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高中数学集合的概念必修一


李敏 2014.6.18

德国数学家,集合论的 创始者。1845年3月3 日生于圣彼得堡(今苏 联列宁格勒),1918 年1月6日病逝于哈雷。
康托尔

学习目标 1.了解集合的含义以及集合中元素的确定性、互异性与无序性.

2.掌握元素与集合之间的属于关系并能用用符号表示.
3.掌握常用数集及其专用符号,学会使用集合语言叙述数学问

题.
4.掌握集合的表示方法:集合语言 (列举法、描述法 ),并能相 互转换.能选择适当的方法表示集合.

初中学习了哪些集合的实例
数集 自然数的集合;

有理数的集合;
不等式x-7<3的解的集合… 点集 圆(到一个定点的距离等于定长的点的集合); 线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点

的距离相等的点的集合)。

“请我们班所有的女生起立!”,咱们班所有的 女生能不能构成一个集合? “请我们班身高在1.70米的男生起立!”,他们 能不能构成一个集合? 其实,生活中有很多东西能构成集合,比如新华 字典里所有的汉字可以构成一个集合等等。大家 能不能再举一些生活中的实际例子呢?

集合的概念

一般地,指定的某些对象的全体称为集合。集合通常用 大写字母A,B,C,D,…标记。集合中的每个对象叫做这个 集合的元素。元素通常用a,b,c,d,…标记。
思考:

(1)世界上最高的山能不能构成集合? (2)世界上的高山能不能构成集合? (3)由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素? (4)由实数1、2、3、1组成的集合记为A,由实数3、 1、2、组成的集合记为B,这两个集合相等吗?

确定性:给定的集合,它的元素必须是确定
的,也就是说给定一个集合,那么任何一个元素在 不在这个集合中就确定了

互异性:一个给定的集合中的元素是互不相 同的,即集合中的元素不能相同。 无序性:集合中的元素是无先后顺序的,即
集合里的任何两个元素可以交换位置
这些性质都是从概念中得到的,概念是知识的生长点,思维的发源地.

判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:

(1) 大于3小于11的偶数;

(2) 我国的小河流.

集合相等:只要构成这两个集合的元素 是一样的,则这个集合是相等的。 例:{两边相等的三角形}和{等腰三角形}

问题
如果用A表示高一(3)班学生组成的集合,a表示高
一(3)班的一位同学,b表示高一(4)班的一位同 学,那么a、b与集合A分别有什么关系?由此看出元 素与集合之间有什么关系?

元素与集合的关系

由于集合是一些确定对象的集体,因此可以看成 整体,通常用大写字母A,B,C等表示集合.而用 小写字母a,b,c等表示集合中的元素. 元素与集合的关系有两种: 如果a是集A的元素,记作:

a? A 如果a不是集A的元素,记作:a ? A
例如,用A表示“ 1~20以内所有的质数”组 成的集合,则有3 ?A,4 ?A,等等。

? ?

常用的数集
数集 自然数集(非负整数集) 正整数集 整数集 符号 N N* 或 N+ Z

有理数集
实数集

Q
R

判断0与N,N*,Z的关系? 课堂练习P5 第1题 解析:判断一个元素是否在某个集合中,关键在于 弄清这个集合由哪些元素组成的.

集合的表示方法 问题 (1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合? (2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集 合? {太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} {1,-2} 把集合中的元素一一列举出来 ,并用花括号{}括起来表示 (注意:元素与元素之间用逗号隔开) 集合的方法叫做列举法. 例1 用列举法表示下列集合: 一个集合中的元素 (1)小于10的所有自然数组成的集合; 的书写一般不考虑 2 (2)方程 x ? x 的所有实数根组成的集合; 顺 序 ( 集 合 中 元 素 的无序性). (3)由1~20以内的所有素数组成的集合. 解:(1)A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)B={0,1}. (3)C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 1.确定性 2.互异性

3.无序性

集合的表示方法
(1) 您能表示 小于10的正偶数的集合吗? (2) 您能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗? 不能一一列举
(请阅读课本P4例1前的内容)

{ x ? R | x ? 10}

? { x | x 2 ? 2 ? 0}
? ﹨ { x | 10 ? x ? 20}

集合的表示方法
练习 (1) 用列举法表示下列集合
① A ? { x ? N | 0 ? x ? 5} ② (2) 用描述法表示下列集合 ① {1,-1} ② 大于3的全体偶数构成的集合.
B ? {x | x 2 ? 5x ? 6 ? 0}

列举法主要针对集合中元素个数较少的情况 ,而描述法 主要适用于集合中的元素个数无限或不宜一一列举的 情况.
练习 P5 练习第2题

一般地,我们把含有有限个元素的集合叫做有 限集,如集合 A ? {?2,3} ;含无限个元素的集合叫 无限集,如整数的集合Z. 2 x ? 2 ? 0 在实数集R内无解,因此, 由于方程 它的实数解组成的集合 {x ? R | x2 ? 2 ? 0} 中没有任何元素,我们把不含有任何元素的集合 叫做空集,记做?。

基础练习 1.填空题 ⑴现有:①不大于 3 的正有理数.②我校高一年级 所有高个子的同学.③全部长方形.④全体无实根 的一元二次方程.四个条件中所指对象不能组 ② 成集合的___. ⑵设集合A={-2,-1,0,1,2},B={ x ? A时代数 2 {3,0,-1} 式 x ? 1 的值}.则B中的元素是_____

2.选择题 ⑴ 以下说法正确的( C )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}或{所有实数} (B) {a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合 (C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组 成一个集合,因为其元素不确定
2 0 , a , a ? 3a ? 2 }中的元素, ⑵ 已知2是集合M={ 则实数 a为( c )

(A) 2

(B)0或3

(C) 3

(D)0,2,3均可

(3)下列四个集合中,不同于另外三个的是: A.﹛y︱y=2﹜ B. ﹛x=2﹜ C. ﹛2﹜ D. ﹛x︱x2-4x+4=0﹜ (4) 由实数x, -x, x 2 , |x|, ? 3 x 3 所组成的集合 中,最 多含有的元素的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5

?x ? y ? 2 (1)方程组 ? 的解集用列举法表示 ?x ? y ? 5
为_______;用描述法表示为
(2)集合 {( x, y) | x ? 用列举法表示为

3.填空

.

y ? 6, x ? N , y ? N}
.

能力提高题
1. 用描述法表示下列集合 ①{1,4,7,10,13} ②{1/3,1/2,3/5,2/3,5/7}. 解: ①{x|x=3n-2, n ∈ N*且n≤5}
n ② {x|x= n ? 2

, n ∈ N*且n≤5}

2.用列举法表示下列集合:
6 (1)A=﹛x∈N︱1 ? x∈Z﹜
6 B=﹛1 ? x∈N

(2)

︱ x∈ Z ﹜

3. 求集合{3 ,x , x2-2x}中,元素x应满足的条件。

4. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.

回顾交流
今天我们学习了哪些内容?
集合的含义

集合元素的性质:确定性,互异性,无序性
元素与集合的关系: ?, ? 常用数集及其表示 集合的表示法:列举法、描述法

第11页

习题1.1 A组 第1、2、3、4题


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