伤城文章网 > 数学 > 2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件 文

2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件 文


第八章 平面解析几何

第三节

圆的方程

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.圆的定义与方程 (1)圆的定义

在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆。
(2)圆的方程
2+(y-b)2=r2(r>0) ( x - a ) ______________________ 标准方程

r 圆心 (a,b) ,半径___
? D E? ?- ,- ? 2? ? 2 圆心___________

一般方程

x +y +Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0)

2

2

1 半径 D2+E2-4F 2

2.点与圆的位置关系 (1)确定方法:比较点与圆心的距离与半径的大小关系。 (2)三种关系:

圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0)。
①(x0-a)2+(y0-b)2=r2?点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2 ?点在圆外; ②________________ (x0-a)2+(y0-b)2<r2 ?点在圆内。 ③________________

基 础 自 测
[判一判]

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径。( √

)

解析 正确。根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径。 (2)方程(x- a)2+(y-b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的一个

圆。( × )
解析 错误。方程(x-a)2+(y-b)2=t2中,当t>0时才表示圆心为(a, b),半径为t的一个圆。

(3)方程x2+y2+4mx-2y=0不一定表示圆。( × ) 解析 错误。方程x2+ y2+4mx-2y=0可化为(x+2m)2+(y-1)2=4m2 +1,由于4m2+1>0,所以此方程一定表示圆。 (4)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则x+y+Dx0+Ey0+ F>0。( √ 解析 ) 正确。若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则必有x+

y+Dx0+Ey0+F>0成立。

[练一练] 1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是( )

A.(2,3)
C.(-2,-3) 解析 -3)。 答案 D

B.(-2,3)
D.(2,-3)

圆的方程可化为(x-2)2+(y+3)2=13,所以圆心坐标是(2,

2.方程 x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0 表示圆,则 a 的取值范围是 ( ) 2 A.a<-2 或 a>3 C.-2<a<0 2 B.-3<a<0 2 D.-2<a< 3

解析 方程表示圆,则 a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0, 2 ∴-2<a< 。 3 答案 D

3 .若点 (1,1) 在圆 (x - a)2 + (y + a)2 = 4 的内部,则实数 a 的取值范围是 ( )

A.-1<a<1
C.a>1或a<-1

B.0<a<1
D.a=±1

解析 ∵点(1,1)在圆的内部, ∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1。 答案 A

4.若圆C的半径为1,其圆心与点P(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的 x2+(y-1)2=1 标准方程为__________________ 。

解析

因为圆C的圆心与点 P(1,0)关于直线 y=x对称,所以圆C的圆心

坐标为(0,1),且圆C的半径为1,所以所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=1。

5 . 经 过 三 点 (2 , - 1) 、 (5,0) 、 (6,1) 的 圆 的 一 般 方 程 为 x2+y2-4x-8y-5=0 ________________________ 。

解析 设所求方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 2 +?-1? +2D-E+F=0, D=-4, ? ? ? 2 2 ? 则?5 +0 +5D+0+F=0, 解得?E=-8, ? ? ?62+12+6D+E+F=0, ?F=-5,
2 2

故所求圆的一般方程为 x2+y2-4x-8y-5=0。

R

热点命题

深度剖析

考点一

求圆的方程

x2 y2 【例 1】 (1)(2015· 课标全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆 + =1 的三个顶 16 4 ? 3?2 2 25 ?x- ? +y = 2? 4 。 点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为_______________ ?
【解析】 由条件知圆经过椭圆的三个顶点分别为(4,0),(0,2),(0,- 3 2),设圆心为(a,0)(a>0),所以 ?a-0?2+?0-2?2=4-a,解得 a= ,故圆 2
?3 ? 3 5 ? 3?2 2 25 ? ? ? 心为 ,0 , 此时半径 r=4- = , 因此该圆的标准方程是 x- ? + y = 。 2 2 2 2? 4 ? ? ?

(2)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴
2+(y-1)2=4 ( x - 2) 所得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为____________________。

【解析】 因为圆心在直线 x-2y=0 上,且圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 3,所以可设圆心坐标为(2a,a),则(2a)2=a2+ ( 3)2,解得 a=± 1。又圆 C 与 y 轴的正半轴相切,所以 a=1,故圆 C 的标准方程为(x- 2)2+ (y-1)2 =4。

【规律方法】 求圆的方程的两种方法 (1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出

方程。
(2)待定系数法: ①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已

知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;
②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据 已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值。

变式训练 1 (1)(2015· 课标全国卷Ⅱ)过三点 A(1,3),B(4,2),C(1,-7) 的圆交 y 轴于 M,N 两点,则|MN|=( A.2 6 C.4 6 B.8 D.10 )

解析 (1)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,将 点 A,B,C 代入,得 D+3E+F+10=0, D=-2, ? ? ? ? ?4D+2E+F+20=0, 解得 ?E=4, ? ? ?D-7E+F+50=0, ?F=-20。 则圆的方程为 x2+y2-2x+4y-20=0。 令 x=0 得 y2+4y-20=0, 设 M(0,y1),N(0,y2),则 y1,y2 是方程 y2+4y-20=0 的两根, 由根与系数的关系,得 y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2| = ?y1+y2?2-4y1y2= 16+80=4 6。 答案 C

(2)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为 (x-3)2+y2=2 。 _______________

解析 解法一:由已知 kAB=0,所以 AB 的中垂线方程为 x=3。① 过 B 点且垂直于直线 x-y-1=0 的直线方程为 y-1=-(x-2),即 x +y-3=0,②
?x=3, 联立①②,解得? ?y=0,

所 以 圆 心 坐 标 为 (3,0) , 半 径 r =

?4-3?2+?1-0?2= 2, 所以圆 C 的方程为(x-3)2+y2=2。

解法二:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),
??4-a?2+?1-b?2=r2, ∵点 A(4,1),B(2,1)在圆上,故? 2 2 2 ??2-a? +?1-b? =r ,

b-1 又∵ =-1,解得 a=3,b=0,r= 2, a-2 故所求圆的方程为(x-3)2+y2=2。

考点二

与圆有关的最值问题

与圆有关的最值问题是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式 出现,试题难度不大,多为容易题、中档题,且主要有以下几个命题角 度:

角度一:斜率型最值问题

y 1.(2016· 渭南模拟)已知实数 x,y 满足方程 x +y -4x+1=0,则x的
2 2

- 3 。 3 ,最小值为________ 最大值为________

解析 原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 3为半径的 圆。 y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, y 所以设x=k,即 y=kx。

|2k-0| 当直线 y=kx 与圆相切时, 斜率 k 取最大值或最小值, 此时 2 = 3, k +1 解得 k=± 3。 y (如图)所以x的最大值为 3, 最小值为- 3。

角度二:截距型最值问题 2.(2016· 郑州模拟)已知实数 x,y 满足 x2+y2=4(y≥0),则 m= 3x+ y 的取值范围是( A.(-2 3,4) C.[-4,4] ) B.[-2 3,4] D.[-4,2 3]

解析 由于 y≥0,所以 x2+y2=4(y≥0)为上半圆。 3x+y-m=0 是直线(如图),且斜率为- 3,在 y 轴上截距为 m,又当直线过点(-2,0) 时,m=-2 3,

? ? ? ?m≥-2 3, 所以? 即?|-m| ? d ≤ r ? ≤2。 ? ? 2
解得 m∈[-2 3,4],选 B。

m≥-2 3,

答案 B

角度三:距离型最值问题 3.(2016·广州模拟)设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x -5)2+(y+4)2的最大值为( A .6 C.26 ) B.25 D.36

解析 因为圆(x-2)2+y2=1 的圆心坐标为(2,0),该圆心到点(5,- 4)的距离为 ?2-5?2+?0+4?2=5,所以圆(x-2)2+y2=1 上的点到(5,- 4)距离的最大值为 6,即(x-5)2+(y+4)2 的最大值为 36。 答案 D

角度四:利用转化求最值 4.已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 P 是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点, 则△PAB 面积的最大值与最小值分别是( 1 A.2, (4- 5) 2 1 1 B.2(4+ 5),2(4- 5) C. 5,4- 5 1 1 D. ( 5+2), ( 5-2) 2 2 )

4 解析 如图,圆心(1,0)到直线 AB:2x-y+2=0 的距离为 d= , 5 4 4 故圆上的点 P 到直线 AB 的距离的最大值是 +1,最小值是 -1,又 5 5 5 5 |AB|= 5,故△PAB 面积的最大值和最小值分别是 2+ ,2- 。 2 2

答案

B

【规律方法】 与圆有关的最值问题,常见的有以下几种类型: y-b (1)形如 μ= 形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; x-a
(2)形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;

(3)形如(x-a)2+(y-b)2 形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离 的平方的最值问题。

考点三

与圆有关的轨迹问题
已知圆x2+y2=4上一定点A(2,0),B(1,1)为圆内一点,P,Q

【例2】

为圆上的动点。

(1)求线段AP中点的轨迹方程;
【解】 -2,2y)。 设AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式可知,P点坐标为(2x

因为P点在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1。

(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ中点的轨迹方程。 【解】 设PQ的中点为N(x,y)。 在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|。

设 O 为坐标原点,连接 ON ,则 ON⊥PQ ,所以 |OP|2 = |ON|2 + |PN|2 =
|ON|2+|BN|2, 所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4。

故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0。

【规律方法】

求与圆有关的轨迹问题时,根据题设条件的不同常采

用以下方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法, 根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代 入法,找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式等。

变式训练 2

设定点 M( -3,4) ,动点 N 在圆 x2 + y2 =4 上运动,以 OM 、

ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹。

?x y ? 解 如图所示, 设 P(x,y),N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为?2,2?, ? ?

?x0-3 y0+4? 线段 MN 的中点坐标为? , 2 ?。由于 2 ? ?

平行四边形的对角线互相平分,
?x0=x+3, x x0-3 y y0+4 故 = , = 。从而? 2 2 2 2 ?y0=y-4。

N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4。 因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,
? 9 12? ? 21 28? 但应除去两点?-5, 5 ?和?- 5 , 5 ?(点 P 在直线 OM 上时的情况)。 ? ? ? ?

S

思想方法

感悟提升

⊙1个条件——二元二次方程表示圆的充要条件

二元二次方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的充要条件是 D2 + E2 -
4F>0。 ⊙2种方法——求圆的方程的两种方法

(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出
方程。 (2)待定系数法:若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准

方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值。
⊙3个性质——确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且垂直切线的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。


搜索更多“2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.3 圆的方程课件 文”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com