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2014届高考数学一轮复习 第六章数列6.3等比数列及其前n项和教学案 理 新人教A版


6.3

等比数列及其前 n 项和

考纲要求 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公 式和前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中,识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

1.等比数列的相关概念 相关名词 定义 通项公式 前n项 和公式 等比中项

等比数列{an}的有关概念及公式 an+1 an =q(q 是常数且 q≠0, n∈N*)或 =q(q 是常数且 q≠0, an an-1 n∈N*且 n≥2) an=__________,an=am·qn-m

? ? _________, ? q ? 1? , Sn ? ? ? ? _________, ? q ? 1?

如果三个数 a,G,b 组成等比数列,则 G 叫做 a 和 b 的等比 中项,且__________. 2.等比数列有关性质 * (1)在等比数列中,若 m+n=p+q,则 am·an=__________(m,n,p,q∈N ). (2)间隔相同的项,如 a1,a3,a5,?仍为等比数列,且公比为__________. (3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn(Sn≠0),则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n 成等比数列,公比为 __________. (4)单调性 ?a1>0, ?a1<0, ? ? 若? 或? ?{an}__________. ?q>1 ?0<q<1 ? ? 若?
? ?a1>0, ?0<q<1 ?

或?

? ?a1<0, ?q>1 ?

?{an}__________.

q=1?{an}为常数列,q<0?{an}为摆动数列.
1.在等比数列{an}中,若 a5=4,则 a2a8 等于( ). A.4 B.8 C.16 D.32 2.在等比数列{an}中,若 a4=8,q=-2,则 a7 的值为( A.-64 B.64 C.-48 D.48 3 .设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,8a2+a5=0,则 =(

). ).

S5 S2

A.-11 B.- 8 C.5 D.11 2 n-1 4. 设数列 1, (1+2), ?, (1+2+2 +?+2 ), ?的前 n 项和为 Sn, 则 Sn=__________.

一、等比数列的判定与证明 【例 1】设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)证明数列? n?是等差数列. ?2 ? 方法提炼 等比数列的判定方法:
1 ?an?

(1)定义法:若

an+1 an * * =q(q 为非零常数,n∈N )或 =q(q 为非零常数且 n≥2,n∈N ), an an-1

则{an}是等比数列. * (2)中项公式法: 若数列{an}中, an≠0 且 a2 则数列{an}是等比数列. n+1=an·an+2(n∈N ), n-1 * (3)通项公式法:若数列通项公式可写成 an=c·q (c,q 均是不为 0 的常数,n∈N ), 则{an}是等比数列. n (4)前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k·q -k(k 为常数且 k≠0,q≠0,1), 则{an}是等比数列. 提醒:(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明,而后两种方法常用于 选择题、填空题中的判定. (2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比即可. 请做演练巩固提升 5 二、等比数列的基本运算 【例 2-1】 (2012 重庆高考)首项为 1, 公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4=__________. 【例 2-2】设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. 方法提炼 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量 a1,n,q, an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)可迎刃而解. 2.解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式,并灵活运用,在运算过程中, 还应善于运用整体代换思想 简化运算的过程. 3.在使用等比数列的前 n 项和公式时,应根据公比 q 的情况进行分类讨论,切不可忽 视 q 的取值而盲目用求和公式. n 提醒:数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 Sn=aq +b (a,b∈R),{an}是等比数列,则 a,b a1 -qn n 应满足 a+b=0 且 a, b 均不为 0.∵由 Sn=aq +b, 可知{an}的公比 q≠1, ∴Sn= 1- q =- ·q + .观察可知 a=- ,b= ,∴a+b=0 且 a 与 b 不等于 0. 1-q 1-q 1- q 1-q 请做演练巩固提升 1,3 三、等比数列的性质及其应用 【例 3-1】(1)已知等比数列{an}中,有 a3a11=4a7,数列{bn}是等差数列,且 b7=a7, 求 b5+b9 的值. (2)在等比数列{an}中,若 a1a2a3a4=1,a13a14a15a16=8,求 a41a42a43a44. 1 2 2 【例 3-2】已知方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根组成以 为首项的等比数列, 2 求 的值. 方法提炼 1.等比数列的性质可以分为三类:(1)通项公式的变形,(2)等比中项的变形,(3)前 n 项和公式的变形.根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破 口. 2.等比数列的常用性质 (1)数列{an}是等比数列,则数列{pan}(p≠0,p 是常数)也是等比数列; (2)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即 an,an+k,an+2k,an k +3k,?为等比数列,公比为 q ; n-m * (3)an=am·q (n, m∈N ); * (4)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N ),则 am·an=ap·aq; (5)若等比数列{an}的公比不为-1,前 n 项和为 Sn,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k 是等比数列. 请做演练巩固提升 4

a1

n

a1

a1

a1

m n

2

未注意数列首项的特殊而致误 an+an+1 * 【典例】已知数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2= ,n∈N . 2 (1)令 bn=an+1-an,证明:{bn}是等比数列; (2)求{an}的通项公式. an-1+an 错解 :(1)证明:∵bn=an+1-an= -an 2 1 1 =- (an-an-1)=- bn-1, 2 2 ∴{bn}是等比数列. ? 1?n-1 (2)解:bn=an+1-an=?- ? , ? 2? an=a1+(a2-a 1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) ? 1? ? 1?n-2 =1+1+?- ?+?+?- ? ? 2? ? 2? 1 ? ?n-1 1-?- ? ? 2? =1+ ? 1? 1-?- ? ? 2? 2? ? 1?n-1? =1+ ?1-?- ? ? 3? ? 2? ? 5 2? 1?n-1 = - ?- ? , 3 3? 2? 5 2? 1?n-1 ∴an= - ?- ? (n∈N). 3 3? 2? 正解:(1)证明:b1=a2-a1=1, an-1+an 当 n≥2 时,bn=an+1-an= - an 2 1 1 =- (an-an-1)=- bn-1, 2 2 1 ∴{bn}是首项为 1,公比为- 的等比数列. 2 ? 1?n-1 (2)解:由(1)知 bn=an+1-an=?- ? , ? 2? 当 n≥2 时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) ? 1?n-1 1-?- ? ? 2? ? 1? ? 1?n-2 =1+1+?- ?+?+?- ? =1+ 2 2 ? ? ? ? ? 1? 1-?- ? ? 2? 2? ? 1?n-1? 5 2? 1?n-1 =1+ ?1-?- ? ?= - ?- ? , 3? ? 2? ? 3 3? 2? 5 2? 1?1-1 当 n=1 时, - ?- ? =1=a1, 3 3? 2? 5 2? 1?n-1 * ∴{an}的通项公式为 an= - ?- ? (n∈N ). 3 3? 2? 答题指导: 本题难度并不大, 属于一道中等难度的题目, 但大部分考生都因解题不规范, 步骤不完整等原因被扣分,如解(1)题时未说明{bn}的首项和公比.解第(2)题时未对 n=1 的情况进行检验等,因此在解题时一定注意步骤的完整性及逻辑的严谨性.

3

1. (2012 大纲全国高考)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, a1=1, Sn=2an+1, 则 Sn=( ). 3 2 1 ? ?n-1 ? ?n-1 n-1 A.2 B.? ? C.? ? D. n-1 2 ?2? ?3? * 2.已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n+1,n∈N ,若数列{an+pn+q}是等比数列, 则实数 p,q 的值分别等于( ). A.1,2 B.2,1 C.2,2 D.1,3 3.设等比数列{an}的公比 q=3,前 n 项和为 Sn,则 等于__________. 4.在正项等比数列{an}中,若 1

S4 a2

a2a4 a4 a4a6

2 1 1 1 + 2+ =81,则 + =__________.

a3 a 5

1 5.(2012 陕西高考)已知等比数列{an}的公比 q=- . 2 1 (1)若 a3= ,求数列{an}的前 n 项和; 4 (2)证明:对任意 k∈N+,ak,ak+2, ak+1 成等差数列.

4

参考答案 基础梳理自测 知识梳理

a1(1-qn) 2 1.a1·q na1 G =ab 1-q 2 n 2.(1)ap·aq (2)q (3)q (4)递增
n-1

递减 基础自测 1.C 解析:∵{an}是等比数列且 2+8=2×5, 2 ∴a2·a8=a5 =16. 3 3 2.A 解析:依题意得 a7=a4q =8×(-2) =-64. 故选 A. 3.A 解析:由 8a2+a5=0, ∴ =-8,即 q =-8,q=-2.

a5 a2

3

a1(1-q5) 5 1-q S5 1-q 33 ∴ = = = =-11. S2 a1(1-q2) 1-q2 -3 1-q
1×(1-2 ) n -n-2 解析:由已知得数列的通项 an= =2 -1, 1-2 n 2×(1-2 ) 2 n n+1 ∴Sn=(2+2 +?+2 )-n= -n=2 -n-2. 1-2 考点探究突破 【例 1】证明:(1)由 a1=1,Sn+1= 4an+2 得 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5, ∴b1=a2-2a1=3. 由 Sn+1=4an+2,① 则当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2.② ①-②得 an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵bn=an+1-2an. ∴bn=2bn-1. ∴数列{bn}是首项为 3,公比为 2 的等比数列. n -1 (2)由(1)可得 bn=an+1-2an=3·2 , an+1 an 3 ∴ n+1- n= . 2 2 4 ?an? 1 3 ∴数列? n?是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 4 ?2 ? 4 a1(1-qn) 1-2 【例 2-1】15 解析:由等比数列前 n 项和公式 Sn= 得,S4= =15. 1- q 1-2 4.2
n+1 n

?a1q=6, ? 【例 2-2】解:设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ? ?6a1+a1q =30.

解得?

?a1=3, ? ? ?q=2,

或?

?a1=2, ? ? ?q=3.
n-1 n

当 a1=3,q=2 时,an=3 ×2 ,Sn=3×(2 -1); n-1 n 当 a1=2,q=3 时,an=2×3 ,Sn=3 -1. 2 【例 3-1】解:(1)∵a3a11=a7 =4a7,且 a7≠0, ∴a7=4.∴b7=4. ∵{bn}为等差数列,
5

∴b5+b9=2b7=8. 2 3 4 6 (2)a1a2a3a4=a1·a1q·a1q ·a1q =a1q =1,① 54 a13a14a15a16=a1q12·a1q13·a1q14·a1q15=a4 1·q =8,② 4 54 a1 ·q 48 16 ②÷①得, 4 =q =8? q =2, a1 ·q6 40 41 42 43 4 166 4 6 160 又 a41a42a43a44=a1q ·a1q ·a1q ·a1q =a1·q =a1·q ·q 4 6 16 10 =(a1·q )·(q ) 10 =1·2 =1 024. 2 2 【例 3-2】解:设 a,b,c,d 是方程(x -mx+2)(x -nx+2)=0 的四个根,不妨设 a 1 <c<d<b,则 a·b =c·d=2,a= ,故 b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d=2, 2 9 9 m 3 m 2 则 m=a+b= ,n=c+d=3,或 m=c+d=3,n=a+b= ,则 = 或 = . 2 2 n 2 n 3 演练巩固提升 1.B 解析:∵Sn=2an+1,∴Sn-1=2an(n≥2), 两式相减得:an=2an+1-2an, an+1 3 ∴ = . an 2 1 ∴数列{an}从第 2 项起为等比数列.又 n=1 时,S1=2a2,∴a2= . 2 3 1? ? ? ? ?1-?2?n-1? 2? ? ? ? ? ?3?n-1? ?3?n-1 ∴Sn=a1+ =1-?1-? ? ?=? ? . 3 ? ?2? ? ?2? 1- 2 an+1+p(n+1)+q * 2.A 解析:依题意有 =m 对任意 n∈N 都成立, an+pn+q 得 an+1+p(n+1)+q=man+mpn+mq, 又 an+1=2an+n+1, 则 2an+n+1+pn+p+q=man+mpn+mq, 即(2-m)an+(p+1-mp)n+p+1+q-mq=0. 由已知可得 an>0, 2-m=0, ? ? 所以?p+1-mp=0, ? ?p+1+q-mq=0,

m=2, ? ? 解得?p=1, ? ?q=2.
40 3. 3

故选 A.

解析:由题意得 S4=

a1(1-34)
1-3

=40a1,a2=3a1,

S4 40 ∴ = . a2 3 2 2 2 4.9 解析:∵a2a4=a3 ,a4a6=a5 ,a4 =a3·a5, 1 2 1 1 2 1 ∴ + 2+ = 2+ + 2=81, a2a4 a4 a4a6 a3 a3a5 a5
即? + ? =81.又 a3>0,a5>0,

?1

?a3 a5?
a3 a5

1 ?2

1 1 故 + =9.

6

1 1 2 5.解:(1)由 a3=a1q = 及 q=- ,得 a1=1, 4 2 ? ? 1?n? ? 1?n-1 1×?1-?- ? ? 2+?- ? ? ? 2? ? ? 2? 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= = . 1 3 ? ? 1-?- ? ? 2? (2)证明:对任意 k∈N+, k+1 k-1 k k-1 2 2ak+2-(ak+ak+1)=2a1q -(a1q +a1q )=a1q (2q -q-1), 1 2 由 q=- 得 2q -q-1=0, 2 故 2ak+2-(ak+ak+1)=0. 所以,对任意 k∈N+,ak,ak+2,ak+1 成等差数列.

7


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