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吉林省舒兰市第一中学2016届高三上学期数学(理)练习题1124


舒兰一中高三理科数学练习题 命题人:李德辉 用题时间:2015-11-24 在公差为 d 的等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 10 ,且 a1 ,2a2 ? 2,5a3 成等比数列. (1)求 d , an ; (2)若 d ? 0 ,求 | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? | an | .

【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:

(2a2 ? 2) 2 ? 5a1a3 ? 4(a1 ? d ? 1) 2 ? 50(a1 ? 2d ) ? (11 ? d ) 2 ? 25(5 ? d )

?d ? 4 ?d ? ?1 ? 121 ? 22d ? d 2 ? 125 ? 25d ? d 2 ? 3d ? 4 ? 0 ? ? 或? ?an ? 4n ? 6 ?an ? 11 ? n
; (Ⅱ)由(1)知,当 d

? 0 时, an ? 11 ? n ,

①当1 ? n ? 11时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?? an ?

n(10 ? 11 ? n) n(21 ? n) ? 2 2

②当12 ? n 时,

an ? 0 ?| a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ? ?? | an |? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?? a11 ? (a12 ? a13 ? ? ? ?? an ) ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?? a11 ) ? (a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ?? an ) ? 2 ? 11(21 ? 11) n(21 ? n) n 2 ? 21n ? 220 ? ? 2 2 2

? n(21 ? n) ,(1 ? n ? 11) ? 2 ? 所以,综上所述: | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ? ? ; ? ?? | an |? ? 2 n ? 21 n ? 220 ? ,(n ? 12) ? ? 2

舒兰一中高三理科数学练习题 命题人:李德辉 用题时间:2015-11-25 已知等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 10 , a1a2a3 ? 125 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)是否存在正整数 m ,使得 理由. 【答案】解:(I)由已知条件得: a2 ? 5 ,又 a2 q ? 1 ? 10 ,? q ? ?1或3 , 所以数列 ?an ? 的通项或 an ? 5 ? 3 (II)若 q ? ?1 ,
n ?2

1 1 1 ? ??? ? 1 ?若存在,求 m 的最小值; 若不存在,说明 a1 a2 am

1 1 1 1 ? ??? ? ? 或0 ,不存在这样的正整数 m ; a1 a2 am 5

若q ? 3,

m 1 1 1 9 ? ?1? ? 9 ? ??? ? ?1 ? ? ? ? ? ,不存在这样的正整数 m . a1 a2 am 10 ? ? ? 3? ? ? 10

舒兰一中高三理科数学练习题 命题人:李德辉 用题时间:2015-11-26 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 4 ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?bn ? 前 n 项和为 Tn ,且 Tn ?

an ? 1 ? ? ( ? 为常数).令 cn ? b2 n (n ? N * ) .求数列 n 2

?cn ? 的前 n 项和 Rn .
【答案】解:(Ⅰ)设等差数列 由

?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ,

S 4 ? 4 S 2 , a2 n ? 2an ? 1 得

4a1 ? 6d ? 8a1 ? 4d ? ? ?a1 ? (2n ? 1) ? 2a1 ? 2(n ? 1)d ? 1 ,
解得, 因此

a1 ? 1 , d ? 2 an ? 2n ? 1 (n ? N * )
Tn ? ? ? n 2n ?1 n 2
n ?1

(Ⅱ)由题意知:

所以 n ? 2 时,

bn ? Tn ? Tn ?1 ? ?

?

n ?1 2n ?2

故,

cn ? b2 n ?

2n ? 2 1 ? (n ? 1)( ) n ?1 2 n ?1 2 4

(n ? N * )

1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )0 ? 1? ( )1 ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 1) ? ( ) n ?1 4 4 4 4 4 所以 , 1 1 1 1 1 1 Rn ? 0 ? ( )1 ? 1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? ??? ? ( n ? 2) ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 则4 3 1 1 1 1 1 Rn ? ( )1 ? ( ) 2 ? ( )3 ? ??? ? ( ) n ?1 ? ( n ? 1) ? ( ) n 4 4 4 4 4 两式相减得 4

1 1 n ?( ) 1 ? 4 4 ? (n ? 1)( ) n 1 4 1? 4

1 3n ? 1 Rn ? (4 ? n ?1 ) 9 4 整理得 Rn ? (4 ? ?c ? 9 所以数列数列 n 的前 n 项和 1 3n ? 1 ) 4n ?1

舒兰一中高三理科数学练习题 命题人:李德辉 用题时间:2015-11-27
2 正项数列{an}的前项和{an}满足: sn ? (n 2 ? n ? 1) sn ? (n 2 ? n) ? 0

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 bn ?

n ?1 5 ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn .证明:对于任意的 n ? N * ,都有 Tn ? 2 2 64 (n ? 2) a

2 2 【答案】(1)解:由 S n ? (n 2 ? n ? 1) S n ? (n 2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 S n ? 0, S n ? n 2 ? n . 于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 2n . 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)证明:由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 . 2 (n ? 2) 2 an

则 bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? . ? ? 2? 2 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2) 2 ? ?
2

Tn ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?…? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 ( n ? 1) ( n ? 1) n ( n ? 2) 2 ? ?

?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? . ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64

舒兰一中高三理科数学练习题 命题人:李德辉 用题时间:2015-11-28 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? 1 , (Ⅰ) 求 a2 的值; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N* . n 3 3

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a1 a2 an 4

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3 1 2 ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? 2 S1 ? a2 ? ? 1 ? ? a2 ? 2 3 3
【答案】.(1) 解:? 又 a1 ? 1 ,? a2 ? 4 (2)解:?

2Sn 1 2 ? an ?1 ? n 2 ? n ? , n ? N ? . n 3 3


n ? n ? 1?? n ? 2 ? 1 2 ? 2 S n ? nan ?1 ? n3 ? n 2 ? n ? nan ?1 ? 3 3 3
? 当 n ? 2 时, 2 S n ?1 ? ? n ? 1? an ?

? n ? 1? n ? n ? 1?
3



由① — ②,得 2 S n ? 2 S n ?1 ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?

? 2an ? 2 S n ? 2 S n ?1

? 2an ? nan ?1 ? ? n ? 1? an ? n ? n ? 1?
? ? an ?1 an ? ?1 n ?1 n a ?a ? ? 数列 ? n ? 是以首项为 1 ? 1 ,公差为 1 的等差数列. 1 ?n?

an ? 1 ? 1? ? n ? 1? ? n,? an ? n 2 ? n ? 2 ? n
? an ? n 2 , n ? N *

当 n ? 1 时,上式显然成立.

(3)证明:由(2)知, an ? n 2 , n ? N * ①当 n ? 1 时,

1 7 ? 1 ? ,? 原不等式成立. a1 4

②当 n ? 2 时,

1 1 1 7 ? ? 1 ? ? ,? 原不等式亦成立. a1 a2 4 4
2

③当 n ? 3 时, ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ,?

1 1 ? 2 n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? 1? ? ??? ? a1 a2 an 1 2 n 1? 3 2 ? 4 ? n ? 2 ? ? n ? n ? 1? ? ? n ? 1?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1? 1? 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? 2 ?1 3 ? 2 ? 2 4 ? 2 ? 3 5 ? 2 ? n ? 2 n ? 2 ? n ?1 n ? 1 ?
1 ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? 2 ?1 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?

1 ?1 1 1 1 ? 7 1? 1 1 ? 7 ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? 2 ? 1 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 4
? 当 n ? 3 时,,? 原不等式亦成立.
综上,对一切正整数 n ,有

1 1 1 7 ? ??? ? . a1 a2 an 4

舒兰一中高三理科数学练习题 命题人:李德辉 用题时间:2015-11-29

已知首项为

3 的等比数列 {an } 不是递减数列, 其前 n 项和为 Sn (n ? N *) , 且 S3 + a3, S5 + a5, 2

S4 + a4 成等差数列.
(Ⅰ) 求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) 设 Tn ? Sn ? 【答案】
1 (n ? N *) , 求数列 {Tn } 的最大项的值与最小项的值. Sn


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