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七校联合体2016届高二级联考理科数学参考答案


七校联合体 2016 届高二级联考试卷
理科数学评分标准
一、选择题 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.
题号 答案 1 D 2 A 3 B 4 D 5 C 6 B 7 B 8 A 9 D 10 C

二、填空题 本大题共 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分. ? 11. 11 12. 13. 16 14.①④ 6 三、解答题 本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.
15.解析: (1)由题意得, T ?

2?

?

? 6 ,…………………2 分

因为 P(1, A) 在 y ? A sin( 又因为 0 ? ? ?

?

3

?
2

x ? ? ) 的图象上,所以 sin( ? ? ) ? 1 ,…………………3 分 3 3

?

,所以 ? ?

?

6

.…………………5 分

(2)设点 Q 的坐标为 ( x0 , ? A) ,…………………6 分 由题意可知

?
3

x0 ?

?
6

?

3? ,得,所以 Q(4, ? A) ,………7 分 2

(注:也可以根据周期求出 Q 点坐标) 连接 PQ ,在 ?PRQ 中, ?PRQ ?

2? ,…………………8 分 3

RP2 ? RQ2 ? PQ2 A2 ? 9 ? A2 ? (9 ? 4 A2 ) 1 由余弦定理得 cos ?PRQ ? ? ? ? ,………10 分 2 2RP ? RQ 2 2A? 9 ? A
解得 A ? 3 ,又 A ? 0 ,所以 A ? 3 .…………………12 分
2

16.解析: (1)频率分布表:

(2)频率分布直方图:

(3)由频率分布直方图可知,前 4 个长方形的面积和为

2 1 4 6 13 ? ? ? ? , 30 30 30 30 30

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理科数学评分标准



10 1 13 x ? ? ,解得 x ? 2 ,所以空气污染指数的中位数为 83 .…………………12 分 300 2 30

(注:第(1)问 4 分;第(2)问 6 分;第(3)问 2 分;满分 12 分. ) 17.解析: (1)由题意得,圆心 C (0, ?2) ,半径 r ? 5 . 当 ? ? 135 时,直线 AB 的斜率 k ? tan135 ? ?1 , …………………2 分

∴直线 AB 的方程为: y ? 3 ? ?( x ? 3) ,即 x ? y ? 6 ? 0 , ∴圆心 C 到直线 AB 的距离为: d ?

|0?2?6| ? 2 2 ,…………………4 分 2

由垂径定理得, | AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2 25 ? 8 ? 2 17 .…………………6 分 (2)法 1:设点 P 的坐标为 ( x, y ) , 若 P 、 M 、 C 三点不共线时,则 | CM | ?| MP | ? | CP | ,
2 2 2

…………………7 分 …………………9 分

即 10 ? ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? x ? ( y ? 2) ,
2 2 2 2

化简得, x ? y ? 3x ? 5 y ? 6 ? 0 .
2 2

(*)
2 2

…………………11 分

若 P 、 M 重合时,即 P(?3, ?3) ,则 (?3) ? (?3) ? 9 ?15 ? 6 ? 9 ? 9 ? 9 ?15 ? 6 ? 0 也满足 上述方程(*) .
2 2

……………12 分

若 P 、 C 重合时,即 P(0, ?2) ,则 0 ? (?2) ? 0 ?10 ? 6 ? 0 也满足上述方程(*) . …13 分 综上所述,点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 3x ? 5 y ? 6 ? 0 (或 ( x ? ) ? ( y ? ) ?
2 2

3 2

5 2

5 ) .14 分 2

法 2:设点 P 的坐标为 ( x, y ) , 当 x ? 0 且 x ? ?3 时,由题意有, CP ? AB ,则 kCP ? k AB ? ?1 ,

…………………7 分 …………………9 分

y?2 y?3 , k AB ? k PM ? , x x?3 y ?2 y ?3 ? ? ?1 ,化简得, x2 ? y 2 ? 3x ? 5 y ? 6 ? 0 , ∴ x x?3
又 kCP ?

(*)

……………11 分

当 x ? 0 或 x ? ?3 时,点 P(0, ?3) 或 P(0, ?2) 或 P(?3, ?2) 或 P(?3, ?3) 均满足方程.13 分 所以点 P 的轨迹方程为 x ? y ? 3x ? 5 y ? 6 ? 0 .
2 2

…………………14 分 …………………7 分

法 3:设点 P 的坐标为 ( x, y ) ,
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由题意有, CP ? MP ,则 CP ? MP ? 0 , ∵ CP ? ( x, y ? 2) , MP ? ( x ? 3, y ? 3) , ∴ x( x ? 3) ? ( y ? 2)( y ? 3) ? 0 ,化简得 x2 ? y 2 ? 3x ? 5 y ? 6 ? 0 , 所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? y 2 ? 3x ? 5 y ? 6 ? 0 . 18.解析:方法 1: (综合法) (1)设 O 为 AC 中点,连结 EO, BO ,则 EO // CC1 ,且 EO ? 又 CC1 // BB1 ,且 CC1 ? BB1 , ∴ EO // BD ,且 EO ? BD ,即四边形 EOBD 为平行四边形, ∴ ED // OB ,………3 分 ∵ AA1 ? 底面 ABC , OB ? 底面 ABC ,∴ AA 1 ? OB ,………4 分 ∵ AB ? BC , O 为 AC 中点, ∴ OB ? AC ,又 AC

…………………9 分 …………………10 分 ………………13 分 …………………14 分

1 CC1 ,………1 分 2

C1 A1

B1 D E F B A

AA1 ? A ,………5 分
C

∴ OB ? 平面 ACC1 A1 ,故 DE ? 平面 ACC1 A1 .………6 分

O

E 作 EF ? AD ,垂足为 F ,连结 A1F .……7 分 (2)连结 A 1E ,过点
由 AA 1 为正方形,则 A 1 E ? AC1 , 1 ? AC ? 2 AB 可知 ACC1 A ∵ DE ? 平面 ACC1 A1 ,又 A1E ? 平面 ACC1 A1 , ∴ A1E ? DE ,又 AC1

DE ? E ,
……………9 分

∴ A1E ? 平面 ADC1 ,又 AD ? 平面 ADC1 , ∴ A1E ? AD ,又 EF ? AD , A1E

EF ? E ,

∴ AD ? 平面 A 1EF ,又 A 1EF , 1 F ? 平面 A ∴ A1F ? AD , ∴ ?A 1 ? AD ? C1 的平面角. 1FE 为二面角 A ……………11 分 ……………12 分

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理科数学评分标准

AC ? 2 , AB ? 2 , ED ? OB ? 1 , EF ? 不妨设 AA 1 ? 2 ,则
∴ tan ?A1 FE ?

AE ? ED 2 , ? AD 3

A1 E ? 3, EF
……………14 分

所以二面角 A1 ? AD ? C1 的大小为 60 . 方法 2: (坐标法)

(1)设 O 为 AC 中点,由 AB ? BC 知 OB ? AC ,以 OA, OB, OE 为正交基底建立如图的空间直角 坐标系 O ? xyz , 设 A(a,0,0) , B(0, b, 0) , E (0, 0, c) ,则 A 1 (a,0, 2c) , D(0, b, c) , ∴ OA ? (a,0,0) , AA 1 ? (0,0,2c) , ED ? (0, b,0) , ∴ OA ? ED ? 0 , AA 1 ? ED ? 0 , ∴ ED ? OA , ED ? AA1 ,又 OA 故 ED ? 平面 ACC1 A1 . (2)由 AA 1 ? AC ? 2 AB 不妨设 A(1, 0, 0) , 则 B(0,1, 0) , C (?1, 0, 0) , E (0, 0,1) , A 1 (1,0, 2) , D(0,1,1) , ∴ BC ? (?1, ?1,0) , AB ? (?1,1,0) , AA 1 ? (0,0, 2) , C1 z B1 A1 D E y B A x

AA1 ? A ,

C

O

BC ? AB , BC ? AA1 ,又 AB ∴ BC ? AB ? 0 , BC ? AA 1 ? 0 ,即
∴ BC ? 平面 A 1 AD ,故平面 A 1 AD 的法向量可取 BC ? (?1, ?1,0) . 又 EC ? (?1,0, ?1) , AE ? (?1,0,1) , ED ? (0,1,0) , ∴ EC ? AE ? 0 , EC ? ED ? 0 ,即 EC ? AE , EC ? ED ,又 AE ∴ EC ? 平面 C1 AD ,故平面 C1 AD 的法向量可取 EC ? (?1,0, ?1) . ∵ cos ? EC, BC ??

AA1 ? A ,

ED ? E ,

EC ? BC 1 1 ? ? , | EC || BC | 2? 2 2

∴所以二面角 A1 ? AD ? C1 的大小为 60 .……………14 分

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19.解析: (1)由 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? N? . ① 3 3 3 4 1 2 得 a1 ? S1 ? a1 ? ? 4 ? ,∴ a1 ? 2 . 3 3 3 4 1 n 2 当 n ? 2 时, S n ?1 ? a n ?1 ? ? 2 ? , ② ……………2 分 3 3 3 4 1 n ?1 n 将①和②相减得, an ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ) ? ? (2 ? 2 ) , 3 3
整理得, an ? 2n ? 4(an?1 ? 2n?1 ) , ……………4 分

n 因而数列 an ? 2 是首项为 a1 ? 2 ? 4 ,公比为 4 的等比数列,即 an ? 2n ? 4 ? 4n?1 ? 4n ,

?

?

所以 an ? 4n ? 2n , n ? N . (2)将 an ? 4n ? 2n 代入①得,

?

……………6 分

4 1 2 1 2 Sn ? ? (4n ? 2n ) ? ? 2n ?1 ? ? ? (2n ?1 ? 1)(2n ?1 ? 2) ? ? (2 n ?1 ? 1)(2 n ? 1) , 3 3 3 3 3
所以 Tn ?
n

…8 分

2n 3 2n 3 ? 1 1 ? ? ? n?1 ? ?? n ? n?1 ? , n Sn 2 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 2 ?1 2 ?1 ?
3 1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 ? 1 1 ? n?1 ) 2 ?1 2 ?1
n

……………11 分

所以

?T ? 2 ? ( 2
i ?1 i

1

3 1 1 3 ? ?( 1 ? n ?1 ) ? . 2 2 ?1 2 ?1 2
20.解析: (1)方法 1:由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) , 因 M 在抛物线 C2 上,故 x02 ? 4 y0 , 又 | MF1 |? ①

……………14 分

5 5 ,则 y0 ? 1 ? , ②, 3 3 2 2 6 , y0 ? . 3 3
……………4 分

由①②解得 x0 ? ?

椭圆 C1 的两个焦点 F1 (0,1) , F2 (0, ?1) ,点 M 椭圆上, 由椭圆定义得 2a ?| MF1 | ? | MF2 |? (?

2 6 2 2 6 2 ? 0)2 ? ( ?1)2 ? (? ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? 4 , 3 3 3 3
y 2 x2 ? ? 1 . ……………6 分 4 3

2 2 2 ∴ a ? 2 ,又 c ? 1 ,∴ b ? a ? c ? 3 ,∴椭圆 C1 的方程为

方法 2:由 C2 : x2 ? 4 y 知 F1 (0,1) ,设 M ( x0 , y0 )( x0 ? 0) ,
第5页 共6页 理科数学评分标准

因 M 在抛物线 C2 上,故 x02 ? 4 y0 , 又 | MF1 |?



5 5 ,则 y0 ? 1 ? , 3 3

② y ……………4 分 M F1 O B F

2 2 6 由①②解得 x0 ? ? , y0 ? . 3 3

·
A x

2 2 6 2 ( )2 ( ) 4 8 ? 1 ,即 2 ? 2 ? 1 , 而点 M 椭圆上,故有 3 2 ? 32 a b 9a 3b
又 c ? 1 ,则 b ? a ? 1,
2 2 2

③ E

· F
2



第 20 题图

由③④可解得 a ? 4 , b ? 3 ,∴椭圆 C1 的方程为
2

y x ? ? 1. 4 3

2

2

……………6 分

(2)由题,直线 AB 的方程为

x y ? ? 1,即 2x ? 3 y ? 2 3 ? 0 , 3 2

……………7 分

设 E( x1 , kx1 ), F ( x2 , kx2 ) ,其中 x1 ? x2 . 将 y ? kx 代入

12 y 2 x2 2 3 ? ? 1 中,可得 x 2 ? 2 ,即 x2 ? ? x1 ? , 3k ? 4 4 3 3k 2 ? 4

………8 分

点 E 到直线 AB 的距离为 d1 ?

2 x1 ? 3kx1 ? 2 3 7

?

2 3(2 ? 3k ? 3k 2 ? 4) 7(3k 2 ? 4)
?



同理,可得点 F 到直线 AB 的距离为 d 2 ?

2 x2 ? 3kx2 ? 2 3 7

2 3(2 ? 3k ? 3k 2 ? 4) 7(3k 2 ? 4)



………………10 分 又 AB ?

4?3 ? 7 ,
1 2 3(2 ? 3k ) . AB ? (d1 ? d2 ) ? 2 3k 2 ? 4
……………12 分

所以四边形 AEBF 面积 S ?

12(3k 2 ? 4 ? 4 3k ) 4 3k ? 12(1 ? 2 ) ? 12 ? (1 ? 1) ? 24 , 从而 S ? 2 3k ? 4 3k ? 4
2

当且仅当 2 ? 3k ,即 k ?

2 3 时,等号成立. 3
……………14 分
理科数学评分标准

此时四边形面积的最大值为 Smax ? 2 6 .
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