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2017届一轮复习北师大版 二项式定理 课件


第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布

第 3讲

二项式定理

考纲展示

三年高考总结 从近三年高考情况来看,二项式定理是高考的重点 内容,具有隔年命题的规律,主要考查二项展开式 的通项,二项式系数,展开式的系数等知识,难度 控制在中低档,以选择题、填空题的形式出现,解 题时应熟练基本概念、基本运算,充分利用方程思 想及等价转化思想.

1.能用计数原理证明二项式定理. 2. 会用二项式定理解决与二项展开式有关 的简单问题.

考点多维探究

考点 1 二项展开式的通项及系数 回扣教材 1.二项式定理
0 n 1 n-1 1 r n-r r n n C a + C a b +?+ C a b +?+ C n n n nb (n∈N*) 二项式定理 (a+b) =
n

二项展开式 的通项公式

r n r r C b ,它表示第 r+1 na Tr+1=




1 n 二项式系数 二项展开式中各项的系数 C0 n,Cn,?,Cn

2.二项式系数与项的系数的区别
1 n 二项式系数是指 C0 n,Cn,?,Cn,它是组合数,只与各项的项数有关,而与 a,b 的值无关;而项的系

数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与 a,b 的值有关.如(a+bx)n 的展
r n r r 开式中,第 r+1 项的二项式系数是 Cr b .当然,某些特殊的二项展开式如(1+x)n, n,而该项的系数是 Cna


各项的系数与二项式系数是相等的.

3.二项式系数的性质
m n (1)对称性:源于组合数的性质 Cn =Cn
-m

n (m≤n),从 C0 n=Cn=1 开始,然后左右向中间靠拢,便有

n-1 2 n-2 C1 n=Cn ,Cn=Cn ,?.

(2)单调性与最大值:二项式系数从左到右先增后减,中间值最大.
?n ? ①当 n 为偶数时,(a+b)n 的展开式共有(n+1)项,n+1 是奇数,中间一项是第?2+1?项,它的二项式系 ? ?

n 数是 C2n,它是所有的二项式系数中的最大者.
?n+1 ? n+1 ? ②当 n 为奇数时,(a+b) 的展开式共有(n+1)项,n+1 是偶数,中间两项是第 2 项和第 +1?项, 2 ? ?
n

n-1 n+1 它们的二项式系数是 C , C ,这两个系数相等,并且是所有二项式系数中的最大者. 2 n 2 n

4.二项展开式中项的系数和
1 n n n 在(a+b)n 的展开式中,令 a=b=1,得 C0 n+Cn+?+Cn=2 ,即二项式系数的和为 2 ;令 a=1,b=- 2 4 1 3 5 n-1 1 得 C0 , 即展开式中奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的 n+Cn+Cn+?=Cn+Cn+Cn+?=2

和. 5.必记结论
n-k k (1)Ck b 是第 k+1 项,而不是第 k 项. na

(2)通项公式中 a,b 的位置不能颠倒. (3)通项公式中含有 a,b, n,k,Tk+1 五个元素,只要知道其中四个就可以求出第五个,即“知四求一”.

小题快做 1.思考辨析
n-r r (1)Cr b 是(a+b)n 的展开式中的第 r 项.( × ) na

(2)(a+b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关.( √ ) (3)二项展开式中,系数最大的项为中间一项或中间两项.( × ) (4)(a+b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分,包括符号等.( √ )

? 2 2 ?5 2.[教材改编]?x -x3? 展开式中的常数项为________ . 40 ? ?

2 ?r 2 5-r? ? ? - 解析 第 r+1 项为 Cr ( x ) 5 x3
? ?
10 =Cr 5x
-2r

(-2)rx

-3r

r 10 =Cr 5(-2) x

-5r

常数项 10-5r=0,r=2,常数项为 40.

-20 3.(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 的系数为________( 数字作答).
8 k k, 7 解析 依题意,(x+y)8 的二项展开式的通项为 Tk+1=Ck y 0≤k≤8,k∈Z.当 k=7 时,T8=C7 8x 8xy =


8xy7;
2 6 2 6 当 k=6 时,T7=C6 8x y =28x y .

∴(x-y)(x+y)8 的展开式中 x2y7 项为 x· 8xy7+(-y)· 28x2y6=-20x2y7,故 x2y7 的系数为-20.

二项式定理是高中数学中的一个重要知识点,也是高考命题的热点,多以选择题、填空题的形式呈现, 试题难度不大,多为容易题或中档题,且主要有以下几个命题角度.

命题角度 1 求二项展开式中特定项或指定项 的系数 典例1 常数项是( A.180 C.45 ) B.90 D.360
? 2? (1)[2015· 成都测试]二项式? x+x2?n 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中 ? ?

10 (2)[2015· 银川测试]若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5, 则 a1+2a2+3a3+4a4+5a5=________.

解析

? 2 ?n r 10-r ? 2 ?r ? ? ? 2? (1)因为 x+x2 的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以 n=10,Tr+1=C10· ( x) · ? ? ?x ?

5 5 2 =2rCr · x 5 - r ,令 5 - r = 0 ,则 r = 2 , T 10 3=4C10=180.故选 A. 2 2 (2)原等式两边求导得 5(2x-3)4· (2x-3)′=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令上式中 x=1,得 a1+2a2 +3a3+4a4+5a5=10.

命题角度 2 已知二项展开式某项的系数求参 数 典例2 A.-4 C.-2 (1)[2013· 课标全国卷Ⅱ]已知(1+ax)· (1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=( B.-3 D.-1
10 7

)

1 (2)[2014· 课标全国卷Ⅱ](x+a) 的展开式中,x 的系数为 15,则 a=________. 2
1 解析 (1)展开式中含 x2 的系数为 C2 5+aC5=5,解得 a=-1,故选 D. 10-r r 3 7 3 3 (2)二项展开式的通项公式为 Tr+1=Cr a ,当 10-r=7 时,r=3,T4=C3 10x 10a x ,则 C10a =15,故 a

1 =2.

命题角度 3 二项式各项系数的和 典例3
0 (1)[2015· 南充模拟]若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 a1+a2+a3+a4=________.

(2)若将函数 f(x)=x5 表示为 f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5,其中 a0,a1,a2,?,a5 为
10 实数,则 a3=________.
解析 (1)令 x=1 可得 a0+a1+a2+a3+a4=1,令 x=0,可得 a0=1,所以 a1+a2+a3+a4=0. (2)解法一(通法):将 f(x)=x5 进行转化,利用二项式定理求解. f(x)=x5=(1+x-1)5,
5 r 它的通项为 Tr+1=Cr · (-1)r, 5(1+x)


3 2 3 T3=C2 5(1+x) (-1) =10(1+x) ,

∴a3=10. 解法二(赋值法):对等式 f(x)=x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+?+a5(1+x)5 两边连续对 x 求导三次得: 60x2=6a3+24a4(1+x)+60a5(1+x)2, 再令 x=-1 得 60=6a3,即 a3=10.

命题角度 4 二项式系数的性质 典例4
+1

(1)[2013· 课标全国卷Ⅰ]设 m 为正整数, (x+y)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a, (x+y)2m )

展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a=7b,则 m=( A.5 C.7 B.6 D.8

3 (2)[2015· 石家庄调研]设(2 x-1)n 的展开式的各项系数之和为 M,二项式系数之和为 N,若 M,8,N 三
-160x . 数成等比数列,则展开式中第四项为________
m 解析 (1)(x+y)2m 展开式中二项式系数的最大值为 Cm 即 a=Cm 同理, b=Cm ∴13Cm 2m, 2m, 2m+1, 2m=7C2m+1,

13· ?2m?! 7· ?2m+1?! 即 = , m!m! m!?m+1?! 7?2m+1? ∴ =13,解得 m=6. m+1

3 (2)令 x=1,则各项系数之和为 M=(2 1-1)n=1.
1 2 n n 2 n ∵二项式系数之和 N=C0 n+Cn+Cn+?+Cn=2 ,又 M,8,N 三数成等比数列,则 8 =MN,即 2 =64,

3 6-3 解得 n=6,故 T4=C3 (2 x) · (-1)3=-160x. 6

1.二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 k+1 项,再由特定项的特点求出 k 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项公式写出第 k +1 项,由特定项得出 k 值,最后求出其参数. 2.赋值法的应用 (1)形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,常用赋 值法,只需令 x=1 即可. (2)对形如(ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令 x=y=1 即可. (3)若 f(x)=a0+a1x+a2x2+?+anxn,则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1), f?1?+f?-1? 奇数项系数之和为 a0+a2+a4+?= , 2 f?1?-f?-1? 偶数项系数之和为 a1+a3+a5+?= . 2

【跟踪训练】
? 2?n 1.若二项式? x-x? 的展开式中第 5 项是常数项,则正整数 n 的值为( ? ?

)

A.6 C.12

B.10 D.15
2?r n-r? r r n-3r ? ? - Tr+1=Cr ( x ) = ( - 2) Cnx 2 , n x
? ?

解析

n-3r 当 r=4 时, =0,又 n∈N*,所以 n=12. 2

256 n+1 n+6 * n 2 n n 2.若 C3 23 =C23 (n∈N )且(3-x) =a0+a1x+a2x +?+anx ,则 a0-a1+a2-?+(-1) an=________.

n 1 n 6 解析 由 C3 23 =C23 ,得 3n+1=n+6(无整数解)或 3n+1=23-(n+6),解得 n=4.问题即转化为求(3
+ +

-x)4 的展开式中各项系数和的问题, 只需在(3-x)4 中令 x=-1 即得 a0-a1+a2-?+(-1)nan=[3-(-1)]4 =256.

考点多维探究

考点 2 二项式定理的应用 回扣教材 二项展开式的应用 (1)证明某些整除问题或求余问题. (2)证明有关不等式. (3)进行近似计算.

小题快做 1.思考辨析 (1)(a+b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a,b 无关.( √ ) (2)二项展开式可以讨论整除问题.( √ )

2.[2016· 济宁模拟]22012 被 9 除所得余数是( A.4 C.7 B.5 D.8

)

解析 22012=4×22010=4×8670=4×(9-1)670
670 669 1 669 1 669 670 0 670 展开可得 4×(C0 (-1)0+C1 6709 6709 (-1) +?+C6709 (-1) +C6709 (-1) )

只有最后一项不能被 9 整除 4×1 余 4.

二项式定理与其他知识交汇是一个重要考向,常与不等式、函数、整除问题等知识综合,以选择题、 填空题的形式出现.且主要有以下几个命题角度.

命题角度 1 与整除有关的问题 典例5 A.0 C.11
解析 a, ∵C0 522012-C1 522011+?+C2011 (-1)2011 能被 13 整除,且 512012+a 能被 13 整除, 2012· 2012· 2012×52· ∴C2012 (-1)2012+a=1+a 也能被 13 整除,因此 a 的值为 12. 2012·

设 a∈Z,且 0≤a<13,若 512012+a 能被 13 整除,则 a=( B.1 D.12

)

2012 512012+a= (52- 1)2012+ a=C0 522012- C1 522011+?+ C2011 (- 1)2011 +C2012 · (- 1)2012 + 2012· 2012 · 2012×52·

命题角度 2 与近似计算有关的问题 典例6 (1.02)8 的近似值是________( 1.172 精确到小数点后三位).

1 解析 (1.02)8=(1+0.02)8≈C0 0.02+C2 0.022+C3 0.023≈1.172. 8+C8· 8· 8·

命题角度 3 与函数交汇的有关问题
? 1? ? ??x-x?6,x<0, ? [2013· 陕西高考]设函数 f(x)=?? ? ?- x,x≥0,

典例7

则当 x>0 时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为( A.-20 C.-15
解析 选 A.

)

B.20 D.15
3 3 ?6 ? 1 ?6 ?x-1?6 ?x-1?6 C3 6x ?-1? ? =? x- ? = = x3 ,常数项为 =-20,故 x3 x? ? x? ? x?6

? 1 - x - ? f(f(x))=f(- x)= - ?

1.整除问题的解题思路 利用二项式定理找出某两个数(或式)之间的倍数关系,是解决有关整除问题和余数问题 的基本思路,关键是要合理地构造二项式,并将它展开进行分析判断. 2.求近似值的基本方法 利用二项式定理进行近似计算:当 n 不很大,|x|比较小时,(1+x)n≈1+nx. 3.与函数交汇问题 利用函数的性质求解,如赋值、奇偶、求导等.

【跟踪训练】
2 2 3 3 k k k 10 10 3.1-90C1 10+90 C10-90 C10+?+(-1) 90 C10+?+90 C10除以 88 的余数是(

)

A.-1 C.-87
解析

B.1 D.87

2 2 k k k 10 10 10 10 10 10 1 9 1- 90C1 10+ 90 C10 + ? +( - 1) 90 C10 +? + 90 C10 = (1- 90) =89 = (88 +1) =88 + C10 88

+?+C9 1088+1,∵前 10 项均能被 88 整除,∴余数是 1.

? 2 b?6 2 4.[2014· 山东高考]若?ax +x ? 的展开式中 x3 项的系数为 20,则 a2+b2 的最小值为________ . ? ?

解析

r 2 6-r?b?r 6-r r 12-3r Tr+1=C6(ax ) ? ? =Cr a bx , 6

? x?

令 12-3r=3,则 r=3.
3 3 ∴C3 6a b =20,即 ab=1.

∴a2+b2≥2ab=2,即 a2+b2 的最小值为 2.

[方法与技巧]
n k k 1.通项 Tk+1=Ck b 是(a+b)n 的展开式的第 k+1 项,而不是第 k 项,这里 k=0,1,?,n. na


1 n 2.二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指 C0 n,Cn,?,Cn,它只与各项的项

数有关,而与 a,b 的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而 且也与 a,b 的值有关. 3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意,给字母赋值,是求解二项展开 式各项系数和的一种重要方法. 4.运用通项求展开式的一些特殊项,通常都是由题意列方程求出 k,再求所需的某项;有时需先求 n, 计算时要注意 n 和 k 的取值范围及它们之间的大小关系.

[失误与防范] 1.项的系数与 a、b 有关,二项式系数只与 n 有关,大于 0. 2.求二项式所有系数的和,可采用“赋值法”. 3.关于组合式的证明,常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法. 4.展开式中第 k+1 项的二项式系数与第 k+1 项的系数一般是不相同的,在具体求各项的系数时,一 般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出错.

微专题——规范答题

二项式定理中的创新问题 以二项式定理为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点,此类问题常以“问题”(二项式)为核 心,以“探究”为途径,以“发现”为目的,这类试题以二项式为依托,考查学生的理解能力、解决创新 问题的能力.常见的有新概念、新法则、新运算.

1.[2014· 浙江高考]在(1+x)6(1+y)4 的展开式中,记 xmyn 项的系数为 f(m,n),则 f(3,0)+f(2,1)+f(1,2) +f(0,3)=( A.45 C.120 ) B.60 D.210

4 n n 解析 在(1+x)6 的展开式中,xm 的系数为 Cm 6 ,在(1+y) 的展开式中,y 的系数为 C4,故 f(m,n)= 3 2 1 3 Cm Cn C4=60,f(1,2)=C1 C2 6· 4.从而 f(3,0)=C6=20,f(2,1)=C6· 6· 4=36,f(0,3)=C4=4,故选 C.

? x?n ? 2. [2014· 安徽高考]设 a≠0, n 是大于 1 的自然数,1+a? 的展开式为 a0+a1x+a2x2+?+anxn.若点 Ai(i, ? ?

3 ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则 a=______.

1 ?C1 · ? n a =3, 解析 根据题意知 a0=1,a1=3,a2=4,结合二项式定理得? 1 ?C2 a2=4, ? n· 3.

8 ? ?n-1=3a, 即? 解得 a= ? ?n=3a,

温馨提醒

对于二项式定理中的创新问题,要注意系数问题及排列组合知识的应用.常与函数、不等

式、导数等结合,突出创新.

课后课时作业


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