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高三数学 专题2 函数与导数课件 理


专题二

函数与导数

函数与导数
要点回扣

易错警示

查缺补漏

要点回扣
1.求函数的定义域,关键是依据含自变量 x的代数式有意 义来列出相应的不等式(组)求解,如开偶次方根、被开方

数一定是非负数;对数式中的真数是正数;列不等式时,
应列出所有的不等式,不应遗漏. 对抽象函数,只要对应关系相同,括号里整体的取值范 围就完全相同.

[问题1] 函数y= log 1
2

? ? 1 ? ? 0 , ? ? 的定义域是 ________. x?2 4? ?
3

2.用换元法求解析式时,要注意新元的取值范围,

即函数的定义域问题.
[问题2] -x2(x∈[-1,1]) 已知f(cos x)=sin2x,则f(x)=1 _______________.

3.分段函数是在其定义域的不同子集上,分别用不
同的式子来表示对应关系的函数,它是一个函数,

而不是几个函数.
x ? ? ?1 ?? ?e ,x<0, ? ? ?? [问题 3] 已知函数 f(x)=? 则 f?f? ??= ? ?e ?? ? ?ln x,x>0,

1 e ________.

4.判断函数的奇偶性,要注意定义域必须关于原点
对称,有时还要对函数式化简整理,但必须注意使

定义域不受影响.

[ 问 题 4]

lg?1-x ? f(x) = 是 ________ 函 数 ( 填 |x-2|-2
2

“奇”“偶”或“非奇非偶”).

?1-x2>0, 解析 由? 得定义域为(-1,0)∪(0,1), ?|x-2|-2≠0

lg?1-x ? lg?1-x ? f(x)= = . -?x-2?-2 -x
∴f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数.
答案 奇

2

2

5.弄清函数奇偶性的性质 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同;偶函数在关于原点对称的区

间上若有单调性,则其单调性恰恰相反.
(2)若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).

(3)若奇函数f(x)的定义域中含有0,则必有f(0)=0.
故 “f(0) = 0” 是 “f(x) 为奇函数 ” 的既不充分也不 必要条件.

? 2 ? [问题 5] 设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,且在 x=0 处 ? ?

有意义,则该函数为(

)

A.(-∞,+∞)上的减函数 B.(-∞,+∞)上的增函数 C.(-1,1)上的减函数 D.(-1,1)上的增函数

解析 由题意可知f(0)=0,即lg(2+a)=0, 解得a=-1,

1+x 故 f(x)=lg ,函数 f(x)的定义域是(-1,1), 1-x 1+x 在此定义域内 f(x)=lg =lg(1+x)-lg(1-x), 1-x
函数y1=lg(1+x)是增函数,函数y2=lg(1-x)是减函数,
故f(x)=y1-y2是增函数.选D. 答案 D

6.求函数单调区间时,多个单调区间之间不能用符
号“∪”和“或”连接,可用“及”连接,或用“,

” 隔开 . 单调区间必须是 “ 区间 ” ,而不能用集合
或不等式代替.

1 (-∞,0), [问题 6] 函数 f(x)= 的减区间为___________ x __________.
(0,+∞)

7.求函数最值(值域)常用的方法:
(1)单调性法:适合于已知或能判断单调性的函数.

(2)图象法:适合于已知或易作出图象的函数.
(3) 基本不等式法:特别适合于分式结构或两元的

函数.
(4)导数法:适合于可导函数. (5)换元法(特别注意新元的范围).

(6)分离常数法:适合于一次分式. (7) 有界函数法:适用于含有指数函数、对数函数 或正、余弦函数的式子 . 无论用什么方法求最值, 都要考查“等号”是否成立,特别是基本不等式法, 并且要优先考虑定义域.

2 [问题 7] 函数 y= x (x≥0)的值域为________. 2 +1 y 解析 方法一 ∵x≥0,∴2 ≥1,∴ ≥1, 1- y 1 解得 ≤y<1. 2
x ?1 ? ? ? ∴其值域为 y∈? ,1?. ?2 ?

x

1 方法二 y=1- x ,∵x≥0, 2 +1
1 1 ∴0< x ≤ , 2 +1 2
?1 ? ? ? ∴y∈? ,1?. ?2 ?

答案

?1 ? ? ? ? , 1? ?2 ?

8.函数图象的几种常见变换
(1) 平移变换:左右平移 ——“ 左加右减 ”( 注意是 针对x而言);上下平移——“上加下减”. (2)翻折变换:f(x)→|f(x)|;f(x)→f(|x|). (3) 对称变换:①证明函数图象的对称性,即证图 象上任意点关于对称中心 (轴)的对称点仍在图象上;

②函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点成中心 对称; ③函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于直线x=0 (y轴) 对称;函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线 y=0(x轴)对称.

[问题8]

[0,1), 函数y=|log2|x-1||的递增区间是______

____________. [2,+∞)

?|log2?x-1?|?x>1?, 解析 ∵y=? ?|log2?1-x?|?x<1?,

作图可知正确答案为[0,1),[2,+∞).

9.有关函数周期的几种情况必须熟记:(1)f(x)=f(x+ 1 a)(a>0), 则 f(x)的周期 T=a; (2)f(x+a)= (f(x)≠0) f?x? 或 f(x+a)=-f(x),则 f(x)的周期 T=2a.

[问题 9] 对于函数 f(x)定义域内任意的 x,都有 f(x 1 +2)=- ,若当 2<x<3 时,f(x)=x,则 f(2 012.5) f?x?
2 - 5 =________.

10.二次函数问题 (1) 处理二次函数的问题勿忘数形结合 . 二次函数在闭 区间上必有最值,求最值问题用“两看法”:一看开 口方向,二看对称轴与所给区间的相对位置关系. (2)二次函数解析式的三种形式: ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);

②顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);
③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

(3)一元二次方程实根分布:先观察二次系数,Δ与
0 的关系,对称轴与区间关系及有穷区间端点函数

值符号,再根据上述特征画出草图.
尤其注意若原题中没有指出是“二次”方程、函数

或不等式,要考虑到二次项系数可能为零的情形.

[问题10]

若关于x的方程ax2-x+1=0至少有一个

? ? 1 正根,则a的范围为__________. ? ? ?-∞, ? 4? ?

11.(1)对数运算性质 已知 a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0. 则 loga(MN)=logaM+logaN, M loga =logaM-logaN,logaMn=nlogaM, N logbN 对数换底公式:logaN= . logba n 1 log N = logaN;logab= 推论: . a m logba
n
m

(2)指数函数与对数函数的图象与性质

可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考
虑,特别注意底数的取值对有关性质的影响,另外,

指数函数y=ax的图象恒过定点 (0,1),对数函数 y=
logax的图象恒过定点(1,0).

[ 问 题 11]

函 数 y = loga|x| 的 增 区 间 为

_____________. 答案 当a>1时,(0,+∞);
当0<a<1时,(-∞,0)

12.幂函数

形如y=xα(α∈R)的函数为幂函数.
(1)①若α=1,则y=x,图象是直线.

②当 α = 0 时, y = x0 = 1(x≠0) 图象是除点 (0,1) 外的
直线.

③当 0<α<1 时,图象过 (0,0) 与 (1,1) 两点,在第一象
限内是上凸的.

④当α>1时,在第一象限内,图象是下凸的.

(2)增减性:①当α>0时,在区间(0,+∞)上,函数
y=xα是增函数,②当α<0时,在区间(0,+∞)上,

函数y=xα是减函数.
1 2
?1 ? ? ?x -? ? 的零点个数为( B ?2 ?

[问题 12] 函数 f(x)= x A.0 B.1

)

C.2

D.3

13.函数与方程 (1)对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x) 的零点.事实上,函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的

实数根.
(2)如果函数y= f(x)在区间[a, b]上的图象是一条连续

曲线,且有 f(a)f(b)<0 ,那么函数 y = f(x) 在区间 [a , b]
内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,此时这个 c就是方程f(x)=0的根.反之不成立.

[ 问题 13]

已知定义在 R 上的函数 f(x) = (x2 - 3x +

2)· g(x) + 3x - 4 ,其中函数 y = g(x) 的图象是一条连 续曲线,则方程f(x)=0在下面哪个范围内必有实数 根( A.(0,1) ) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解析 f(x)=(x-2)(x-1)g(x)+3x-4,
∴f(1)=0+3×1-4=-1<0,f(2)=2×3-4=2>0. 又函数y=g(x)的图象是一条连续曲线, ∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点. 因此方程f(x)=0在(1,2)内必有实数根. 答案 B

14.求导数的方法 ①基本导数公式:c′=0 (c 为常数);(x )′=mx
m m- 1

(m∈Q);(sin x)′=cos x;(cos x)′=-sin x;(e )′
x

1 1 =e ; (a )′=a ln a; (ln x)′= ; (logax)′= (a>0 x xln a
x x x

且 a≠1).

②导数的四则运算:(u±v)′=u′±v′;
?u ? u′v-uv′ ? ? (uv)′=u′v+uv′;? ?′= (v≠0). 2 v ?v ?

③复合函数的导数:yx′=yu′· ux′. 如求 f(ax+b)的导数,令 u=ax+b,则 (f(ax+b))′=f′(u)· a.
e ? x - 1 ? x e 2 x [问题 14] f(x)= ,则 f′(x)=________. x
x

15. 利用导数判断函数的单调性:设函数 y = f(x) 在

某个区间内可导,如果f′(x)>0,那么f(x)在该区间
内为增函数;如果f′(x)<0,那么f(x)在该区间内为

减函数;如果在某个区间内恒有 f′(x) = 0 ,那么
f(x)在该区间内为常函数. 注意:如果已知 f(x) 为减函数求字母取值范围,那 么不等式 f′(x)≤0 恒成立,但要验证 f′(x) 是否恒 等于0.增函数亦如此.

[问题15]

函数f(x)=ax3-x2+x-5在R上是增函数,

1 则a的取值范围是________. a≥ 3
解析 f(x)=ax3-x2+x-5的导数f′(x)=3ax2-2x+1.

?a>0, 1 由 f′(x)≥0,得? 解得 a≥ . 3 ?Δ=4-12a≤0,

1 2 a= 时, f′(x)=(x-1) ≥0, 且只有 x=1 时, f′(x)=0, 3
1 ∴a= 符合题意. 3

16. 导数为零的点并不一定是极值点,例如:函数
f(x)=x3,有f′(0)=0,但x=0不是极值点.

14 13 x= 1 [问题 16] 函数 f(x)= x - x 的极值点是________. 4 3

17.定积分 运用微积分基本定理求定积分
b ? af(x)dx

值的关键是用求导

公式逆向求出 f(x)的原函数,应熟练掌握以下几个公式:
b n ?ax dx=

x b |a, n+ 1

n+ 1

b b ?asin xdx=-cos x|a,

b b ?acos xdx=sin x|a, b1 b ?a dx=ln x|a(b>a>0),

x

b x ?aa dx=

a b |a. ln a

x

2 1 2 3 [问题 17] 计算定积分 ? ( x + sin x )d x = ________. 1 -
解析
1 2 ?-1(x +sin x)dx= ?x3 ?? 2 ? ? ?1 ? -cos x? ?-1= . ?3 ?? 3

易错警示 ? 易错点1 ? 易错点2 ? 易错点3 ? 易错点4 ? 易错点5 函数概念不清致误 忽视函数的定义域致误 混淆“切点”致误 极值的概念不清致误 错误利用定积分求面积

易错点1 函数概念不清致误

x 例 1 已知函数 f(x -3)=lg 2 ,求 f(x)的定义域. x -4
2

2

x 错解 由 2 >0,得 x>2 或 x<-2. x -4
∴函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-2}.

2

找准失分点

x 错把 lg 2 的定义域当成了 f(x)的定义域. x -4 2 x 2 正解 由 f(x -3)=lg 2 , x -4
设x2-3=t,则x2=t+3,

2

t+3 因此 f(t)=lg . t-1 2 x 2 ∵ 2 >0,即 x >4,∴t+3>4,即 t>1. x -4
∴f(x)的定义域为{x|x>1}.

易错点2 忽视函数的定义域致误

例 2 判断函数 f(x)=(1+x)
错解 因为 f(x)=(1+x) = 1- x ,
2

1- x 的奇偶性. 1+ x
1- x 2 ?1+x? 1+ x

1- x = 1+ x

所以 f(-x)= 1-?-x? = 1-x =f(x),
所以 f(x)=(1+x) 1- x 是偶函数. 1+ x

2

2

找准失分点

对函数奇偶性定义理解不够全面,事实上对定义域 内任意一个x,都有f(-x)=f(x),或f(-x)=-f(x).

正解 f(x)= (1 + x) ≥0?-1<x≤1,

1- x 1- x 有意义时必须满足 1+ x 1+ x

即函数的定义域是 {x|- 1<x≤1} ,由于定义域不关
于原点对称,

所以该函数既不是奇函数也不是偶函数.

易错点3 混淆“切点”致误

例3 求过曲线y=x3-2x上的点(1,-1)的切线方程.
错解

∵y′=3x2-2,

∴k=y′|x=1=3×12-2=1, ∴切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.

找准失分点

错把(1,-1)当切点. 正解 设P(x0,y0)为切点,则切线的斜率为
2 y′| x ? x0 =3x0-2.

∴切线方程为 即

2 y-y0=(3x0-2)(x-x0),

3 2 y-(x0-2x0)=(3x0-2)(x-x0).

又知切线过点(1,-1),把它代入上述方程,得
3 2 -1-(x0-2x0)=(3x0-2)(1-x0),

整理,得(x0-1)2(2x0+1)=0,

1 解得 x0=1,或 x0=- . 2
故所求切线方程为y-(1-2)=(3-2)(x-1),

1 3 1 或 y-(- +1)=( -2)(x+ ), 8 4 2
即x-y-2=0,或5x+4y-1=0.

易错点4 极值的概念不清致误

例4

已知f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为

10,则a+b=________.

错解

- 7或 0

找准失分点

x=1是f(x)的极值点?f′(1)=0;
忽视了“f′(1)=0 正解 x=1是f(x)的极值点”的情况.

f′(x)=3x2+2ax+b,由x=1时,函数取得

极值10,得

? ① ?f′?1?=3+2a+b=0, ? 2 ? ?f?1?=1+a+b+a =10, ②

?a=4, ?a=-3, 联立①②得? 或? ?b=-11, ?b=3.
当a=4,b=-11时,

f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1)
在x=1两侧的符号相反,符合题意. 当a=-3,b=3时, f′(x)=3(x-1)2在x=1两侧的符号相同,

所以a=-3,b=3不符合题意,舍去.

综上可知a=4,b=-11,∴a+b=-7.
答案 -7

易错点5 错误利用定积分求面积

例5

求曲线y=sin x与x轴在区间[0,2π]上所围部分的

面积S.

错解 分两部分,在[0,π]上有

π ? 2π] 0 sin xdx=2,在[π,

2π 上有 ? π sin xdx=-2,因此所求面积 S=2+(-2)=0.

找准失分点

面积应为各部分的绝对值的代数和,也就是第二部

分的积分不是阴影部分的面积,而是面积的相反数.
所以,不应该将两部分直接相加.

正解
答案

? 2π ? π ?? sin xdx? S=?0sin xdx+? π ? =2+2=4.

4

查缺补漏

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1.(2014· 北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函 数的是( A.y= x+1 C.y=2
-x

) B.y=(x-1)
2

D.y=log0.5(x+1)

查缺补漏

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解析 A 项,函数 y= x+1在[-1,+∞)上为增函数,所 以函数在(0,+∞)上为增函数,故正确;
B项,函数 y= (x-1)2在 (- ∞, 1)上为减函数,在 [1,
+∞)上为增函数,故错误;

1x C 项,函数 y=2 =( ) 在 R 上为减函数,故错误; 2
-x

D项,函数 y= log0.5(x + 1) 在 (- 1 ,+ ∞) 上为减函数, 故错误. 答案 A

查缺补漏

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1 2.(2014· 山东)函数 f(x)= 的定义域为( 2 ?log2x? -1
? ? 1 ? ? A.?0, ? 2? ? ? ? 1 ? ? C.?0, ?∪(2,+∞) 2? ?

)

B.(2,+∞)
? ? 1 ? ? D.?0, ?∪[2,+∞) 2? ?

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?x>0, 解析 由题意知? 2 ??log2x? >1,

1 解得 x>2 或 0<x< .故选 C. 2
答案 C

查缺补漏
A.0.83>0.73

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3.下列各式中错误的是( C ) B.log0.50.4>log0.50.6 C.0.75-0.1<0.750.1 D.lg 1.6>lg 1.4 解析 构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于A, 构造幂函数y=x3,为增函数,故A对; 对于B、D,构造对数函数y=log0.5x为减函数,y=lg x 为增函数,B、D都正确;

对于C,构造指数函数y=0.75x,为减函数,故C错.

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4.函数f(x)=-1 +log2x的一个零点落在下列哪个区 间( B A.(0,1) )

x
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

解析 根据函数的零点的存在性定理得f(1)f(2)<0.

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5.(2014· 天津)函数f(x)= log1 (x2-4)的单调递增区间
是( )
2

A.(0,+∞)
C.(2,+∞)

B.(-∞,0)
D.(-∞,-2)

查缺补漏

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解析 因为y= log1 t在定义域上是减函数,
2

所以求原函数的单调递增区间, 即求函数t=x2-4的单调递减区间, 结合函数的定义域,可知所求区间为(-∞,-2).

答案 D

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2 ? ?x +1,x>0, 6.(2014· 福建 )已知函数 f(x)=? 则下列 ? ?cos x,x≤0,

结论正确的是( A.f(x)是偶函数 C.f(x)是周期函数

) B.f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞)

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?x2+1,x>0, 解析 函数 f(x)= ? 的图象如图所示, ?cos x,x≤0

由图象知只有D正确.

答案 D

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7.已知函数 f(x)的定义域为 R,其导函数 f′(x)的图象如图所示,则对于任意 x1, x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是( ①f(x)<0 恒成立; ②(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]<0; )

查缺补漏

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③(x1-x2)· [f(x1)-f(x2)]>0; x1+x2 f?x1?+f?x2? ④f( )> ; 2 2 x1+x2 f?x1?+f?x2? ⑤f( )< . 2 2 A.①③ C.②④ B.①③④ D.②⑤

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解析

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由函数f(x)的导函数的图象可得,函数f(x)是

减函数,且随着自变量的增大,导函数越来越大, 即函数 f(x) 图象上的点向右运动时,该点的切线的 斜率为负,且值越来越大,

由此可作出函数f(x)的草图如图所示,

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f?x2?-f?x1? x1+x2 f?x1?+f?x2? 由图示可得 <0 且 f( )< , 2 2 x2-x1
由此可得结论中仅②⑤正确,故应选D. 答案 D

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8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函 数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是________. (-2,2) 解析 因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)=f(|x|). 因为f(x)<0,f(2)=0.所以f(|x|)<f(2). 又因为f(x)在(-∞,0]上是减函数, 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数, 所以|x|<2,所以-2<x<2.

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? ?log2x ?x>0?, 9.已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 ? ?3 ?x≤0?

f(x)+x-a=0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值 范围是________.

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解析 方程f(x)+x-a=0的实根也就是函数 y=f(x)与y=a-x的图象交点的横坐标,如图 所示, 作出两个函数图象,显然当a≤1时,两个函数图象有两个

交点,
当a>1时,两个函数图象的交点只有一个. 所以实数a的取值范围是(1,+∞). 答案 (1,+∞)

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10.(2014· 江 苏 ) 已 知 函 数 f(x) = x2 + mx - 1 , 若 对 于 任 意 x∈[m , m + 1] ,都有 f(x)<0 成立,则实数 m 的取值范围是

________. 2 (- ,0) 2

解析 作出二次函数 f(x)的图象,对于任意
? ?f? m?<0, x∈[m,m+1],都有 f(x)<0,则有? ? ?f? m+1? <0, ?m2+m2-1<0, ? 2 即? 解得- < m <0. 2 ? 2 ?? m+1? +m? m+1?-1<0,

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11.f(x)= x(x-c)2在x=2处有极大值,则常数 c的值为
________. 解析 f(x)=x3-2cx2+c2x,f′(x)=3x2-4cx+c2, f′(2) = 0?c = 2 或 c = 6. 若 c = 2 , f′(x) = 3x2 - 8x + 4 ,

2 2 令 f′(x)>0?x< 或 x>2,f′(x)<0? <x<2, 3 3

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2 2 故函数在 (-∞, )及 (2,+∞)上单调递增,在 ( , 3 3 2)上单调递减,
∴x=2是极小值点,故c=2不合题意, 同样验证可知c=6符合题意. 答案 6

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x- 1 12.已知函数 f(x)=ln(ax)(a≠0,a∈R),g(x)= . x x+ 1 (1)当 a=1 时,记 φ(x)=f(x)- ,求函数 φ(x)的 x- 1 单调区间;

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x+ 1 x+ 1 解 当 a=1 时,φ(x)=f(x)- =ln x- , x- 1 x- 1 x +1 1 2 则 φ′(x)= + 2= 2. x ?x-1? x?x-1?
因为x>0且x≠1,所以φ′(x)>0.
2

故函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1,+∞).

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(2)若f(x)≥g(x)(x≥1)恒成立,求实数a的取值范围.

x- 1 解 因为 ln(ax)≥ 对 x≥1 恒成立, x x- 1 所以 ln a+ln x≥ , x 1 即 ln a≥1- -ln x 对 x≥1 恒成立. x 1 1 1 令 h(x)=1- -ln x,则 h′(x)= 2- , x x x

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因为x≥1,故h′(x)≤0. 所以h(x)在区间[1,+∞)上单调递减, 由ln a≥h(x)max=h(1)=0,解得a≥1.

故实数a的取值范围为[1,+∞).


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