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2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国2卷理)全解全析


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2009 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷 理科数学
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 一、选择题 1、

10i =( ) 2i A、 2 + 4i
答案:A。 解法 1:

B、 2 4i

C、 2 + 4i

D、 2 4i

10i 10i (2 + i ) 20i 10 = = = 2 + 4i 。 2 i (2 i )(2 + i ) 4 +1

2、设集合 A = {x | x > 3} , B = {x | A、 答案:B。 解法 1:因为 B = {x | 所以 A ∩ B = (3, 4) 。 3、已知 △ ABC 中, cot A = A、 B、 (3, 4)

x 1 < 0} ,则 A ∩ B = ( x4
C、 (2,1) D、 (4, +∞)



x 1 < 0} = {x | ( x 1)( x 4) < 0} = (1, 4) 。 x4

12 13

12 ,则 cos A = ( 5 5 5 12 B、 C、 D、 13 13 13



答案:D。

12 5 12 , < A<π , 0 所以 cos A < 0 。 cos A = 若 , sin A = 则 , 5 13 13 5 12 cot A = ,所以 cos A = 。 B 12 13
解法 1: 因为 cot A = 解法 2:三角形法。先计算数值,再确定正负号。 如右图,在 Rt △ ABC 中,其中 ∠C = 90 。令 AC = 12t , C A

BC = 5t ,则 cot A =

所以 cos A < 0 。故选 D。 4、曲线 y =

AC 12 AC 12 = , cos A = = ,由于 cot A < 0 ,所以 ∠A 为钝角, BC 5 AB 13
) D. x 4 y 5 = 0

x 在点 (1,1) 处的切线方程为( 2x 1

A. x y 2 = 0 B. x + y 2 = 0 C. x + 4 y 5 = 0
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答案:B。 解法 1:因为 f ( x ) =

x (2 x 1) 2 x 1 ,所以 f ′( x ) = , = 2 2x 1 (2 x 1) (2 x 1)2

所以 f ′(1) =

1 = 1 ,故选 B。 (2 1) 2

E 则异面直线 BE 与 CD1 5、 已知正四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中,AA1 = 2 AB , 为 AA1 中点, 所成角的余弦值为( A. ) B.

10 10

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

答案:C。 解法 1: 先画出图像, 再连接 A1 B , ∠A1 BE 就是异面直线 BE 与 CD1 所成的角。 AB = 1 , 则 设

A1 B 2 + BE 2 A1 E 2 5 + 2 1 3 10 则 cos ∠A1 BE = = = 。 2 A1 B BE 10 2 5 2
6、已知向量 a = (2,1) , a b = 10 , a + b = 5 2 ,则 b = ( A. 5 答案:C。 解法 1:因为 a + b = 5 2 ,所以 a + 2a b + b = 50 。 因为 a = (2,1) ,所以 a = 解法 2:设 b = ( x, y ) ,则
2 2



B. 10

C.5

D.25

5 ,又因为 a b = 10 ,所以 b = 25 ,故选 C。

2

a b = 10 2 x + y = 10 , 2 2 2 a + b = 50 (2 + x) + (1 + y ) = 50
解得

x = 3 x = 5 或者 ,所以 b = 5 。故选 C。 y = 4 y = 0
3 , c = log 3 2 ,则(
) D. b > c > a

7、设 a = log 3 π , b = log 2 A. a > b > c 答案:A。

B. a > c > b

C. b > a > c

解法 1:因为 log3 π > log 3 3 = 1 = log 2 2 > log 2 3 > log 2 2 = 1 = log 3 3 > log 3 2 , 2 所以 a > b > c 。
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8、若将函数 y = tan(ω x +

π
4

)(ω > 0) 的图像向右平移

π
6

个单位长度后,与函数 ) D.

y = tan(ω x + ) 的图像重合,则 ω 的最小值为( 6 1 1 1 A. B. C. 6 4 3
答案:D。 解法 1:因为 y = tan(ω x +

π

1 2

π
4

) = tan ω ( x +

π π 1 所以 x + = x+ ,解得 ω = 。 6 4ω 6ω 2 π 解法 2:设函数 y = tan(ω x + )(ω > 0) 的图像上任一点为 P ( x, y ) ,将点 P ( x, y ) 向右
4

π

π π π ) , y = tan(ω x + ) = tan ω ( x + ) , 4ω 6 6ω

π π x1 = x + 平移 个单位长度后得到点 Q ( x1 , y1 ) ,根据平移公式有 6 ,将点 Q( x + , y ) 代 6 6 y1 = y
π
入函数 y = tan(ω x +

π

π π π π ) ,对比函数 y = tan(ω x + ) ,可知 ω ( x + ) + = ω x + ,解得 6 4 6 6 4

ω=

1 。 2

9、已知直线 y = k ( x + 2) ( k > 0) 与抛物线 C : y 2 = 8 x 相交于A、B 两点,F 为 C 的焦点, 若 FA = 2 FB ,则 k = ( )

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

答案:D。 解法 1:设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,根据题意知 F (2, 0) 。 因为 FA = 2 FB ,所以 x1 + 2 = 2( x2 + 2) ,即 x1 = 2 x2 + 2 。 将直线 y = k ( x + 2) 方程代入抛物线 C : y 2 = 8 x 方程得: x + (4
2

8 )x + 4 = 0 。 k2

因为 x1 x2 = 4 ,所以 x2 + x2 2 = 0 ,所以 x2 = 1 。
2

因为 x1 + x2 =

2 2 8 8 4 ,所以 3 x2 + 2 = 2 4 ,所以 k = 。 2 3 k k

10.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有( ) A.6 种 B.12 种 C.30 种 D.36 种 答案:C。
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解法 1: C4 C4 C4 = 30 。
2 2 2

11.已知双曲线 C :

x2 y2 = 1 (a > 0, b > 0) 的右焦点为 F,过 F 且斜率为 3 的直线交 C a2 b2


于 A、B 两点,若 AF = 4 FB ,则 C 的离心率为( A.

6 5

B.

7 5

C.

8 5

D.

9 5

答案:A。 解法 1:设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,根据题意知 F (c, 0) 。 因为 AF = 4 FB ,所以 y1 = 4 y2 ,即 y1 = 4 y2 。 将直线方程 y = 3( x c) 代入双曲线 C :

x2 y2 = 1 方程得: a2 b2

b2 2b 2 c 2 2 y + b 2 c 2 a 2b 2 = 0 , ( a )y + 3 3

2b 2 c 2b 2 c 2b 2 c 3 ,所以 3 y = 3 ,即 y = 因为 y1 + y2 = 。 2 2 b2 b2 3 3a 2 3b 2 2 2 a a 3 3
因为 y1 y2 =

b 2 c 2 a 2b 2 b4 b4 3b 4 2 = 2 ,所以 4 y2 = 2 = 2 。 b2 b b b 3a 2 2 2 2 a a a 3 3 3
4 2 2 4

将上式代入下式,并整理得: 144a 136a c + 25c = 0 , 两边同时除以 a 得: 25e 136e + 144 = 0 ,
4 4 2

解得 e =

6 ,或 e = 2 。 5
3a ,则直线与双曲线的一支渐近线平行,故舍去

当 e = 2 时,即 c = 2a ,所以 b =

e = 2。
综上, e =

6 。 5

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、 北。现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到 右侧的平面图形,则标“ ”的面的方位是( ) A.南 B.北 C.西 D.下
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上 东

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答案:B。 解法 1:找一硬纸片,剪成该图形,表上相应的文字或符号,之后折叠成正方体,观察 即可。

第Ⅱ卷
本卷共 10 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题卡上相应位置的 横线上. 13. ( x y y x ) 的展开式中 x y 的系数为
4
3 3



答案:6。 解法 1:因为 Tk +1 = C4 x
k 4 k 1

y2

(4 k )

(1) k y k x 2
3 3

1

k

k = (1)k C4 x

1 4 k 2

y

1 2+ k 2



当 k = 2 时,有 T3 = ( 1) C4 x y = 6 x y 。
2 2 3 3

14.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn 。若 a5 = 5a3 ,则 答案:9。

S9 = S5



解法 1:基本量法。因为 a5 = 5a3 ,即 a1 + 4d = 5( a1 + 2d ) ,所以 2a1 + 3d = 0 。

S9 9a1 + 36d 18a1 + 72d 9(2a1 + 3d ) + 45d = = = =9。 S5 5a1 + 10d 10a1 + 20d 5(2a1 + 3d ) + 5d
15.设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45 角的平面截球 O 的表面 得到圆 C。若圆 C 的面积等于 答案: 8π 。 解法 1:

7π ,则球 O 的表面积等于 4



16.已知 AC、BD 为圆 O : x 2 + y 2 = 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M (1, 2) ,则四边形 ABCD 的面积的最大值为 。 答案:5. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答过程写在答题卡的相应位置。 17. (本小题满分 10 分) 设 △ ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为a、b、c, cos( A C ) + cos B =

3 , 2

b 2 = ac ,求 B。
解法 1:由 cos( A C ) + cos B =

3 及 B = π ( A + C) 得 2

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cos( A C ) cos( A + C ) =

3 , 2 3 , 2

cos A cos C + sin A sin C (cos A cos C sin A sin C ) = sin A sin C =
2

3 4

…………………………………………………………3 分
2

又由 b = ac 及正弦定理得 sin B = sin A sin C , 故 sin B =
2

…………………5 分

3 , 4
………………………………8 分

sin B =
于是 B =
2

3 3 , sin B = (舍去) , 2 2

π
3

或者 B =

2π 。 3

又由 b = ac 知 b ≤ a 或者 b ≤ c , 所 以

B=

π
3



……………………………………………

…………………10 分 18. (本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC A1 B1C1 中, ⊥ AC , E 分别为 AA1 、 AB D、

B1C 的中点, DE ⊥ 平面BCC1 .
(Ⅰ)证明: AB = AC ; (Ⅱ)设二面角 A BD C 为 60 ,求 B1C 与平面 BCD 所成 的角的大小. 解法 1: (Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF 连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF 又 DE ⊥ 平面BCC1 ,故 AF ⊥ 平面BCC , 1 从而 AF ⊥ BC ,及 AF 为 BC 的垂直平分线, 所以 AB = AC 。 …………………………………………5 分 (Ⅱ)作 AG ⊥ BD ,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG ⊥ BD ,故 ∠AGC 为二面 角 A-BD-C 的平面角。由题设知, ∠AGC = 60 。 设 AC = 2 ,则 AG =

1 B1 B ,从而 EF DA 。 2

DE 。……2 分

2 。又 AB = 2 , BC = 2 2 ,故 AF = 2 。 3
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由 AB AD = AG BD 得 2 AD =

2 3

AD 2 + 2 2 ,解得 AD = 2 ,
…………8 分

故 AD = AF 。又 AD ⊥ AF ,所以四边形 ADEF 为正方形。

因为 BC ⊥ AF , BC ⊥ AD , AF ∩ AD = A ,故 BC ⊥ 平面DEF ,因此

平面BCD ⊥ 平面DEF 。
连接 AE、DF,设 AE ∩ DF = H ,则 EH ⊥ DF , EH ⊥ 平面BCD 。 连接 CH,则 ∠ECH 为 B1C 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形, AD =

2 ,故 EH = 1 ,又 EC =

1 B1C = 2 , 2
………………12 分

所以 ∠ECH = 30 ,即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30 。 解法二:

(Ⅰ) A 为坐标原点, 以 射线 AB 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示的直角坐标系 A xyz 。 设 B (1, 0, 0) , C (0, b, 0) , D (0, 0, c ) , 则 B1 (1, 0, 2c ) , E ( , , c ) 。

1 b ……2 分 2 2 1 b 于是 DE = ( , , 0) , BC = ( 1, b, 0) 。 2 2

由 DE ⊥ 平面BCC1 知 DE ⊥ BC ,

DE BC = 0 ,求得 b = 1 ,所以 AB = AC 。

………………………………5 分

(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 AN = ( x, y , z ) ,则 AN BC = 0 , AN BD = 0 。 又 BC = ( 1,1, 0) , BD = ( 1, 0, c ) , 故

x + y = 0, …………………………………………………………………………8 分 x + cz = 0.
令 x = 1 ,则 y = 1 , z =

1 1 , AN = (1,1, ) 。 c c

又平面 ABD 的法向量 AC = (0,1, 0) 。 由二面角 A BD C 为 60 知, < AN , AC >= 60 , 故 AN = (1,1, 2) , CB1 = (1, 1, 2) ,
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cos < AN , CB1 >=

AN CB1 AN CB1

=

1 , 2

< AN , CB1 >= 60 。
所以 B1C 余平面 BCD 所成的角为 30 。…………………………………………12 分 19. (本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 = 1 , S n +1 = 4an + 2 . (Ⅰ)设 bn = an +1 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式. 解法 1: (Ⅰ)由已知有 a1 + a2 = 4a1 + 2 ,解得 a2 = 3a1 + 2 = 5 ,故 b1 = a2 2a1 = 3 。 又 an + 2 = S n + 2 S n +1 = 4an +1 + 2 (4an + 2) = 4an +1 4an , 于是 an + 2 2an +1 = 2( an +1 2an ) ,即 bn +1 = 2bn 。 因此数列 {bn } 是首项为 3,公比为 2 的等比数列。 ……………………6 分 ……4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知等比数列 {bn } 中 b1 = 3 ,公比 q = 2 , 所以 于是

an +1 2an = 3 × 2n 1 ,

………………………………………8 分

an +1 an 3 = , 2n +1 2n 4 a 1 3 因此数列 { n } 是首项为 ,公差为 的等差数列, n 2 2 4 an 1 3 3 1 = + (n 1) × = n , 2n 2 4 4 4
n 2

所以 an = (3n 1) 2



……………………………………………12 分

20. (本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人, 其中有 4 名女工人, 乙组有 5 名工人, 其中有 3 名女工人. 现 采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技 术考核。 (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)记 ξ 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ξ 的分布列及数学期望. 解法 1:
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(Ⅰ)由于甲组有 10 名工人,乙组有 5 名工人,根据分层抽样原理,若从甲、乙两组 中共抽取 3 名工人进行技术考核,则从甲组抽取 2 名工人,乙组抽取 1 名工人。 ……2 分 (Ⅱ)记 A 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则

P( A) =

1 1 C 4 C6 8 = 。 2 C10 15

………………………………………………5 分

(Ⅲ) ξ 的可能取值为 0,1,2,3.

Ai 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 i 名男工人, i = 0,1, 2 。
B 表示事件:从乙组抽取的是 1 名男工人。

Ai 与 B 独立, i = 0,1, 2 。
P (ξ = 0) = P ( A0 B ) = P ( A0 ) P ( B ) =
1 C42 C3 6 1= , 2 C10 C5 75

P (ξ = 1) = P ( A0 B + A1 B ) = P ( A0 ) P ( B ) + P ( A1 ) P ( B ) =
1 1 1 1 C42 C2 C6 C4 C3 28 1+ 1= , 2 2 C10 C5 C10 C5 75

P (ξ = 3) = P ( A2 B ) = P ( A2 ) P ( B ) =
1 C62 C2 10 , 1= 2 C10 C5 75

P (ξ = 2) = 1 [ P (ξ = 0) + P (ξ = 1) + P (ξ = 3)] =
故 ξ 的分布列为

31 。 75

ξ
P

0

1

2

3

6 75

28 75

31 75

10 75
…………10 分

Eξ = 0 × P (ξ = 0) + 1× P (ξ = 1) + 2 × P (ξ = 2) + 3 × P (ξ = 3) = 8 5
…………………………………………………………………………12 分

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 3 + 2 = 1 (a > b > 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 2 a b 3

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A、B 两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 (Ⅰ)求 a,b 的值;

2 . 2

(Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立?若 存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由. 解法 1: (Ⅰ)设 F (c, 0) ,当 l 的斜率为 1 时,其方程为 x y c = 0 ,O 到 l 的距离为

|00c| c = , 2 2


c 2 = , c = 1。 2 2
c 3 = , a 3

……………………………………………………2 分

由e = 得a =

3 , b = a2 c2 = 2 。

…………………………………………4 分

(Ⅱ)C 上存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立。…5 分 由(Ⅰ)知 C 的方程为 2 x 2 + 3 y 2 = 6 。设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 。 (i)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y = k ( x 1) 。 C 上的点 P 使 OP = OA + OB 成立的充要条件是 P 点的坐标为 ( x1 + x2 , y1 + y2 ) ,且

2( x1 + x2 ) 2 + 3( y1 + y2 )2 = 6 ,
整理得 2 x1 + 3 y1 + 2 x2 + 3 y2 + 4 x1 x2 + 6 y1 y2 = 6 。
2 2 2 2

又 A、B 在 C 上,即 2 x1 + 3 y1 = 6 , 2 x2 + 3 y2 = 6 。
2 2 2 2

故 2 x1 x2 + 3 y1 y2 + 3 = 0 。

…………………………………………8 分

将 y = k ( x 1) 代入 2 x 2 + 3 y 2 = 6 ,并化简得

(2 + 3k 2 ) x 2 6k 2 x + 3k 2 6 = 0 ,
于是 x1 + x2 =

6k 2 3k 2 6 , x1 x2 = , 2 + 3k 2 2 + 3k 2
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y1 y2 = k 2 ( x1 1)( x2 1) =
2

4 k 2 。 2 + 3k 2

代入 解得, k = 2 ,此时 x1 + x2 = 于是 y1 + y2 = k ( x1 + x2 2) = 因此,当 k = 2 时, P ( ,

3 。 2

k 3 k ,即 P ( , ) 。 2 2 2

3 2

2 ) , l 的方程为 2 x + y 2 = 0 ; 2
……11 分

当k =

3 2 2 时, P ( , ) , l 的方程为 2 x y 2 = 0 。 2 2

(ii)当 l 垂直于 x 轴时,由 OA + OB = (2, 0) 知,C 上不存在点 P 使 OP = OA + OB 成 立。 综上,C 上存在点 P ( , ±

3 2

2 ) 使 OP = OA + OB 成立,此时 l 的方程为 2
………………………………………………12 分

2x ± y 2 = 0
22. (本小题满分 12 分)

设函数 f ( x) = x 2 + a ln(1 + x) 有两个极值点 x1 , x2 ,且 x1 < x2 . (Ⅰ)求 a 的取值范围,并讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)证明: f ( x2 ) > 解法 1: (Ⅰ)由题设知,函数 f ( x ) 的定义域是 x > 1 ,

1 2 ln 2 . 4

f ′( x) =

2x2 + 2x + a 1+ x

………………………………………………3 分

且 f ′( x ) = 0 有两个不同的根 x1 , x2 ,故 2 x + 2 x + a = 0 的判别式
2

= 4 8a > 0 ,
即a < 且 x1 =

1 , 2 1 1 2 a 1 + 1 2 a , x2 = 。 2 2

又 x1 > 1 ,故 a > 0 。
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因此 a 的取值范围是 (0, ) 。 当 x 变化时, f ( x ) 与 f ′( x) 的变化情况如下表: x
(1, x1 ) x1 ( x1 , x2 )


1 2

x2

( x2 , +∞ )

f ′( x) f ( x)

+

0 极大值

0 极小值

+






因此 f ( x ) 在区间 (1, x1 ) 和 ( x2 , +∞) 是增函数,在区间 ( x1 , x2 ) 是减函数。 (Ⅱ)由题设和 知

……6 分

1 < x2 < 0 , a = 2 x2 (1 + x2 ) , 2
于是 f ( x2 ) = x2 2 x2 (1 + x2 ) ln(1 + x2 ) 。
2

………………………………………9 分

设函数 g (t ) = t 2 2t (1 + t ) ln(1 + t ) , 则 g ′(t ) = 2(1 + 2t ) ln(1 + t ) 。

1 时, g ′(t ) = 0 ; 2 1 1 当 t ∈ ( , 0) 时, g ′(t ) > 0 ,故 g (t ) 在区间 [ , 0) 是增函数。 2 2 1 于是,当 t ∈ ( , 0) 时, 2 1 1 2 ln 2 g (t ) > g ( ) = 。 2 4 1 2 ln 2 因此 f ( x2 ) = g ( x2 ) > 。 ………………………………………………12 分 4
当t = 评分说明: 1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。 2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4、只给整数分数。选择题不给中间分。

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