-|1-x|的 调 间 函 单区.

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[解析]

?1, ? y=x-|1-x|=? ?2x-1, ?

x≥1 x<. 1

作出该函数的图像如图所示.

由 像 知该 数单 增 间 图 可, 函的调 区是 减区间.

(-∞,1], 单 无 调

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[点评]

把 有 对 的 数 化 分 函 的 键 含 绝 值 函 转 为 段 数 关 是

选 分 点对 含 绝 值 函 ,常 解 式 的 绝 好 界 ,于 有 对 的 数通 令 析 中 各 对值分别等于零而求得. 作函数图像时, 首先要明确函数的定 义 、域由 可 定 像 在 范 ;次要 究 数 域值 ,此 确 图 所 的 围其 ,研 函 的单调性、最值点、特殊点等.

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(理)求下列函数的单调区间. () f(x)=-x2+2|x|+3; 1 () f(x)=lg 2(6+x-2x2). 2 o [分析] 图 求; 像 解 解. () 去 对 号 转 为 次 数 解 画 函 1 绝 值 ,化 二 函 求 或 出 数 () 利 复 函 单 性 定 则 2 用合 数调 判法 “同 异 增 减 ”求

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[解析]

() 解法 1

?-x2+2x+3,x≥0, ? 1:∵f(x)=? ?-x2-2x+3,x<0, ?

∴由二次函数性质知 f(x)的增区间是(-∞,-1]和[1 0 ,] 减区间是[-1 和[1,+∞). 0 ,] 解法 2:∵f(x)为 函 , 偶数 ∴其图像为



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由像 图知

f(x)的 区 为 增间

(-∞, ] 和[1 -1 0] ,

;区 为 减间

[-

1] 和[1, ∞). 0 , + () 由 6+x-2x >0, 函 2 得数 令 u=6+x-2x , 函 则 数
?1 ? ? ,2?上 减 数 4 ? 为函. ?
2 2

f(x)的 义 为 定域 u

? 3 ? ?- ,2?. ? 2 ?

? 3 1? 在?-2,4?上 增 数 在 为函 , ? ?

又∵y=lg 2u 在(0, ∞)上 增 数 o + 为函, ∴函 f(x)的 区 是 数 增间
? 3 1? ? - , ?, 区 是 减间 ? 2 4? ?1 ? ? ,2?. ?4 ?

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[点评]

欲函单区,先函定域然根 求数调间需求数义,后

据解析式的特征选择合理的方法. 另外, 注意在解答题中判断 函数的单调性或求单调区间时一般用导数法或定义法.

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函数单调性的判断与应用

[例 3] [分析]

讨函 论数

ax f(x)= (a>) 的单调性. 0 x-1 1<x1<x2<1,然后作差、变 f(x)的 函 , 导数然 后判断 f′(x)

可据义先- 根定,设

形定、断也 以 、号判;可求

与零的大小关系;也可利用函数图像变换求解.

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[解析]

ax-a+a ax a ∵f(x)= = =a+ , x-1 x-1 x-1

∴函数的定义域为{x|x≠1}. 解法 1: (定义法)任取 x1, 2∈R, x1, 2 均不为 1, 1<x2, x 且 x x 则
? a ? ? a ? ? ? ? f(x1)-f(x2)=?a+x -1?-?a+x -1? ? 1 2 ? ? ? ?

ax2-a-ax1+a a?x2-x1? = = . ?x1-1??x2-1? ?x1-1??x2-1?

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①当 x1<x2<1 时,x1-10 ,x2-10 ,x2-x1>0, < < a>0, ∴f(x1)-f(x2)0 ,即 f(x1)>f(x2). > ②当 1<x1<x2 时,x2-10 ,x1-10 ,x2-x1>0, > > a>0, ∴f(x1)-f(x2)0 ,即 f(x1)>f(x2). > ∴函数 f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均为减函数.

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-a 解法 2:(导数法)∵f′(x)= 2,又∵a>0, ?x-1? ∴f′(x)0 在(-∞,1)∪(1,+∞)上 成 , 函 < 恒立即数 在(-∞,1)和(1,+∞)上均为减函数. f(x)

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a 解法 3:(图像法)由 f(x)=a+ 可知其图像对称中心是 x-1 (1,a),x=1,y=a 是 的 条 近 , 其 像 图 示 它两渐线故图如所, ∴f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均为减函数.

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[点评]

在究调的多法,义和数是 研单性众方中定法导法

通 ,定 法 算 较 .其 方 则 较 活需 充 法但 义 运 量 大而 他 法 比 灵 ,要 分分析函数解析式的特征, 这些方法在选择、 填空题中应用较 广.外本的论易成 泛另,题结容写 ∞)上是减函数”这一错误形式. “f(x)在(-∞,1)∪(1,+

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设函数 f(x)定 在 数 上 义实集, f(x)=lnx,则有( )

f(2-x)=f(x), 当 x≥1 时, 且

1 1 A.f(3)<f() f(2) 2 < 1 1 C.f(2)<f(3)<f() 2

1 1 B.f(2)<f() f(3) 2 < 1 1 D.f() f(2)<f(3) 2 <

[答案] C

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[解析]

由 f(2-x)=f(x)可知 f(x)的 像 于 线 图关直

x=1 对

称,当 x≥1 时,f(x)=lnx,可知当 x≥1 时 f(x)为增函数,所 1 1 以当 x<1 时 f(x)为减函数,因为|2-1| 3 -1| < | < 2 | 1 1 f( )<f( )<f() .故选 C. 2 2 3 -1|,所以

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抽象函数的单调性

[例 4]

(02 21·

四宜一 川宾诊

)已知定义在 R 上 函 的数

f(x)

满足:①f(x+y)=f(x)+f(y)+1,②当 x>0 时,f(x)>-1. () 求 f() 的值,并证明 f(x)在 R 上 单 增 的 1 0 是调加; () 若 f() =1, 关 2 1 解于 x 的不等式:f(x2+2x)+f(1-x)4 >.

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[解析]

() 令 x=y=0 得 f() =-1. 1 0

在 R 上任取 x1>x2, 则 x1-x2>0,f(x1-x2)>-1,又 f(x1)=f[(x1-x2)+x2]=f(x1 -x2)+f(x2)+1>f(x2), 所以,函数 f(x)在 R 上 单 增 的 是调加.

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() 由 f() =1,得 f() =3,f() =5. 2 1 2 3 由 f(x2+2x)+f(1-x)4 得 f(x2+x+1 f() , 函 > ) 3 又数 > R 上是增加的,故 x2+x+13 , > 解之,得 x<-2 或 x>1,故解集为{x|x<-2 或 x>} . 1 f(x)在

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[点评]

解关象数等问的骤 有抽函不式题步: (或奇偶性);

() 确定函数 f(x)在 定 间 的 调 1 给区上单性

() 将函数不等式转化为 f(A)<f(B)的形式; 2 () 运用函数的单调性“去掉”函 的 象 号 3 数抽符 成一般的不等式或不等式组; () 解不等式或不等式组求得解集. 4 提醒:解此类问题易忽视 A,B 的 值 围 即 视 取范,忽 所在的单调区间的约束. f(x) “f”,转化

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已奇数 知函

f(x)对 任 的 实 于意正数 (

x1,x2(x1≠x2), 有 (x1 恒 )

-x2)(f(x1)-f(x2)0 , 一 正 的 > 则定确是 A.f() f() 4 6 > C.f(-4 f(-6 ) > )

B.f(-4 f(-6) ) < D.f() f(-6 4 < )

[答案] C

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[解析]

因为 f(x)对于任意的正实数 x1,x2(x1≠x2),恒有 所以 f(x)在(0,+∞)上 增 数 又 为函,因 f(x)在 R 上 增 数 所 为函.以

(x1-x2)(f(x1)-f(x2)0 >

为 f(x)为 函 , 奇 数 质 奇数由函性知 有 f(-6 f(-4 f() f() .故选 C. ) < ) 4 < < 6

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单调性与最值

[例 5]

a 函数 f(x)=2x- 的定义域为(1 0] ,( x

a 为实数).

() 当 a=-1 时,求函数 y=f(x)的值域; 1 () 若函数 y=f(x)在 义 上 减 数求 2 定域是函, () 求函数 y=f(x)在 x∈(1 3 0] , 出函数取最值时 x 的值. a的 值 围 取范;

上的最大值及最小值,并求

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[解析]

() 显然函数 y=f(x)的值域为[2 2,+∞). 1

() 若函数 y=f(x)在 义 上 减 数 2 定域是函, 则任取 x1,x2∈(1 0] ,
? a ? x2)?2+x x ?>0,只要 ? 1 2?

且 x1<x2 都有 f(x1)>f(x2)成立,即(x1-

a<-2x1x2 即可,

由 x1,x2∈(1 0] ,

,故-2x1x2∈(-2,0),所以 a≤-2,

故 a 的取值范围是(-∞,-2]. 或用导数来判断.

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() 当 a≥0 时 函 3 ,数 当 x=1 时 得 大 取最值

y=f(x)在(1 0] , 2-a;

上 调 增无 小 , 单 递 ,最 值

由() 得 a≤-2 时 函 2 当 ,数 最值 大, 当 x=1 时 得 小 取最值 当 2 a<0 时 函 - < ,数
? ? ? ?

y=f(x)在(1 0] ,

上调减无 单递,

2-a;
? y=f(x)在?0, ? ?

-2a? ? 单递, ?上 调 减 在 2 ? -2a x= 2 时 得 小 取最

? -2a ? 单递,最值当 ,1?上 调 增 无 大 , 2 ?

值 2 -2a.
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(02 21·

宜春调研)函数 y= x+1- x-1的最大值为( B. 2 D.4

)

A.2 2 C.1

[答案] B

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[解析]

2 y= , x≥1, y 是 x 的减函数, 又 则 x+1+ x-1

当 x=1 时,ym = 2. x a

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思想方法点拨

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1.求函数值域的方法 求函数的值域是高中数学的难点, 它没有固定的方法和模 式.常用的方法有: () 直接法——从自变量 x 的范围出发,通过观察和代数 1 运算推出 y=f(x)的 值 围 取范; () 配方法——配方法是求“二次型函数”值 的 本 2 域 基 方 法形 ,如 F(x)=af 2(x)+bf(x)+c 且 f(x)的 能 到 体 数 值取全实的

函数的值域问题,均可使用配方法.

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() 反函数法——利用函数和它的反函数的定义域与值域 3 的 逆 系通 求 函 的 义 ,到 函 的 域形 互 关 ,过 反 数 定 域得 原 数 值 . cx+d 如 y= (a≠0)的函数的 域 均 使 反 数 . 外 值,可用函法此, ax+b 这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解.

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() 判别式法——把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x,y) 4 =0, 过 程 实 , 别 通 方 有 根 判 式 域形 .如 Δ≥0, 而 得 函 的 从 求 原 数 值 )的函数的值域常

a1x2+b1x+c1 y= 2 (a1,a2 不 时 零 同为 a2x +b2x+c2

用此法求解. 前提条件:①函数的定义域应为 R;②分 、 母 有 子分 没 公 因式.

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() 换元法——运用代数或三角代换,将所给函数化成值 5 域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.例如:形如 y=ax+b± cx+d(a、b、c、d 均为常数,且 ac≠0)的函数常 用此法求解. () 不等式法——利用基本不等式: 6 a+b≥2 ab(a、 b∈R+) 求 数 值 .不 式 求 域 ,注 均 不 式 使 函 的 域用 等 法 值 时要 意 值 等 的 用条件“一正、二定、三相等”.

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() 单 性 7 调 法 ——根 函 在 义 据数定域 上的单调性求出函数的值域.

(或 义 的 个 集 定域某子

)

() 求导法——当一个函数在定义域上可导时,可据其导 8 数求最值; () 数形结合法——当一个函数图像可作时,通过图像可 9 求其值域和最值; 或利用函数所表示的几何意义, 借助于几何 方法求出函数的值域.

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2.对于函数单调性定义的理解,要注意以下三点 () 函数的单调性是对某一个区间而言的.例如,函数 f(x) 1 在区间(-1,0)上 减 数 在 是函, (1 0) , (1 0) , 上减数但 是函,在 (-1,0)∪

1 上却不一定是减函数.如函数 f(x)= . x () 单调性是函数在某一区间上的性质,因此定义中的 x1, 2

x2 在这一区间上具有任意性,不能用特殊值代替.

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() 由于定义都是充要性命题,因此由 f(x)是增(减)函数, 3 且 f(x1)<f(x2)?x1<x2(或 x1>x2),这说明单调性使得自变量间的 不等关系和函数值之间的不等关系可以互推.如:y=f(x)是定 义在[-1,1]上 增 数 你 解 等 的函,会不式 f(1-x)<f(1-x2)吗?

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3.在研究函数的单调性时,应先确定函数的定义域 如求函数 y=l( x2-2x-3)的增区间时,易认为[1,+∞) g 是它的增区间,而实际上它的增区间为(3,+∞). 4. 出 象 数 系 , 论 性 的 目 基 方 给抽函关式讨其质题,本法 是 值 定 讨 .判 单 性 须 造件 判 赋 用 义 论 如 断 调 , 创 条 , 断 f?x1? -f(x2)的符号或 与 1 的大小. f?x2? f(x1)

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5. 练 握 、 函 的 义 注 定 的 下 种 熟掌增减数定,意义如两 价形式: 任意取 x1,x2∈[a,b] ,那么: f?x1?-f?x2? () 1 >0?f(x)在[a,b]上 增 数 是函. x1-x2 f?x1?-f?x2? <0?f(x)在[a,b]上 减 数 是函. x1-x2



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() x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?f(x)在[a,b]上 增 数 2 ( 是函. (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?f(x)在[a,b]上 减 数 是函. 6. 函 设数 y=f(x)在某个区间内可导,如果 f′(x)>0,则

f(x)为增函数;如果 f′(x)<0,则 f(x)为 函 . 减数

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