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立体几何专题之向量解决线线、线面、面面所成角(1)


线线、线面、面面的所成角

一、概念

1.两条异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点o,作直线 a’、b’,并使a’//a,b’//b,我们把直线a’和b’所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
O是空间中的任意一点

点o常取在两条异面直线中的一条上
b

bˊ θ aˊ

o

.

o
α
a

一、概念 2.直线与平面所成的角
平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角,叫 做这条直线和这个平面所成的角,特别地,若L?α则L与α ? L与α所成的角是0? 所成的角是直角,若L//α或 L α,则 的 角。 A L

o

θ B

α

一、概念 3.二面角及它的平面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以 二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

A
α O L β B

1.利用向量可处理线线角问题

a

.
b

O

b

? a, b ? 等于异面直线a与b的所成角或补角

例1.已知两条异面直线所成的角为θ,在直线a、b上分别取E、F, 已知A’E=m,AF=n,EF=l,求公垂线A A′的长d.

2.利用法向量可处理线面角问题 设 ? 为直线与平面 ? 所成的角,? 为直线的方向向量 ? 与平面 ?
的法向量 n 之间的夹角,则有? ?

? (图1)或 ? 2) ? ? ? (图 ? ?? 2 2

v
ω θ α
图1

n
α

v
θ ω

图2

l

l

特别地

??0 时

? 当 ? ? 时 , ? ?0 2

? ?? 2

n


l ??

; 或

l ??

l // ?

例2:如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,底面是等腰直角三 ?ACB ? 90 ? ,侧棱 AA1 ? 2 ,D,E分别是CC1与A1B的中点, 角形, 点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.求A1B与平面ABD所成 , 角的大小的余弦值.
z
C1 A1 E G D C B B1

x

A

y

由cos ? GE , BA1 ??

GE ? BA1 | GE | ? | BA1 |

?

4 3 6 ?2 3 3

2 ? 3

3.利用法向量可处理二面角问题
例3: 已知△ABC及平面ABC外一点D的坐标分别为 A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(1,2,2)、D(2,2,0), 求二面角C-AB-D的大小。 分析:先求平面ABC与平面ABD的法向量:

n?

n? ?
n ? n? ? 再cos?n ,n ? ? n n? 求

最后求得二面角C-AB-D的大小为: 45°

练习: 如图,设△ABC和△DBC所在的两平面互相垂直,且

AB=BC=BD, ∠CBA= ∠CBA=120°
(1) A、D的连线和平面BCD所成的角; (2) A、D的连线和直线BC所成的角; (3) 二面角A-BD-C的余弦值.
D

A

B C


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