伤城文章网 > 数学 > 一道解析几何高考题的拓展探究

一道解析几何高考题的拓展探究




道 解 析 几 何 高 考题 的 拓展 探究  
张 培 强 

题目

( 2 0 1 4年 高考 江 苏卷 第 1 7题 ) 如 





z  ̄ —c z’ ,   YA~ 一 一 a2 —-   2 f - c 2, , 又点 义 点 A A, ,   c天 关于 于 z z 轴  轴 



图, 在 平面直角坐标 系 x O y中, F   , F 。分 别  
一   ‘ 

对称 , 所以 z c —z A , Y c 一 一 A . 由F l C上 AB  

是 椭 圆  +  y 一 1( 口> 6 > 0) 的左 右焦点 ,   a。  


可知 ,  a   z - -    ̄ - c 2  
十  

?

顶点 B 的 坐标 为 ( 0 , 6 ) , 连结 B F  并 延 长 交 
椭 圆 于 点 A, 过 点 A 作  轴 的 垂 线 交 椭 圆 于 
另 一 点 C, 连 结 F  C .  

( 一   ) 一 一 1 , 化 简 得 , n 2  

一5 c z , 所 以椭 圆离心 率 P 的值 为  .  

( 1 ) 若 点 C 的 坐 标 为 (   , 号 ) , 且 B F  


分  析  沿着作图的顺序, 逢交联立, 遇 
点 求点 , 依 次 求 出各 个 量 , 是 解 析 几 何 综 合 

 ̄ /   , 求椭圆的方程;  

( 2 ) 若 F  C上 AB,求 椭 圆 离 心 率 e   问题 的常规 思路 .  
的值 .  


解蒎  2   直线B F z 的 方程为  一一  

C 

l y = - - 6   x - 1   6  
+6 , 联 立 
一  

, 消去 . y并 整 理 , 解 

得 z n 一 


.  

/ 。  

J l   一  +   , 消 去   并   幕  ( 1 ) n = B F z 一 √   , 将 (   4 ,   1 ) 代 入  一   C ( . z + c ) , 联 立  
T cz  


图 1  

y2





 

T  



 

xz  

yz


T  

1 , 得6 — 1 , 所 以 椭 圆 的 方 程 为 等 2 +  整 理 得 ,(b   十口   C   ) z‘ 十 2 a   c 。  十a  ( c ‘ 一b ‘ )  
_ O' 解 得  一  .  

( 2 )   解i 法l l 1   直线B F   的方程为  一  
则 



= : :  

, 又 

x- q - b , I I  ̄7 / ' _

{ 未 一  
0  

化简得 , n  一 5 c   , 所 以 椭 圆 离 心 率 e的 值 

为 霉.  
分  析:   先使用垂直关系, 往中间用力,  

理 得 , (   1 。 + 1   )   2 一   2  一 0 , 解 得  一  
4   N e w  Un i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n  

旁   法  

设 A( z 。 , y . 。 ) , 贝 0   C( z 。 ,  

的值为 .  

一y 。 ) , 由 A, B, F 2三 点共 线 知 , b x 。 +c y 。 一  b c =0 ; 由F 1 C 上AB知 , C X o - -  ̄ - b y o +c 。 一0 .  

分  析  利用椭圆的对称性, 加之直线  
间是垂 直 的关 系 , 从几何 角度思考 , 省 去 了 

b x o - k c y o   - b c   = O   {   ,  



复 杂 的解析 运算 , 由椭 圆 的定 义 获 得 a与 c  
的等式 .  

勰  i 法   5   连结 F l 。 c , 设F   C与A B交  

代 入椭 圆方程 , 得 

+ 

一1 ,  

于 点 P,   C F   F z一 0 ,则  B F   F  一  

寺 AF z c 一_ 芸 I 一0 , 所以  B F 2 C一 2 0 , 则  
为  .  

F   C F z= 

一 2 0 .由 正 弦 定 理 有,  

分l 桥  利用相关点 A, C , 先设再求 , 避 
开 了直 线与 椭 圆方程 的联 立.  

F   1   F   2  
CF  + cFz  
= = = c 0 s  一 s i n O .  

s i n   ( I   号 一   2 0 ) J  


c 。 o   2 0  

s i n f I  十 詈+   1 J + 十   s i n   0  s i n O + c o s O  

由F   C上AB 可 知 △F   P F 2 ∽△B O F   ,  
一  

j 

所以 c o s 0 :鱼, s i n 0一

一 C

所 以  2 C :






 

,  

目2  

整理得 , 6 =2 c , 所 以椭 圆离 心率 e的值 为  .  

解  法  4  连 结 F 2 C , F   B, 设F   C与 

分l 折  关注椭 圆的“ 焦 点三角形” , 在 

AB 交 于点 P. 由F   C 上AB 可 知 △F   PF 2 C O   △F   C F z中 , 离 心 率 可 化 为 三 边 的 比. 因 此 
用正 弦 定 理 将 边 的 比转 化 为 角 的 正 弦 值  / k B O F   , 所 以 P F 2 _ F 1 F   × 器一 等’ P F  利 的比, 而再 度转 化 为 边 , 则依 靠 “ 特 征 三角 形  _F1 F2 ×  
9   z  

一  . 因为 P B=BF   - PF   B O F。 ” 来 解决 .  

—n一 


, 由椭 圆 的对 称 性 , 易知 k   。  一 


试题 构 图简 约 , 设 问简 洁 , 考查基本, 是  道综 合 考 查 解 析 几 何 基 础 知识 和 基 本 技  能 的好 题 !保 持 题 目所 关 注 的两 线 何 时 垂  直不 变 , 化静 为动 , 可作 如下 探究 :  
角 度 一  让 椭 圆 上 的 点 动 起 来 

k F   A 一 ~忌 A B— k p  , 所 以 F2 C/ /F 1 B, 则 

APF 2 Co ' ) /  ̄ P BF 1 , 所 以 C F 2 =B F 1 ×面 PF 2  



 



C F   = P F   × 嚣一   .  
( a  ̄ -3 c s )卿  

设 A 为椭 圆  +  一1 ( a >6 >o ) 上 任 
意一 点 , 连结 AF 。 并 延 长交 椭 圆 于 点 B, 过  点 B 作 z 轴 的垂 线 交 椭 圆 于 另 一 点 C, 连 
结 F   C .  

所 以 c F l + C F 2 一   日 ’ 氅 一  +   c _     口 一 一  一   , 整  
理得 , b c =a 2 -3 c 2 , 则 

{   1 0 < e 4   — 7 e   - L 1 = 0   , 解 得   一   1 , 即 椭 圆 离 心 率 e  



擐巍:   F   C   L A B恒成立吗?还是  

能成立 ? 抑或是 不 可能成 立 ?  
N e w   U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n   5  

设 A 为 椭 圆  +  一 1 ( a >6 >0 ) 的上 
“  c ,  
  I

顶点 , M( m, 0 ) , N( 一m, 0 ) , 0 <  < 口 , 连结 
A M 并 延长交 椭 圆 于点 B, 过 点 B作 z 轴 的 
一  

。  1 .  


垂 线交椭 圆于另一 点 C, 连结 NC .  

/ 
、  

探舞 

N C _ [ _ A B恒成立吗?还是能  

成 立 ?抑 或是 不可 能成 立?  

\ 一  
  ‘

{ i X 6 z   2   z _ z   y + 2   = 。 z   v C 2 z 一   。 z 6   z , 解 得    一 z 一   a 干 4   , 所 以  
易得B(  

图3  

, 一  

)  

c f \ 口 名 ,   + m   ’   n   +   / ’ 若N 石  C   J 上 _   A B , ’   则 u  
b ( a   一 m  、  

忌 意  ‘ . 是 患 A B   一  笔     _


. 。   一 - b 一 一l 1 , 整 理得,  



2 . @ — m2 ’  

( 口   一c   ) ( n  一 m  ) 一 m。 ( 3 a 。 + m。 ) , 所以 c  
m 4
一 —


q -   4 m

2a 2   -


a4

仇 2 _ 一

口2  

∈ ( 0 , 2 ) , 解 <  \   ’  a / , 卅 千 得 忖   m2 \ 

设 

, 联立

J  

l   3 , 一   - , 十 y 2 c ( z  )  

一 ) , 解 得  

(   -2 ) a   .  

故当 o < < 

时, NC _ I _ AB能 

成立; 当 ̄ /   =  ≤m <  时, N C _ [ _ A B不可  
能成 立.  

l   i   量   , 则   i   量   , 代 人 薯 +   一   , 整  
一  

攮巍1 4   当6 变化时, N C与A M 的交  
由探 究 3知 , 直 线 NC 的 方 程 为 y一 

l   z 一  

口。  

点 P 的轨迹 是什 么?  

理 得 ,  一 蓐一 1 , 说 明 点P 的 轨 迹 是 双  

(  + 十 m) , 与i 与  g 。 . 线 A M 』 Ⅵ 的方 力 崔  程 

一 一  ( z — m ) 联 立 , 可 得P (  

,  

) , 所 以 点P 的 轨 迹 是 直 线  一  
上 的线 段 ( 长 度为  ) .  

6  

N e w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n  



道 数 学 预 赛 试 题 的简 解 及 高考 链 接 
陈新 伟 

题目

( 2 0 1 4年全 国高 中数 学 联 赛 山 东  

解答 均 为 字 母 运 算 , 一般方法运算量 较大 ,  
学 生不 易顺 利解 答.  

赛 区预 赛 第 1 3题 ) 设 点 0 为 椭 圆的 中心 , A  
点 为 椭 圆上 异 于 顶 点 的 任 意 一 点 , 过 点 A 作  长 轴 的垂 线 , 垂足 为 M , 连 结 A0 并 延 长 交 





试 题 简解 

椭 圆于另一 点 B, 连结 B M 并 延 长 交 椭 圆 于  点 C, 问 是 否存 在 椭 圆 , 使得 B A上 C A?  

赛题 是对 椭 圆一 般 性 质 的探 索 , 主要 考 
查直 线 与 直 线 、 直线与椭 圆的位置 关系 , 题 

C A, 不 妨 设 椭 圆 的 方 程 为  + 2 —1



A( z 。 ,  

目涉 及 四点 ( 点 A, B, M, C, 其 中点 A 为 “ 制  高点 ” , 其余点伴随产生 , 点 0 为“ 关键 点” ,  
是椭 圆 的 中心 , 也 是 弦 AB 的中点 ) 、 四直线 、  


则 a 2 -b 2  

+ 

曲线 ( 椭 圆) , 因题 目针 对 一 般 性 的探 索 ,  

当 A为椭 圆上某一点时 , 同样可 以推得点  交椭 圆于另一 点 B, 点 B关 于 z轴 的对 称 点 

P的横坐标不随 b而变. 请 同学们尝试 证明.  
确定 了 , 点 P就取 在直 线 z 一型 
厶 “ 

为 C, 设 AB 与 F   C交 于点 P, 则 B, P 两 点 
.  


如此 , 探究 3中 N C 上AB成立 的时刻就可  的横 坐 标 之 积 为  与以  
2  

. . 2  

2 .已知 A为椭圆   +告一1 上一点, 不为  

MN 为 直 径 的 圆 的 交 点 处 , 易 得 点 P 坐 标  左右顶点 , M( 1 , O ) , N( 一1 , 0 ) , 连结 AM 并延 长 

/ m( a   +m 2 )m  ̄ / ( 3  +  ) ( n 。 一  ) \  
\  


交椭 圆于点 B, 点 B, C关 于 z轴对 称 , C N 与 
AM 交 于 点 P, 则 P M—P N=  .  

2 n  

’  

2 口  

道 好题 , 好 在 为 我 们 提供 了 一个 开 阔 

的探 究天 地. 圆锥 曲 线 的魅 力 , 在 于 你 改 来 

3 . 已 知 A ( 专 ,   ) 为 椭 圆 x   z   T   y Z 一 1 ( 0 <  
称, 则 直 线 NC 与 AM 的交 点 的 横 坐 标 为 

变去 , 它 的 动 静 之 妙 都 会 让 你 感 叹 不 已. 我  6 <2 ) 上一 点 , M( 1 , 0 ) , N( 一1 , 0 ) , 连 结 AM  们 应 以联 系 的眼 光 、 发 展 的 思 维 来 探究 数 学  并延 长 交 椭 圆 于 点 B, 点 B, C关 于 z 轴 对 
问题 , 探索 新未 来 .  

1 .已知 F   , F 。 分别是 椭 圆   a   +击 a   一l  


1的左 、 右焦点 , A 为 椭 圆 的上 顶 点 , AF  

1 . 1   2 . ± 1   3 . 备  
Ne w  U n i v e r s i t y   E n t r a n c e   E x a mi n a t i o n   7  


搜索更多“一道解析几何高考题的拓展探究”

网站地图

All rights reserved Powered by 伤城文章网 5xts.com

copyright ©right 2010-2021。
伤城文章网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com