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北京市东城区普通校2013届高三12月--联考--数学(文)试题


东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷
高三数学(文科) 命题校:北京市崇文门中学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利!

2012 年 11 月
分,考试用时 120 分钟。考试结束后,

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1. 设集合 U ? ?x x ? 3? , A ? ?x x ? 1? ,则 C U A = A. ?x 1 ? x ? 3? B. ?x 1 ? x ? 3? C. ?x 1 ? x ? 3? ( ( ) D. ? x x ? 1? )
1

2. 下列函数中在区间 (0, ?? ) 上单调递增的是

A. y ? sinx
? log
x

B. y ? -x 2
x( x ? 0)

C. y ? log 3 x

D. y ? ( )
2

x

3. 设 f ( x ) ? ?

3

?3 , ( x ? 0)

,则 f [ f ( ? 3 )] 等于
1 3

(

)

A. 3

B. ? 3

C.

D. ? 1

4. 已知二次函数 f ? x ? 的图象如图 1 所示 , 则其导函数 f ' ? x ? 的图象大致形状是 ( )

5.“ a ? 3 ”是“函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 ax ? 2 在区间 ?3 , ?? ? 内单调递增”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 w.w. B.必要而不充分条件 w.w.w.k.s. .D.既不充分也不必要条件 的零点所在的区间是 C. (1,2)
?
2



6.函数 f ( x ) ? e x ? x ? 2 A. (-2,-1)

( D. (0,1)



B. (-1,0)

7. 将函数 y ? cos 2 x 的图象先向左平移 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数解析式是
-1-

(

) B. y ? ? cos 2 x C. y ? 2 sin 2 x D. y ? ? 2 cos 2 x

A. y ? ? sin 2 x

8. 某企业投入 100 万元购入一套设备.该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年 的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元.为使该设备年平均费用最低,该 企业( )年后需要更新设备. A. 10 B. 11 C. 13 D. 21

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知 sin ? ?
5 13 ,? ? (

?
2

, ? ) ,则 tan ? ?

.

10. 若数列 { a n } 满足 a 1 ? 1 , a n ?1 ? 2 a n ( n ? N * ) ,则 a 3 ? 11. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 并满足 12. 设 a ? log
2 , b ? log
f ( x ? 4) ? f ( x)

;前 5 项的和 S 5 ?

. .

,当 1 ? x ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ,则 f ( 6 . 5 ) ? .

1 3

2

1 0 .3 3 , c ? ( ) ,则 a 、 b 、 c 从小到大的顺序是 2 1 2

13. 已知命题 p : ? x 0 ? R , ax 0 ? x 0 ?

2

? 0 . 若命题 p 是假命题,则实数 a 的取值范围是

.

14. 已知函数 f ( x ) 的定义域为 A ,若其值域也为 A ,则称区间 A 为 f ( x ) 的保值区间.若 f ( x ) ? x ? m ? ln x 的保 值区间是 [ e , ?? ) ,则 m 的值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在锐角△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别为角 A、B、C 所对的边,且
a sin A ? 2c 3

(Ⅰ) 确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c = 7 ,且△ ABC 的面积为 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2 sin 2 x . (Ⅰ)若角 ? 的终边与单位圆交于点 p ( , ) ,求 f (? ) 的值;
5 5 3 4

3 3 2

,求 a ? b 的值.
2 2

(Ⅱ)若 x ? [ ?

?
6

,

?
3

] ,求 f ( x ) 最小正周期和值域.

-2-

17. (本小题满分 13 分) 已知等差数列 ? a n ? 满足: a 2 ? 5 , a 4 ? a 6 ? 2 2 . ? a n ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 a n 及 S n ; (Ⅱ)若 f ( x ) ?
1 x ?1
2

, bn ? f ( a n ) ( n ? N * ) ,求数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n .

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? log a ( x ? 1), g ( x ) ? log a (1 ? x )( 其中 a ? 0 , 且 a ? 1) (Ⅰ)求函数 f ( x ) ? g ( x ) 的定义域; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) ? g ( x ) 的奇偶性,并予以证明; (Ⅲ)求使 f ( x ) ? g ( x ) ? 0 成立的 x 的集合. 19. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x ) ? x ? ax ? a x ? 2 .
3 2 2

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0, 求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若不等式 2 x ln x ? f ?( x ) ? a ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
2

20. (本小题满分 14 分). 数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 若 a 1 ? 3 , S n 和 S n ?1 满足等式 S n ? 1 ? (Ⅰ)求 S 2 的值; (Ⅱ)求证:数列 {
Sn n } 是等差数列;

n ?1 n

S n ? n ? 1,

(Ⅲ)若数列 {b n } 满足 b n ? a n ? 2 (Ⅳ)设 C n ?
Tn 2
2n?3

an

,求数列 {b n } 的前 n 项和 T n ;
20 27

,求证: C 1 ? C 2 ? ? ? ? ? C n ?

.

-3-

东城区普通校 2012-2013 学年第一学期联考试卷
高三数学(文科)参考答案
(以下评分标准仅供参考,其它解法自己根据情况相应地给分)
题 号 答 案 1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A
?

9
5 12

10 4,31

11 -0.5

12
a?c?b
( 1 2

13
, ?? )

14 1

15.(本小题满分 12 分) 解 :( Ⅰ ) 解 : ∵

a s i nA

?

2c 3

由正弦定理得

a sin A

?

c 3 2

?

c sin C

???2 分



sin C ?

3 2

??????4 分
?
3



? ABC 是锐角三角形, ∴ C ?

??????6 分

(Ⅱ)解:

c?

7 , C ?

?
3

由面积公式得

1 2

ab sin

?
3

?

3 3 2

??????8 分 ??????9 分

∴ ab ? 6 由余弦定理得 a ? b ? 2 ab cos
2 2

?
3

? 7

?????11 分 ??????12 分

∴ a 2 ? b 2 ? 13 16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ 角 ? 的终边与单位圆交于点 p ( , )
5 5 3 4

∴ sin ? ?

4 5

, cos ? ?

3 5



??????2 分

∴ f (? ) ? 2 3 sin ? cos ? ? 2 sin 2 ?
4 5 4 2 24 3 ? 32 ? 2?( ) ? . 5 5 25 3

? 2 3?

?

??????4 分

(Ⅱ) f ( x ) ? 2 3 sin x cos x ? 2 sin 2 x
? 3sin 2 x ? cos 2 x ? 1

? 2 s in ( 2 x ?

?
6

) ?1

??????8 分 ??????9 分
-4-

∴最小正周期 T= ?

∵ x ? [? ∴ ?
1 2

?
6

,

?
3

] ,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6



?????10 分 ??????12 分 ??????13 分

? s in ( 2 x ?

?
6

) ? 1,

∴ f ( x ) 的值域是 [ ? 2,1] . 17. (本小题满分 13 分) 解. (Ⅰ)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d ∵ a2 ? 5 , a4 ? a6 ? 22 ∴ a 1 ? d ? 5 , 2 a 1 ? 8 d ? 22 解得 a 1 ? 3 , d ? 2 ∴ an ? 2n ? 1 S n ? n 2 ? 2n , (Ⅱ)∵ f ( x ) ?
1 x ?1
2

??????2 分 ??????4 分 ??????6 分
1 an ? 1
2

, bn ? f ( a n )

∴ bn ?

??????7 分

∵ an ? 2n ? 1 ∴ bn ?
1 4 n ( n ? 1)

∴ a n ? 1 ? 4 n ( n ? 1)
? 1 1 1 ( ? ) 4 n n ?1

2

??????9 分

T n ? b1 ? b 2 ? b 3 ? ? ? ? ? b n
1 4 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 1 4 1 n ?1

=

(1-

+

-

+?+

-

)

??????11 分=

(1-

)

=

n 4 ( n ? 1)

所以数列 ? b n ? 的前 n 项和 T n =

n 4 ( n ? 1)

.

??????13 分 18. (本小题满分 14 分)

解: (Ⅰ) f ( x ) ? g ( x ) ? log a ( x ? 1) ? log a (1 ? x ) 由?
?x ? 1 ? 0 ?1 ? x ? 0

得 ?1 ? x ? 1

??????2 分

所求定义域为 ?x | ? 1 ? x ? 1, x ? R ? (Ⅱ)令 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? lo g a ( x ? 1) ? lo g a (1 ? x ) ? lo g a 定义域为 ?x | ? 1 ? x ? 1, x ? R ?
h ? ? x ? ? log 1? x a 1? x ? x ?1? ? ? ?1? x ? ?1 ? ? log x ?1 a 1? x ? ? h?x ?

??????3 分
x ?1 1? x

??????4 分

? log

-5-

∴ f ( x ) ? g ( x )为 奇 函 数 (Ⅲ) f ( x ) ? g ( x ) ? log a ( x ? 1)( 1 ? x ) ? log
2

?????8 分

a

?1 ? x ? ? 0 ? log
2

a

1

?????9 分

? 当 a ? 1时 , ? 1-x ? 1, 得 -1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1 0

当 0 ? a ? 1时 , 1-x 2 ? 1 . 综上:

不等式解集为空集

当 a ? 1时 , 不 等 式 的 解 集 为 ? ? 1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1?

当 0 ? a ? 1时 , 不等式的解集为空集 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) ∵ a ? 1 ∴ f ( x ) ? x 3 ? x 2 ? x ? 2 ∴ f ? ( x ) ? 3 x 2 ? 2 x ? 1 ∴ k ? f ? (1) ? 4 , 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3 )

?????14 分

????1 分

∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4 ( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ) f ?( x ) ? 3 x 2 ? 2 ax ? a 2 ? ( x ? a )(3 x ? a ) 由 f ?( x ) ? 0 得 x ? ? a 或 x ?
a 3 a 3

????4 分

????5 分 .

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 , 得 ? a ? x ? 由 f ?( x ) ? 0 , 得 x ? ? a 或 x ?
a a 3

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a , ) ,单调递增区间为 ( ? ? , ? a ) 和 (
3

a 3

, ?? ) .

????7 分 (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,得 由 f ?( x ) ? 0 ,得 x ?
a 3 a 3 ? x ? ?a .

或 x ? ?a
a 3 , ? a ) ,单调递增区间为 ( ? ? , a 3 ) 和 (? a, ?? ) .

此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( 综上:

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a , ) ,
3

a

单调递增区间为 ( ? ? , ? a ) 和 ( 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 (
a a 3

a 3

, ?? )

,?a)

单调递增区间为 ( ? ? , ) 和 ( ? a , ? ? ) .
3

????9 分
-6-

(Ⅲ)依题意 x ? ( 0 , ?? ) ,不等式 2 x ln x ? f ?( x ) ? a 2 ? 1 恒成立, 等价于
2 x ln x ? 3 x
2

? 2 ax ? 1 在 (0, ? ? ) 上恒成立
3 2 x ? ? 1 2x 1 2x
' , 则 h ?x ? ?

可得 a ? ln x ? 设 h ? x ? ? ln x ?

在 (0, ? ? ) 上恒成立
1 x ? 3 2 ? 1 2x
2

??????11 分
? ?

3x 2

?x

? 1 ?? 3 x ? 1 ? 2x
2

??????12 分 令 h ? ( x ) ? 0 ,得 x ? 1, x ? 1 3

(舍)当 0 ? x ? 1 时, h ? ( x ) ? 0 ;当 x ? 1 时, h ? ( x ) ? 0

当 x 变化时, h ? ( x ), h ( x ) 变化情况如下表:

x
h ?( x )

( 0 ,1)

1

(1, ?? )

+
单调递增

0

单调递减
? a ? ?2

h( x)

-2
max

∴ 当 x ? 1 时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? ∴ a 的取值范围是 ?? 2 , ?? ? . 20. (本小题满分 14 分)

=-2

???14 分

解: (I)由已知: S 2 ? 2 S 1 ? 2 ? 2 a1 ? 2 ? 8 (II)∵ S n ? 1 ?
n ?1 n Sn ? n ? 1
Sn n

????2 分

同除以 n ? 1, 则有 :

S n ?1 n ?1

?

?1

????4 分

? 数列 {

Sn n

} 是以 3 为首项,1 为公差的等差数列.

????6 分

(III)由(II)可知, S n ? n 2 ? 2 n ( n ? N * )
? 当 n ? 1时 , a1 ? 3

?????7 分

当 n ? 2 时 , a n ? S n ? S n ?1 ? 2 n ? 1
? a n ? 2 n ? 1( n ? N *)

经 检 验 , 当 n=1 时 也 成 立
bn ? a n ? 2
an 2 n ?1

??????9 分

? b n ? ( 2 n ? 1) ? 2

,

T n ? b1 ? b 2 ? ? ? ? ? b n ? 1 ? b n ? Tn ? 3 ? 2
3

? 5?2

5

? ? ? ? ? ( 2 n ? 1) ? 2

2 n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2

2 n ?1

-7-

4T n ? 3 ? 2 ? ? ? ? ? ( 2 n ? 3 ) ? 2
5

2 n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2
? ? 8 9 1 .

2 n ?1

? ( 2 n ? 1) ? 2

2n?3

????10 分 ????11 分

解得: T n ? ( (Ⅳ)∵ C n ?

2 3

n ? Tn

1 9

)?2 2n 3

2n?3

2

2n?3

?

?

1 9

1 n ?( ) 9 4

? C1 ? C 2 ? ??? ? C n ?

2 3

?

n ( n ? 1) 2

1 n [1 ? ( ) ] 4 4 ? ?n ? ? 1 9 9 1? 4 1 1

1

?

3n

2

? 4n 9

?

1 27 1 27

?

1 n ?( ) 27 4 7 9 1 27 20 27

1

?

3n

2

? 4n 9

?

?

?

?

.

????14 分

-8-


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