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第七章 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质


第七章

直线、 第五节 直线、平面垂直的判定及其性质 课下练兵场
命 题 报 告 容易题 (题号 题号) 题号 1、2 、 中等题 (题号 题号) 题号 4、6[文] 、 文 5、11、12[理] 、 、 理 3 8、10 、 6[理]、9[理] 理、 理 9[文] 文 稍难题 (题号 题号) 题号

难度及题号 知识点 线面垂直的判定与性质 面面垂直的判定与性质 平行、 平行、垂直关系 的综合运用

一、选择题 1.若 a,b 为两条不同的直线,α,β 为两个不同的平面,则下列命题正确的是 . , 为两条不同的直线, , 为两个不同的平面,则下列命题正确的是( A.若 a∥α,b∥α,则 a∥b . ∥ , ∥ , ∥ B.若 a∥α,a∥b,则 b∥α . ∥ , ∥ , ∥ C.若 a∥α,a?β,α∩β=b,则 a∥b . ∥ , ? , ∩ = , ∥ D.若 α⊥β,α∩β=b,a⊥b,则 a⊥β . ⊥ , ∩ = , ⊥ , ⊥ 解析:平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定, 解析:平行于同一平面的两条直线的位置关系不确定,故 A 错;选项 B 忽略了 b?α ? 的情况, 的位置关系不确定, 显然正确. 的情况,故 B 错;选项 D 中 a 与 β 的位置关系不确定,故 D 错;选项 C 显然正确. 答案: 答案:C 2.若 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是 . 、 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( . A.若 α∥β,m⊥α,则 m⊥β . ∥ , ⊥ , ⊥ B.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α . ∥ , ⊥ , ⊥ C.若 m∥α,m⊥β,则 α⊥β . ∥ , ⊥ , ⊥ D.若 α∩β=m,n 与 α、β 所成的角相等,则 m⊥n . ∩ = , 、 所成的角相等, ⊥ 解析: 平行时, 解析:选项 A、B、C 容易判定,对于选项 D,当直线 m 与 n 平行时,直线 m 与两平 、 、 容易判定, , 不正确. 面 α、β 所成的角也相等均为 0°,故 D 不正确. 、 , 答案: 答案:D 3.已知 a,b 为两条直线,α,β 为两个平面,下列四个命题 . , 为两条直线, , 为两个平面, ①a∥b,a∥α?b∥α; ∥ , ∥ ? ∥ ; ③a∥α,β∥α?a∥β; ∥ , ∥ ? ∥ ; 其中不 其中不正确的有 . ②a⊥b,a⊥α?b∥α; ⊥ , ⊥ ? ∥ ; ④a⊥α,β⊥α?a∥β, ⊥ , ⊥ ? ∥ , ( ) ) )

A.1 个 .

B.2 个 .

C.3 个 .

D.4 个 .

解析:对于① 不正确.对于③ 解析:对于①、②结论中还可能 b?α,所以①、②不正确.对于③、④结论中还可能 ? ,所以① a?β,所以③、④不正确. ? ,所以③ 不正确. 答案:D 答案: 4.已知 m 是平面 α 的一条斜线,点 A?α,l 为过点 A 的一条动直线,那么下列情形可能 . 的一条斜线, 的一条动直线, ? , 出现的是 A.l∥m,l⊥α .∥ ,⊥ C.l⊥m,l∥α .⊥ ,∥ B.l⊥m,l⊥α .⊥ ,⊥ D.l∥m,l∥α .∥ ,∥ ( )

解析: 无公共点时, ⊥ , ∥ 解析:设 m 在平面 α 内的射影为 n,当 l⊥n 且与 α 无公共点时,l⊥m,l∥α. , ⊥ 答案: 答案:C 5.如图,在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论 .如图, 的中点, - 、 、 、 、 不成立的是 . A.BC∥平面 PDF . ∥ B.DF⊥平面 PAE . ⊥ C.平面 PDF⊥平面 PAE . ⊥ D.平面 PDE⊥平面 ABC . ⊥ 解析: 解析:因 BC∥DF,所以 BC∥平面 PDF,A 成立; ∥ , ∥ , 成立; 易证 BC⊥平面 PAE,BC∥DF,所以结论 B、C 均成立; ⊥ , ∥ ,所以结论 、 均成立; 内的射影为△ 的中心, 不成立. 点 P 在底面 ABC 内的射影为△ABC 的中心,不在中位线 DE 上,故结论 D 不成立. 答案: 答案:D 6.[理](2009·江西高考 如图,正四面体 ABCD 的顶点 A,B,C 分别在两两垂直的三条射 .理 江西高考)如图 江西高考 如图, , , 则在下列命题中, 线 Ox,Oy,Oz 上,则在下列命题中,错误的为 , , A.O-ABC 是正三棱锥 . - B.直线 OB∥平面 ACD . ∥ C.直线 AD 与 OB 所成的角是 45° . D.二面角 D-OB-A 为 45° . - - 解析: 为正四面体, 解析:①如图 ABCD 为正四面体, ∴△ABC 为等边三角形, 为等边三角形, ∴△ 两两垂直, 又∵OA、OB、OC 两两垂直, 、 、 ∴OA⊥面 OBC,∴OA⊥BC, ⊥ , ⊥ , 的垂线, 过 O 作底面 ABC 的垂线,垂足为 N, , 连结 AN 交 BC 于 M, , ( ) ( )

由三垂线定理可知 BC⊥AM, ⊥ , 中点, ∴M 为 BC 中点, 同理可证, 中点, 同理可证,连结 CN 交 AB 于 P,则 P 为 AB 中点, , 为底面△ 中心, ∴N 为底面△ABC 中心, 是正三棱锥, 正确. ∴O-ABC 是正三棱锥,故 A 正确. - 放入正方体中,如图所示, 不平行. ②将正四面体 ABCD 放入正方体中,如图所示,显然 OB 与平面 ACD 不平行.

答案: 答案:B [文](2009·浙江高考 设 α、 是两个不同的平面, 是一条直线, 文 浙江高考)设 、 是两个不同的平面, 是一条直线, β l 以下命题正确的是( 浙江高考 以下命题正确的是 A.若 l⊥α,α⊥β,则 l?β . ⊥ , ⊥ , ? C.若 l⊥α,α∥β,则 l⊥β . ⊥ , ∥ , ⊥ B.若 l∥α,α∥β,则 l?β . ∥ , ∥ , ? D.若 l∥α,α⊥β,则 l⊥β . ∥ , ⊥ , ⊥ )

解析:对于 A、B、D 均可能出现 l∥β. 解析: 、 、 ∥ 答案: 答案:C 二、填空题 7.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD, .如图所示, - ⊥ , 且底面各边都相等, 上的一动点, 满足________时, 且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足 时 只要填写一个你认为是正确的条件即可) 平面 MBD⊥平面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可 ⊥ 只要填写一个你认为是正确的条件即可 解析:由定理可知, ⊥ 解析:由定理可知,BD⊥PC. ∴当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD, ⊥ 或 ⊥ 时 ⊥ , 而 PC?平面 PCD,∴平面 MBD⊥平面 PCD. ? , ⊥ 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC 等) 答案: ⊥ 或 ⊥ 8.(2009·江苏高考 设 α 和 β 为不重合的两个平面,给出下列命题: . 江苏高考)设 为不重合的两个平面,给出下列命题: 江苏高考 (1)若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; 若 内的两条直线, ; (2)若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; 若 内的一条直线平行, 平行; (3)设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; 设 内有一条直线垂直于 , 垂直; , (4)直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 直线 内的两条直线垂直. 上面命题中,真命题的序号是 上面命题中,真命题的序号是________. .

解析: α内两条相交直线分别平行于平面β 则两条相交直线确定的平面α 解析:(1)α内两条相交直线分别平行于平面β,则两条相交直线确定的平面α平行于 平面β 正确. 平面β,正确. (2)平面α外一条直线 l 与α内的一条直线平行,则 l 平行于α,正确. 平面α 内的一条直线平行, 平行于α 正确. 平面 (3)如图,α∩β=l,a?α,a⊥l,但不一定有α⊥β,错误. 如图, , ? , ⊥ ,但不一定有α 错误. 如图 (4)直线 l 与α垂直的充分必要条件是 l 与α内的两条相交直线垂直, 直线 内的两条相交直线垂直, 而该命题缺少 交” “ 两字,故为假命题. 两字,故为假命题. 综上所述,真命题的序号为 综上所述,真命题的序号为(1)(2). . 答案: 答案:(1)(2) 9.[理](2009·浙江高考 如图,在长方形 ABCD 中,AB=2,BC=1,E 为 DC 的中点,F .理 浙江高考)如图 的中点, 浙江高考 如图, = , = , 端点除外)上一动点 折起, 为线段 EC(端点除外 上一动点.现将△AFD 沿 AF 折起,使平面 ABD⊥平面 ABC.在 端点除外 上一动点.现将△ ⊥ 在 的取值范围是________. 平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB,K 为垂足.设 AK=t,则 t 的取值范围是 ⊥ , 为垂足. =, .

解析: 如图, D 作 DG⊥AF, 过 ∵ 解析: 如图, ⊥ , 垂足为 G, , 连接 GK, 平面 ABD ⊥平面 ABC,又 DK⊥AB, , ⊥ , ∴DK⊥平面 ABC, ⊥ , ∴DK⊥AF. ⊥ ∴AF⊥平面 DKG,∴AF⊥GK. ⊥ , ⊥ 容易得到, 点时, 的中点, 点时, 容易得到,当 F 接近 E 点时,K 接近 AB 的中点,当 F 接近 C 点时,K 接近 AB 的四 等分点. 等分点. 的取值范围是( ∴t 的取值范围是

1 ,1). . 2

答案: 答案:(

1 ,1) 2

[文](2010·南通模拟 已知 m、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合 文 ·南通模拟)已知 、 是两条不重合的直线, 的平面,给出下列命题: 的平面,给出下列命题: ①若 m∥β,n∥β,m、n?α,则α∥β; ∥ ∥ 、 ? , ②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m,n?γ,则 m⊥n; , ⊥ ; ③若 m⊥α,α⊥β,m∥n,则 n∥β; ⊥ ④若 n∥α,n∥β,α∩β=m,那么 m∥n. ∥ , 其中所有正确命题的序号是 .

解析:命题①需加上条件: 为相交直线才能成立.命题③ 解析:命题①需加上条件:m 与 n 为相交直线才能成立.命题③中还有 n?β 的情况, ? 的情况, 通过证明命题② 通过证明命题②、④正确. 正确.

答案: 答案:②④ 三、解答题 10.(2009·天津模拟 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,AB=5, . 天津模拟)如图 天津模拟 如图, - = , = , 3 cos∠BAC= . ∠ =5 (1)求证:BC⊥AC1; 求证: ⊥ 求证 (2)若 D 是 AB 的中点,求证:AC1∥平面 CDB1. 若 的中点,求证: 证明: ∵ 证明:(1)∵在△ABC 中,AC=3,AB=5, = , = , 3 cos∠BAC= , ∠ =5 ∴BC2=AB2+AC2-2AB·AC· · · 3 cos∠BAC=25+9-2×5×3× =16. ∠ = + - × × ×5 ∴BC=4,∠ACB=90°, = , = , ∴BC⊥AC, ⊥ , ∵BC⊥CC1,AC∩CC1=C, ⊥ ∩ , ∴BC⊥平面 ACC1A1, ⊥ ∵AC1?平面 ACC1A1, ∴BC⊥AC1. ⊥ (2)连结 BC1 交 B1C 于 M,则 M 为 BC1 的中点, 连结 的中点, , 连结 DM,则 DM∥AC1, , ∥ ∵DM?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ? ∴AC1∥平面 CDB1. 11.(2010·福州质检 下面一组图形为三棱锥 P-ABC 的底面与三个侧面.已知 AB⊥BC, . 福州质检)下面 的底面与三个侧面. 福州质检 下面一组图形为三棱锥 - ⊥ , PA⊥AB,PA⊥AC. ⊥ , ⊥

(1)写出三棱锥 P-ABC 中的所有的线面垂直关系 不要求证明 ; 写出三棱锥 - 中的所有的线面垂直关系(不要求证明 不要求证明); (2)在三棱锥 P-ABC 中,求证:平面 ABC⊥平面 PAB; 在三棱锥 - 求证: ⊥ ; (3)在三棱锥 P-ABC 中, 是 PA 的中点, PA=BC=3, =4, 在三棱锥 - M 的中点, AB= , 且 = = , 求三棱锥 P-MBC - 的体积. 的体积. 如图, 解:(1)如图,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC, 如图 ⊥ , BC⊥平面 PAB. ⊥ (2)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AC, 证明: 证明 ⊥ , ⊥ ,

AB∩AC=A, ∩ , ∴PA⊥平面 ABC, ⊥ , 又∵PA?平面 ABP ? ∴平面 ABC⊥平面 PAB ⊥ (3)法一:∵PA=3,M 是 PA 的中点,∴MA= 法一: 的中点, 法一 , 又∵AB=4,BC=3. , ∴VM-ABC=

3 . 2

1 1 1 3 S△ABC·MA= × ×4×3× =3 × × 3 3 2 2 1 1 1 S△ABC·PA= × ×4×3×3=6, × × , 3 3 2

又 VP-ABC=

∴VP-MBC=VP-ABC-VM-ABC=6-3=3. 法二: 的中点, 法二:∵PA=3,AB=4,M 是 PA 的中点, , , ∴S△PBM=

1 1 1 S△PAB= × ×3×4=3. × 2 2 2

又∵BC⊥平面 PAB,且 BC=3, ⊥ , , ∴VP-MBC=VC-PBM=

1 1 S△PBM·BC= ×3×3=3. × 3 3

12.[理]四棱锥 S-ABCD 的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=SB=SC . 理 四棱锥 - 的底面是直角梯形, = = , = = = =2CD=2,侧面 SBC⊥底面 ABCD. = , ⊥ (1)由 SA 的中点 E 作底面的垂线 EH,试确定垂足 H 的位置; 由 的位置; , (2)求二面角 E-BC-A 的正切值. 求二面角 - - 的正切值. 解:(1)作 SO⊥BC 于 O,则 SO?平面 SBC, 作 ⊥ , ? , 又平面 SBC⊥底面 ABCD, ⊥ , 平面 SBC∩平面 ABCD=BC, ∩ , ∴SO⊥底面 ABCD.① ⊥ ① 又 SO?平面 SAO, ? , ∴平面 SAO⊥底面 ABCD. ⊥ 作 EH⊥AO, ⊥ , ∴EH⊥平面 ABCD,② ⊥ , 为垂足, ①②知 即 H 为垂足,由①②知,EH∥SO. ∥ 的中点, 的中点. 又 E 为 SA 的中点,∴H 是 AO 的中点. (2)过 H 作 HF⊥BC 于 F,连 EF, 过 ⊥ , , 由(1)知 EH⊥平面 ABCD,∴EH⊥BC. 知 ⊥ , ⊥ ∴BC⊥平面 EFH.∴BC⊥EF. ⊥ ∴ ⊥

∴∠HFE 为面 EBC 和底面 ABCD 所成二面角的平面角. 所成二面角的平面角. ∴∠ 在等边△ 中点. 在等边△SBC 中,∵SO⊥BC,∴O 为 BC 中点. ⊥ ,
2 2 又 BC=2,∴SO= 2 -1 = 3, = , = ,

3 1 1 EH= SO= ,又 HF= AB=1, = =2 = , 2 =2 3 EH 2 3 ∴在 Rt△EHF 中,tan∠HFE=HF= 1 = 2 . △ ∠ = 3 ∴二面角 E-BC-A 的正切值为 2 . - - [文](2010·江苏苏北三市模拟 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、G 分别是 文 江苏苏北三市模拟)如图 江苏苏北三市模拟 如图, - 、 、 A1A,D1C,AD 的中点.求证: 的中点.求证: , ,

(1)MN∥平面 ABCD; ∥ ; (2)MN⊥平面 B1BG. ⊥ 证明: 取 证明:(1)取 CD 的中点记为 E,连结 NE,AE. , , 由 N,E 分别为 CD1 与 CD 的中点可得 , NE∥D1D 且 NE= ∥

1 D1D, , 2 1 D1D, , 2

又 AM∥D1D 且 AM= ∥

为平行四边形, 所以 AM∥EN 且 AM=EN,即四边形 AMNE 为平行四边形, ∥ , 所以 MN∥AE, ∥ 又 AE?平面 ABCD,所以 MN∥平面 ABCD. ? , ∥ (2)由 AG=DE,∠BAG=∠ADE=90°,DA=AB 由 , ∠ ° 可得△ ≌△GAB. 可得△EDA≌△ ≌△ 所以∠ 所以∠AGB=∠AED, ∠ , 又∠DAE+∠AED=90°, ∠ ° 所以∠ 所以∠DAE+∠AGB=90°, ∠ ° 所以 AE⊥BG, ⊥ , , ⊥ , 又 BB1⊥AE,所以 AE⊥平面 B1BG, 又 MN∥AE,所以 MN⊥平面 B1BG. ∥ , ⊥


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