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千题百炼——高中数学100个热点问题(三):第89炼 比赛与闯关问题


第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

第 89 炼 比赛与闯关问题
一、基础知识: 1、常见的比赛规则 (1) n 局 m 胜制:这种规则的特点为一旦某方获得 m 次胜利即终止比赛。所以若比赛提前 结束,则一定在最后一次比赛中某方达到 m 胜。 例如: 甲, 乙两队举行排球比赛, 比赛采取 5 局 3 胜制, 已知甲获胜的概率为 获胜的概率:
3 解:本题不能认为“四局中甲赢得三局” ,从而 P ? C4 ? ? ? ??

2 , 求甲以 3 :1 3

? 2? ?1? ? 3 ? ? 3?

3

32 ,因为如果前三局连 81

胜,则结束比赛而不会开始第四局,所以若比分为 3 :1 ,则第四局甲获胜,前三局的比分为

? 2 ? ? 1 ? ? 2 ? 24 2 :1 ,所以 P ? C ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? 81
2 3

2

(2)连胜制:规定某方连胜 m 场即终止比赛,所以若提前结束比赛,则最后 m 场连胜且之 前没有达到 m 场连胜。 例如:甲,乙两队举行比赛,比赛共有 7 局,若有一方连胜 3 局,则比赛立即终止。已知甲 获胜的概率为

3 ,求甲在第 5 局终止比赛并获胜的概率 4

解:若第 5 局比赛结束,根据连胜三局终止比赛的规则,可知甲在第 3,4,5 局获胜,且第二 局失败(否则若第二局获胜,则第四局就达到三连胜) ,第一局无论胜负不影响获胜结果。

27 ? 1? ? 3? 所以 P ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 256
(3)比分差距制:规定某方比对方多 m 分即终止比赛,此时首先根据比赛局数确定比分, 在得分过程中要注意使两方的分差小于 m (4) “一票否决制” :在比赛的过程中,如果在某一阶段失败,则被淘汰。此类问题要注意 若达到第 m 阶段,则意味着前 ? m ? 1? 个阶段均能通关 2、解答此类题目的技巧: (1)善于引入变量表示事件:可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利” 。例 如: Ai 表示“第 i 局比赛胜利” ,则 Ai 表示“第 i 局比赛失败” 。 (2)善于使用对立事件求概率:若所求事件含情况较多,可以考虑求对立事件的概率,再

3

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

用 P ? A? ? 1 ? P A 解出所求事件概率。在处理离散性随机变量分布列时,也可利用概率 和为 1 的特点,先求出包含情况较少的事件的概率,再间接求出包含情况较多的事件概率 二、典型例题: 例 1:某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,回答问题正确者进入下一轮考核,否则 即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手被淘汰的概率; (2)记该选手在考核中回答问题的个数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与数学期望. (1)思路:依题可知,比赛规则为:只要打错一个即被淘汰,如果从问题的正面考虑,则 要考虑到是第几轮被淘汰,情况较多。但此问题的反面为“答对所有问题” ,概率易于表示, 所以考虑利用对立事件进行求解 设 Ai 为“选手正确回答第 i 轮问题” ,事件 A 为“选手被淘汰”

? ?

4 3 2 , , ,且各 5 5 5

? P ? A ? ? 1 ? P A ? 1 ? P ? A1 A2 A3 ? ? 1 ?

? ?

4 3 2 101 ? ? ? 5 5 5 125

(2) 思路:? 可取的值为 1, 2,3 , 可知若想多答题, 则需要前面的问题均要答对, 所以 ? ? 1 时, 则第一题答错;? ? 2 时, 则第一题答对且第二题答错 (若第二题答对则需要答第三题) ;

? ? 3 时,则第一题答对且第二题答对(第三题无论是否正确,均已答三题) ,分别求出概
率即可 解: ? 可取的值为 1, 2,3

P ?? ? 1? ?

1 5 4 3 12 P ?? ? 3? ? ? ? 5 5 25

P ?? ? 2 ? ?

4 2 8 ? ? 5 5 25

? ? 的分布列为

?
P

1

2

3

1 5

8 25

12 25

1 8 12 57 ? E? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 5 25 25 25

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

例 2:某区要进行中学生篮球对抗赛,为争夺最后一个小组赛名额,甲、乙、丙三支篮球队 要进行比赛,根据规则:每两支队伍之间都要比赛一场;每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分, 没有平局,获得第一名的将夺得这个参赛名额.已知乙队胜丙队的概率为 一名的概率为

1 ,甲队获得第 5

1 1 ,乙队获得第一名的概率为 . 6 15

(1)求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 P 1 , P2 ; (2)设在该次比赛中,甲队得分为 X ,求 X 的分布列及期望. (1)思路:解决 P 1 , P2 要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名,

1 ;若乙队第一名,则乙战胜甲且战胜丙,即 6 1 1 2 1 ?1 ? P1 ? ? ? ,两个方程即可解出 P1 ? , P2 ? 5 15 3 4 1 解:设事件 A 为“甲队获第一名” ,则 P ? A ? ? PP 1 2 ? 6 1 1 ? 设事件 B 为“乙队获第一名” ,则 P ? B ? ? ?1 ? P 1?? 5 15 2 1 , P2 ? ? 解得: P 1 ? 3 4
则甲战胜乙且战胜丙,即 P 1P 2 ? (2)思路:依题意可知 X 可取的值为 0,3,6 , X ? 0 即两战全负; X ? 3 即一胜一负,要 分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论; X ? 6 即两战全胜;分别求出概率即可。

X 可取的值为 0,3,6

? P ? X ? 0 ? ? ?1 ? P 1 ??1 ? P 2? ?

1 4 7 12

P ? X ? 3? ? P 1 ?1 ? P 2 ? ? ?1 ? P 1?P 2 ? P ? X ? 6 ? ? PP 1 2 ?
? X 的分布列为

1 6

X
P

0

3

6

1 4
1 7 1 11 ? 3? ? 6 ? ? 4 12 6 4

7 12

1 6

? EX ? 0 ?

例 3:甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制,每场必须分出胜负,场与场之间互不 影响,只要有一队获胜 4 场就结束比赛.现已比赛了 4 场,且甲篮球队胜 3 场.已知甲球队

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

第 5,6 场获胜的概率均为

3 2 ,但由于体力原因,第 7 场获胜的概率为 . 5 5

(1)求甲队分别以 4 : 2 , 4 : 3 获胜的概率; (2)设 X 表示决出冠军时比赛的场数,求 X 的分布列及数学期望. (1)思路:前四场比赛甲乙比分为 3 :1 ,根据 7 场 4 胜制可知,甲再赢一场比赛立刻结束, 所以要想获得 4 : 2 , 4 : 3 ,必须在甲赢一场之前,乙获得比分。所以若比分为 4 : 2 ,则第 5 场乙胜,第 6 场甲胜;若比分为 4 : 3 ,则第 5,6 场均乙胜,第 7 场甲胜,用概率的乘法即可 求出两个比分的概率 解:设事件 Ai 为“甲队在第 i 场获胜” ,则 P ? A5 ? ? P ? A6 ? ?

3 2 , P ? A7 ? ? 5 5 2 2 2 8 ? ? ? 5 5 5 125

设事件 A 为“甲队 4:2 获胜” ,事件 B 为“甲队 4:3 获胜”

? P ? A ? ? P A5 A6 ?

?

?

2 3 6 ? ? 5 5 25

P ? B ? ? P A5 A6 A7 ?

?

?

(2) 思路: 比赛的场数取决于甲是否取胜, 所以 X 可取的值为 5,6,7 , 若X ?5, 则甲 4 :1 获胜,即胜第五场;若 X ? 6 则甲 4 : 2 获胜,即乙胜第五场,甲胜第六场;若 X ? 7 ,则 只需前六场打成 3 : 3 即可,所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望 比赛场数 X 可取的值为 5,6,7

? P ? X ? 5 ? ? P ? A5 ? ?

3 5 2 2 4 ? ? 5 5 25

P ? X ? 6 ? ? P A5 A6 ?

?

?

6 25

P ? X ? 7 ? ? P A5 A6 ?
? X 的分布列为

?

?

X
P

5

6

7

3 5

6 25

4 25

3 6 4 139 ? EX ? 5 ? ? 6 ? ? 7? ? 5 25 25 25
例 4:甲、乙两人对弈棋局,甲胜、乙胜、和棋的概率都是

1 ,规定有一方累计 2 胜或者累 3

计 2 和时,棋局结束。棋局结束时,若是累计两和的情形,则宣布甲乙都获得冠军;若一方 累计 2 胜,则宣布该方获得冠军,另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为 X. (1)设事件 A : “ X ? 3 且甲获得冠军” ,求 A 的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望。

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

(1)思路:事件 A 代表“对弈 3 局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜,且前两场为一胜 一和或一胜一负(胜负先后顺序均可) 。按照这几种情况找到对应概率相乘即可 解:设事件 Ai 为“甲在第 i 局取胜” ,事件 B j 为“第 j 局和棋” , 事件 Ck 为“乙在第 k 局取胜”

? P ? A? ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? P B1 B2 B3 ? P B1B2 B3
1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 8 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 27

?

? ?

? ?

? ?

?

(2)思路:依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛,所以最多进行 4 次比赛,最少 进行 2 次比赛, 故 X 可取的值为 2,3, 4 ; 在这些值中 X ? 2, X ? 4 包含情况较少,X ? 2 即 为相同的结果出现两次,以甲为研究对象,则情况分为“两胜” , “两负” , “两和”三种情况。

2 3 1 1 1 X ? 4 即为前三场“胜负和”均经历一次,所以概率 P ? X ? 4 ? ? A3 ? ? ? ? 。对于 3 3 3 9
X ?3 的情况,由于种类较多 ,所以利用分布列概率和为 1 的性质用

1 ? P ? X ? 2? ? P ? X ? 4? 进行计算
X 可取的值为 2,3, 4

1 1 1 1 1 1 1 P ? X ? 2 ? ? P ? A1 A2 ? ? P ? B1B2 ? ? P ? C1C2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 2 3 1 1 1 P ? X ? 4 ? ? A3 ? ? ? ? 3 3 3 9 4 P ? X ? 3? ? 1 ? P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 4 ? ? 9
? X 的分布列为

X
P

2

3

4

1 3

4 9

2 9

1 4 2 26 ? EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 9 9 9
小炼有话说:在随机变量所取的值中,如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算,那么 可以考虑先计算出其他取值的概率,再用 1 减去其他概率即可 例 5:某电视台举办的闯关节目共有五关,只有通过五关才能获得奖金,规定前三关若有失 败即结束, 后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会 (后两关总共只有一

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

次机会) ,已知某人前三关每关通过的概率都是 (1)求该人获得奖金的概率

2 1 ,后两关每关通过的概率都是 3 2

(2)设该人通过的关数为 X ,求随机变量 X 的分布列及数学期望 (1)思路:若该人获得奖金,则前三关必须通过,后两关可以通过,或者只有一次未通过, 借助机会再次通过。分别计算概率再相加即可 解:设事件 Ai 为“第 i 关通过” ,事件 A 为“获得奖金”

? P ? A? ? P ? A1 A2 A3 A4 A5 ? ? P A1 A2 A3 A4 A4 A5 ? P A1 A2 A3 A4 A5 A5

?

? ?

?

?2? ?? ? ? 3?

3

?1? ?2? ?? ? ? ? ? ? 2? ? 3?

2

3

? 1? ? 1? ? 1? ? 2? ?? ??? ??? ? ? ? ? ? 2? ? 2? ? 2? ? 3?

3

? 1? ? 1? ? 1? 4 ?? ? ?? ? ?? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 27

(2)思路:依题意可知 X 的取值为 0,1,2,3,4,5 ,其中前三关失败即结束,所以 X ? 0 为 第一关失利; X ? 1 为第一关通过且第二关失利; X ? 2 为第二关通过且第三关失利;

X ? 3 为第三关通过且第四关失利两次;X ? 4 为第四关通过且第五关失利两次;X ? 5 为
五关全部通过获得奖金(即第一问的结果) ,其中由于 X ? 4 情况较为复杂,所以考虑利用

1? ? ? P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 3? ? P ? X ? 5? ? ? 进行处理

X 的取值为 0,1,2,3,4,5
? P ? X ? 0 ? ? P A1 ?

? ?

1 3

P ? X ? 1? ? P A1 A2 ?
2 2 1 4 ? ? ? 3 3 3 27

?

?

2 1 2 ? ? 3 3 9

P ? X ? 2 ? ? P A1 A2 A3 ?

?

?

2 ?2? ?1? P ? X ? 3? ? P A1 A2 A3 A4 A4 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 2 ? 27
P ? X ? 5? ? P ? A? ? 4 27 2 27

?

?

3

2

? P ? X ? 4? ? 1 ? ? ? P ? X ? 0 ? ? P ? X ? 1? ? P ? X ? 2 ? ? P ? X ? 3? ? P ? X ? 5? ? ??

? X 的分布列为:
?
P

0

1

2

3

4

5

1 2 4 2 3 9 27 27 1 2 4 2 2 4 16 ? EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3? ? 4? ? 5? ? 3 9 27 27 27 27 9

2 27

4 27

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

例 6::袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 。现有甲、乙两 7

人从袋中轮流、不放回地摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取??直到袋中的球取完即 终止。若摸出白球,则记 2 分,若摸出黑球,则记 1 分。每个球在每一次被取出的机会是等 可能的。用 ? 表示甲,乙最终得分差的绝对值. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 ? 的概率分布列及期望 E? (1)思路:可先设白球个数为 n ,已知事件“两球都是白球”的概率,可用古典概型进行 表示,进而得到关于 n 的方程,解出 n ? 3 解:设袋中原有白球的个数为 n ,事件 A 为“取出两个白球”
2 Cn 1 2 ? P ? A? ? 2 ? ? Cn ? 3 可解得 n ? 3 C7 7

(2)思路:尽管题目描述上是甲,乙轮流取球,但进一步分析可发现在取球过程中,一个 人的取球结果并不影响下一个人的取球,且所求随机变量为取球完成后,两人结果的比较。 所以只需关注甲,乙最后取到的球的个数即可。由(1)可知袋中有 4 个黑球,3 个白球, 甲先取球,所以甲取到 4 个球,甲取球的结果可以是:4 黑,1 白 3 黑,2 白 2 黑,3 白 1 黑,对应的分数为 4 分, 5 分, 6 分, 7 分,剩下的球属于乙,所以乙对应的情况为 3 白, 2 白 1 黑,1 白 2 黑,3 黑,分数为 6 分, 5 分, 4 分, 3 分。所以甲乙分数差的绝对值 ? 可 取的值为 0,2,4 ,再分别求出概率即可。

? 可取的值为 0,2,4
P ?? ? 0 ? ?
3 1 C4 ? C3 12 ? 4 C7 35

P ?? ? 2 ? ?

4 2 C4 ?C4 ? C 32 19 ? 4 C7 35

1 3 C4 ? C3 4 P ?? ? 4 ? ? ? 4 C7 35

故 ? 的分布列为:

?
P

0

2

4

12 35

19 35

4 35

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

? E? ? 200 ?

12 19 4 54 ? 2? ? 4? ? 35 35 35 35

小炼有话说: (1)本题第(2)问的亮点在于,分析过程的特点后,直接从结果入手,去分 析两人所得球的情况,忽略取球的过程,从而大大简化概率的计算 (2)本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果,所以在计算概率时以甲的取球结果为 研究对象。 例 7:某校举行中学生“珍爱地球·保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部 分,初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行;每位选手最多有 5 次答题机会,选 手累计答对 3 题或答错 3 题即终止比赛, 答对 3 题者直接进入复赛, 答错 3 题者则被淘汰. 已 知选手甲答对每个题的概率均为

3 ,且相互间没有影响. 4

(1)求选手甲进入复赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为 X ,试求 X 的分布列和数学期望. (1)思路:若甲能进入复赛,则要答对三道题,但因为答对 3 题后立即终止比赛,所以要 通过最后一次答题正确进入复赛。答题的次数为 3 次,4 次,5 次,答题 3 次即为全对,答
2 题 4 次,则要在前 3 次答对 2 题,即 C3 ? ? ? ? ,然后第 4 题正确进入复赛;同理,答

?3? ?1? ? 4? ? 4?
2 2 4

2

?3? ?1? 题 5 次时,要在前 4 次中答对 2 题,即 C ? ? ? ? ,然后第 5 题正确。 ?4? ?4?
解:设事件 A 为“甲进入复赛”

2

459 ?3? ? 3? ?1? 3 2? 3? ? 1? ? 3? ? P ? A? ? ? ? ? C32 ? ? ? ? ? ? C4 ? ? ? ? ? ?? ?4? ? 4? ? 4? 4 ? 4 ? ? 4 ? ? 4 ? 512
(2)思路:首先甲最少答 3 题,最多答 5 题,故 X 可取的值为 3, 4,5 ,要注意答题结束分 为进入复赛和淘汰两种情况。当甲答 3 道题时,可能全对或全错;同理甲答 4 道题时,可能 3 对 1 错或是 3 错 1 对;当甲答 5 道题时,只要前 4 题 2 对 2 错,无论第 5 题结果如何,均 答了 5 道题。分别计算对应概率即可得到 X 的分布列,从而计算出 EX 解: X 可取的值为 3, 4,5

3

2

2

2

? 3 ? ? 1 ? 10 5 P ? X ? 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 64 32

3

3

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

? 3 ? ? 1 ?? 3 ? ? 1 ? ? 3 ?? 1 ? 45 P ? X ? 4? ? C ? ? ? ?? ? ? C32 ? ? ? ?? ? ? ? 4 ? ? 4 ?? 4 ? ? 4 ? ? 4 ?? 4 ? 128
2 3

2

2

27 ? 3? ?1? P ? X ? 5? ? C ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 4 ? 128
2 4

2

2

? X 的分布列为

X
P

3

4

5

5 32
5 45 27 483 ? 4? ? 5? ? 32 128 128 128
n?k

45 128

27 128

? EX ? 3 ?

小炼有话说:本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解:对于
k k Pk ? Cn p ?1 ? p ?

,是指在 n 次独立重复试验中,没有其它要求,事件 A 发生 k 次的概

k 率。 其中 Cn 代表 n 次中的任意 k 次试验的结果是 A 。 如果对 k 次试验的结果有一定的要求,

则不能使用公式。例如本题在第(1)问中处理答题 4 次的时候,因为要在第 4 次答题正确, 对前 3 次答题没有要求,所以在前 3 次试验中可使用公式计算,而第 4 次要单独列出。若直
3 接用 C4 ?

?3? ?1? ? ? ? 则意味着只需 4 次答题正确 3 次(不要求是哪 3 道正确)即可,那么包含 ?4? ?4?

3

着前 3 次正确的情况,那么按要求就不会进行第 4 题了。 例 8:甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 结果相互独立. (1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; (2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求 X 的分布列和期望. (1)思路:依题意可知获胜的要求是连胜 2 场,所以可分 2 局,3 局,4 局三种情况,通过 后两场连胜赢得比赛,其余各场按“胜负交替”进行排列 解:设 Ai 为“甲在第 i 局获胜” ,事件 A 为“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”

2 1 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛 3 3

? P ? A ? ? P ? A1 A2 ? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P ? A1 A2 A3 A4 ?

?

2 2 1 2 2 2 1 2 2 56 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 81

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

(2)思路:首先依题意能确定 X 可取的值为 2,3,4,5 ,若提前结束比赛,则按(1)的想法, 除了最后两场要连胜(或连败) ,其余各场应“胜负交替” 。在每个事件中要分甲获胜和乙获 胜两种情况进行讨论 解: X 可取的值为 2,3,4,5

? 2? ?1? 5 P ? X ? 2? ? P ? A1 A2 ? ? P A1 A2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 3? 9 1 ? 2? 2 ?1? 6 2 P ? X ? 3? ? P A1 A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 27 9 2 1 ? 2 ? 1 2 ? 1 ? 10 P ? X ? 4? ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 81
P ? X ? 5 ? ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ?
? X 的分布列为:

?

?

2

2

?

? ?

?

2

2

?

? ?

?

2

2

?

? ?

?

2 1 2 1 1 2 1 2 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 3 3 3 3 3 3 3 81

X
P

2

3

4

5

2 9 5 2 10 8 224 ? EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 9 9 81 81 81

5 9

10 81

8 81

例 9:甲乙两人进行象棋比赛,规定:每次胜者得 1 分,负者得 0 分;当其中一人的得分比 另一人的得分多 2 分时则赢得这场比赛,此时比赛结束;同时规定比赛的次数最多不超过 6 次, 即经 6 次比赛, 得分多者赢得比赛, 得分相等为和局。 已知每次比赛甲获胜的概率为 乙获胜的概率为

2 , 3

1 ,假定各次比赛相互独立,比赛经 ? 次结束,求: 3

(1) ? ? 2 的概率; (2)随机变量ξ 的分布列及数学期望。 (1)思路: ? ? 2 代表比赛经过 2 次就结束,说明甲连胜两局或者乙连胜两局,进而可计 算出概率 解:设事件 Ai 为“甲在第 i 局获胜”

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

? 2? ?1? 5 ? P ?? ? 2 ? ? P ? A1 A2 ? ? P A1 A2 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3? 9
(2) 思路: 考虑 ? 可取的值只能是 2, 4,6(因为奇数局不会产生多赢 2 分的情况) , 当? ? 4 时,即甲乙比分为 3 :1 或是 1: 3 (在第 4 局完成多两分) ,所以只能是在前两局打成 1 : 1 , 然后一方连赢两局结束比赛。计算出 P ?? ? 2? , P ?? ? 4? ,即可求出 P ?? ? 6? 解: ? 可取的值为 2, 4,6

?

?

2

2

P ?? ? 2 ? ?

5 9

P ?? ? 4 ? ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4 ? P A1 A2 A3 A4
2 2 2 2

?

? ?

? ?

? ?

?

2 1 ? 2 ? 2 1 ? 1 ? 1 2 ? 2 ? 1 2 ? 1 ? 20 = ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 3 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 81
P ?? ? 6 ? ? 1 ? P ?? ? 2 ? ? P ?? ? 4 ? ? 16 81

? ? 的分布列为:

?
P

2

4

6

5 9

20 81

16 81

? E? ? 2 ?

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81 2 1 ,否则其获胜的概率为 3 2

例 10:某学校在一次运动会上,将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛,比赛实行 三局两胜制.已知每局比赛中,若甲先发球,其获胜的概率为

(1)若在第一局比赛中采用掷硬币的方式决定谁先发球,试求甲在此局获胜的概率; (2)若第一局由乙先发球,以后每局由负方先发球.规定胜一局记 2 分,负一局记 0 分,记

? 为比赛结束时甲的得分,求随机变量 ? 的分布列及数学期望 E? .
(1)思路:本题甲获胜的概率取决于谁先发球,即为发球权确定的前提下的条件概率。若 甲获得发球权, 则获胜的概率为 所以甲获胜的概率为

1 2 1 1 1 1 ? ? , 如果甲没有发球权, 则获胜的概率为 ? ? , 2 3 3 2 2 4

1 1 7 ? ? 3 4 12

解:设事件 A 为“甲获得胜利”

第十一章

第 89 炼 比赛与闯关问题

概率与随机变量

? P ? A? ?

1 2 1 1 7 ? ? ? ? 2 3 2 2 12

(2)思路:本题要注意发球权的不同,所使用的概率也不一样,所以要确定每一局的胜负 以决定下一局甲获胜的概率。比赛实行三局两胜,所以甲可能的得分为 4,2,0 ,若甲的得分 为 4 分,则为连胜两局结束比赛或 2:1 赢得比赛,胜利的情况分为“甲甲” , “甲乙甲” , “乙 甲甲”三种情况,结合着发球规则可得: P ?? ? 4 ? ? 次类推便可计算出其它情况的概率,进而得到分布列 解: ? 可取的值为 4,2,0

1 1 1 1 2 1 2 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ? ,依 2 2 2 2 3 2 3 2 12

? ? 4 时,比赛的结果为: “甲甲” , “甲乙甲” , “乙甲甲”
? P ?? ? 4 ? ? 1 1 1 1 2 1 2 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 3 2 3 2 12

? ? 2 时,比赛的结果为: “乙甲乙” , “甲乙乙”
? P ?? ? 2 ? ? 1 2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 2 3 2 2 2 3 4

? ? 0 时,比赛的结果为: “乙乙”
? P ?? ? 0 ? ? 1 1 1 ? ? 2 3 6

? ? 的分布列为:

?
P

0

2

4

1 6 1 1 7 17 ? E ?? ? ? 0 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 6 4 12 6

1 4

7 12


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