伤城文章网 > 数学 > 3.1《不等式与不等关系》课件

3.1《不等式与不等关系》课件


金太阳好教育云平台 www.jtyhjy.com

第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式

本节主要讲解不等关系及不等式的基本性质。通过三个不等 关系的实例引入新课,三个问题体现了的不等关系在各个领域 的应用。 问题探究一是比较大小的方法,强调作差法的重要性,例 2 、 变式2、3对作差法加以巩固。问题探究二不等式的性质,利用3 个例题和3个变式加以巩固。问题探究三利用不等式的性质求范

围,强调同向不等式可以相加的性质。

用不等式(组)表示不等关系 (1)右图是限速40km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应 使汽车的速度v不超过40km/h .

0<v≤40

40

(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道, 它的飞行速度( 宙速度(记

v1 ). v1 ? v ? v2

v

)不小于第一宇宙速度(记作 2 ),且小于第二宇

v

(3)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%, 蛋白质的含量p应不少于2.3%.

? f ? 2 .5 % ? ? p ? 2. 3 %

问题1. 设点A与平面 ? 的距离为d,B为平面 ? 上的任意一点,则

d≤|AB|.

A

d B B

?

o

B

问题2、某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本。

据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。
若把提价后杂志的定价设为x元,怎样用不等式表示销售的总收 入仍不低于20万元呢? 思考:(1)销售量减少了多少? (2)现在销售量是多少? (3)销售总收入为多少?

x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1

x ? 2.5 8? ? 0 .2 0 .1
x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万 元 0.1

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1

解:若杂志的定价为x元,则销售量减少:

x ? 2.5 ? 0.2万 本 0.1
因此,销售总收入为:

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2)x万 元 0.1

用不等式表示为:

x ? 2.5 (8 ? ? 0.2) x ? 20 0.1

问题3.某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种 规格。按照生产的要求,600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍 请思考:(1)找出两种规格的钢管的数量满足的不等关系. (2)用不等式(组)表示上述不等关系.

分析:假设截得500mm的钢管x根,截得600mm的钢管y根。根
据题意,应当有什么样的不等关系呢? (1)截得两种钢管的总长度不能超过4000mm;

(2)截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍;
(3)截得两种钢管的数量都不能为负.

上面三个不等关系,是“且”的关系,要同时满足的话,
可以用下面的不等式组来表示:

?500x ? 600y ? 4000 ? 3x ? y ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ? ? ? x,y∈N
考虑到实际问题的意义,还应有x,y∈N

例1:用不等式表示下面的不等关系: 1.a与b的和是非负数;

a+b≥0

2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”

0<h≤4

3.在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库,四周是
绿地.仓库的长L大于宽W的4倍.写出L与W的关系
5m

5m

5m

?( L ? 10)(W ? 10) ? 350, ? L ? 4W ? ? ?L ? 0 ? ?W ? 0

5m

变式 1:在下列各题的横线中填入适当的不等号. ⑴ ( 3 ? 2) 2 _____ < 6 ? 2 6;

< 6 ? 1) 2 ; ⑵ ( 3 ? 2) 2 ____(
1 1 ⑶ ______ ; < 5?2 6? 5

> log 1 b. ⑷若0 ? a ? b , log 1 a ____
2 2

我们用数学符号“≠”,“>”,“<”,“≥”,“≤”
连接两个数或代数式,以表示它们之间的不等关系。含有

这些不等号的式子叫做不等式.
数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数大.

x A O B

判断两个实数大小的依据是:

a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0 a ? b? a?b? 0

作差比较法

这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质的基础. 作差比较法其一般步骤是: 作差→变形→判断符号→确定大小.

比较两个数(式)的大小的方法:
例2.比较x2-x与x-2的大小.

解:(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2
=(x-1)2+1,

因为(x-1)2≥0,
所以(x2-x)-(x-2)>0, 因此x2-x>x-2.

作差,与零比较大小.

变式 2:(1)比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小; (2)设 x, y, z∈R, 比较 5x2+y2+z2 与 2xy+4x+2z-2 的大小.
解 (1)∵(a+3)(a-5)-(a+2)(a-4)

=(a2-2a-15)-(a2-2a-8)=-7<0.
∴(a+3)(a-5)<(a+2)(a-4).
(2)∵5x2+y2+z2-(2xy+4x+2z-2) =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+z2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0, ∴5x2+y2+z2≥2xy+4x+2z-2, 1 当且仅当 x=y= 且 z=1 时取等号. 2

变式 3:设 m=x2+y2+2y,n=2x-5,则 m,n 的大小关系是( A ) A.m>n B.m<n C.m=n
解析

D.与 x,y 取值有关

∵m-n=x2+y2+2y-2x+5
=(x2-2x+1)+(y2+2y+1)+3
=(x-1)2+(y+1)2+3>0,

∴m>n.

b?m b ? b 、m 都是正数,且 a ? b ,求证: 例 3、已知 a 、 a?m a

b ? m b (b ? m)a ? (a ? m)b 证明: ∵ ? ? a?m a (a ? m)a ab ? ma ? ab ? bm ? (a ? m)a m(a ? b) ? (a ? m)a

若b>a,结论又 会怎样呢?

∵a、 b 、m 都是正数,且 a ? b ∴ m ? 0, m ? a ? 0, a ? 0, a ? b ? 0

b?m b b?m b ? ? 0∴ ? ∴ a?m a a?m a

性质1:对称性

a<b
性质2:传递性

b>a

a ? b,b ? c ? a ? c

性质3:可加性

a ?b? a?c ?b?c
性质4:可乘性

?a ? b,c ? 0 ? ac ? bc ? ?a ? b,c ? 0 ? ac ? bc

性质5:可加性 (同向不等式可相加)

a ? b,c ? d ? a ? c ? b ? d
性质6: (正数同向不等式可相乘)

a ? b ? 0,c ? d ? 0 ? ac ? bd

性质7:乘方法则

a ?b ?( 0 n? N ) ?a ?b ?0
* n n

性质8:开方法则

a ?b ?( 0 n ? N , n ≥ 2) ? a ? b ?0
* n n

c c 例4、已知 a>b>0,c<0,求证:a > b 1 证明:因为 a>b>0,所以ab>0, >0 . ab 1 1 于是 a×ab>b× ab 即 1 1 b > a

c c 由c<0,得 a > b

变式 4、下列不等式: ①x2+3>2x (x∈R);②a3+b3≥a2b+ab2 (a,b∈R);

①③ . ③a2+b2≥2(a-b-1)中正确的命题序号有________
解析 ①x2+3-2x=(x-1)2+2>0,∴x2+3>2x.

②a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)

=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b),
∵(a-b)2(a+b)与 0 的大小关系不确定. ∴a3+b3 与 a2b+ab2 的大小关系不确定. ③a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1) =(a-1)2+(b-1)2≥0, ∴a2+b2≥2(a-b-1).

例 5、下列命题正确的是( B.a<b? a< b

A

)

A.a>b,c≠0?ac2>bc2 C.a>b 且 c<d?a+c>b+d D.a>b?ac>bc

解析:∵c≠0, ∴c2>0, 又∵a>b, ∴由不等式的性质可得ac2>bc2, 故选A.

变式 5、给出下列结论: ①若 ac>bc,则 a>b; ②若 a<b,则 ac2<bc2; 1 1 ③若a<b<0,则 a>b; ④若 a>b,c>d,则 a-c>b-d; ⑤若 a>b,c>d,则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________.

[答案]



利用不等式的性质求取值范围
a 例 6、已知-6<a<8,2<b<3,分别求 2a+b,a-b,b的取值范围.
分析:欲求 a-b 的取值范围, 应先求-b 的取值范围, 欲求 1 a b的取值范围,应先求b的取值范围.

解析:∵-6<a<8,∴-12<2a<16, 又∵2<b<3,∴-10<2a+b<19. ∵2<b<3,∴-3<-b<-2,∴-9<a-b<6. 1 1 1 ∵2<b<3,∴3<b<2, a ∵-6<a<8,∴-2<b<4.

α+β α-β π π 变式 6、已知-2≤α<β≤2,求 2 , 2 的范围.

π π π α π π β π 解析:∵-2≤α<β≤2,∴-4≤2<4,-4<2≤4. π α+β π 两式相加,得-2< 2 <2.

π β π π β π ∵-4<2≤4, ∴-4≤-2<4, π α-β π ∴-2≤ 2 <2. π α-β ∴-2≤ 2 <0. α-β 又∵α<β,∴ 2 <0.

1. 如何将实际问题中的不等关系表示成不等式(组).

2.利用性质证明不等式比较两代数(式)的大小.

3.利用不等式的性质求取值范围。

课后练习

课后习题


搜索更多“3.1《不等式与不等关系》课件”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com