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一道不等式证明题的证明思路及方法


小 学数 拳 高 中版 中 二 }

#

#

#

解题 研 究

,

,

2 0 8年



一 1 2期

!


道 不 等 式 证 明 题 的证 明 思 路 及 方 法
湖北 省 郑 州 市梁子湖 高中 ( 4 3 6 0 鄂 州 市太 和 中学 (4 3 6 6 0 0 )
60 )

年 祥国 柯 海军

题目
e
Z

已知
1
.

"

,

6
+

,

"

,

J

都是 正 数 且
1
,
.

,

a

,

+

, b



l

,

说明 此题也可 由 矿 扩


:

"

,

+





l

,

护+ 扩



1 相加
"
2

,


,

+

d 2

=

求证

: a c

6d -

扩 矛

+ 2

扩 矛 b Z

+

=

2

,

再运用基本不等式 矿
,

+

2 Za c

这是一道常见而 又 典型的题 目 题 目的证 明难度 不大 但它蕴含 的数学思想及方法却较 为丰富
思 路 分析 1
,
.

+

d 来证明

证 明 (过程 略 )
a ,

.

思路分析 3


因为
o s
Z

+

, 6



l

,

eZ +

2 d
,

=

l

与三

根据 题 目 矿
.

+



,

"

,

+

c 矛及 a

d b

角恒等式 1 矿

5

/

十 "

a

=

1 的结构相 同
.

所 以 可 考虑

的结构
因 式 (a

,

: 联想到初 中 一 道 典 型的 因 式分 解题 目

分解

运 用 三 角代换 的方 法 进行 证 明

"

+
.

6d
+

)

.

+
"

(


"

d


.

" b

)

.

由于其 因 式分解 的结果 (
" ,

证明 扩
a
,

4
a


=

a

,

6
n

,

"

,

J

是正数 且
e o s

,

a

Z

+

, 6

=

l
e o

,

e Z

+

(二

+

石 己)

(

-

" 吞

)



+

6

,

)(
,

" ,

+

2 ) 与这道 d

=

l

,

可令
/"
U
,

s

i

a

,

b



a

,

e



5

1 明

,

d



明 且

,

不 等式证 明题 的结构联 系非常 密切 于 是考虑运 用 因
.

~

, T

\
#

式分解 的方 法 进行 证 明 证明
二 二 " 二
" ,

p



气 了 )
a e

l
+

-

:
2

(a
云扩

e

+ +

bd
a Z

)
Z

.

+ +

(

+

a

-



6e

)

2



+

占 d

=

s

in

a

s

i 明


+

e o sa

e o



a Z e Z

d

2e 2



e o s

(

a

口)

(

1

.

(
a ,

" ,

+

2 )+ d )(
二 "
,

6,
+
, 以

(

" ,

d 2 )
l

,
-

思路 分 析
#

4

因 为 著 名 的
.



西 不 等 式

(
,

+ +

b, b,

)
, 以

,


,

l

,

e ,

+



艺时 艺时 二 ( 艺动
i二 l
二 艺

) 的左 边 为平 方和 的积 的
,

1

1二

l

(

a

e

+

6d
< a
a
,

)

.



l d



(a
1
, ,

d

6e

)

2

.

形式 右边为积的和 的 平 方形 式 因 此考 虑 运 用 柯 西
.

,


,



0

b


,

c

,

< <

不 等式进 行证 明
a
"

o 蕊

(
+

J 6-

e 吞

)

.

1

+

-J

>

0
.

.

,

(

a

"

)

2

毛 x

,


,

a "

+

6d 鉴 1
.

证明 得 (a
,

5
, 6

#

由柯西不等式 艺嘴
i


1

i 艺时二 ( 艺 a
1二 l
, 己 二

止 , 6 )

1

,

+

在此证法 的启示下 又 可得 到下面的证 明方法 证明
,
a Z

)(
62
a c

" ,

+

矛)
l
,

)
+

(
dZ l
,

"

"

+

- 岔 ).
,



a

,

6

,

"

,

J

为正

2
+

,

(
b

a

J



6
a

e

)
e

2

)

o

,

数 且

a

Z

+

=

e Z

=

l
a e


dZ
,

Z" 2

李 Z 石 .d
+

所以 (
a Z

+

6d

)

2




,

+

占 d 续 1
,

.

,
,

a Z

+

a

Z e Z

62 e
+

2

+

62 d2 2 )
, 己

e

Z

+

2 Za 6 e d + 占 d2

.

思路分析
z 份

5

" 因 为 ,a 6 ,d 为 正 数 所 以 a c



拟 -

(
,
.

"

+ a
Z


+

,

)(
.

" ,

扩)
,

(
"
,

" "

+

占 己)
a e

.

.

[2 (
" ,

a "

+

占J

)}
"

2

a ,

4骨
+

[2 (
=

a

"

+

占J
+

)2 2 d
=

2



4

(

a ,

+


:

2 占



l

e,

+



l
,

,

+

bd

>

0
,

,

6,

)(

+

, 己

)落

(因

-2
,

l

,

e Z

l

) 这 与根

(c a
+

+

d ) b

鉴 1 又
.

.

,

-

"

,

d 都是正数

的判别式
_
,

v 感 0
.

的结构相似 于是 可 考虑 构造 二 次 函

:

.

bd 鉴 1
a Z

数进行 证 明
+
e
_

思 路分析 2

由于

a "

-



.





证明 ( f
,
:

6


构造二次 函数 (

a ,

)

万 一一




)
x

+

, 6

)
e

x Z

+

2

(

a "

+

6J J

)

x

+

"

2

+

J,

.

是 可 考 虑运 用 基本 不 等式的方 法 进行 证 明
a Z

( f

)
+

(
=

a x

+

)
o

2

+

(占
" 2

x

+

)
=
, 6

2

) 1
.

o

恒成立
+
, 己

,

+

e
,

,

,

_

证明
,
a

3



c a
a

b

Z


Z

" "



-

扩 了-

+

.


,

a Z

, 6

l
+

>

,


.

+
a ,


+

v
+

=

+

e 2

+

bZ

+

e

+

bd 鉴




[2 (

a e

bd

)]



4

(

)(

e ,

)

-

o

,

2
,

即 (

a "

占 岔 ).
.

鉴 1
+

.


,




+



2

e Z

+

JZ L

=



:

c a

bd

>

0

,

,

c a

+

b d

簇 1

1

.

a e

6d 城

l

=

思 路分析 6

由 向量 不 等式

a l
.

l

b l

2 !

a

#



,

可 考虑 用 构 造 向量 的 方 法 进行 证 明

90

2 0 8年


7
a

一2 1 期

一 解 题研究
=

扫 }
#

!

学数 今 高中版 旧.
,

证明 则
l


! l

a

(a
l
a
#

,

b

)
,

,

b

=

(

e

,

d

)

,

,



#

b l

2
+

b } l


+



a
"

/

+

S 二


+

, ,




.

!



,

+

#


.

护 了
a
,



)

a"
,

bd }
+

,

6d



s

in o 共 1


, a

:

b

,

"

,

d 都是 正 数 1
.

且矿





1

,

挤+ 扩

=

l

,

思 路分析 拍
a
,

由 已 知条件 矛
>


a

,

b b d
,

,

,

都是 正 数 且 (
e
,

,

+

2 吞

=

l
=

,

-



l

,

知点 A (a
>

b

)

,

B

d A

) 都在 圆 ) 作 圆的

e

+

bd 城

思 路分析 7
,

因为平 面 内 任 意 两 点间的距 离 不小

弧扩
,

+



l

(

x

o y

,

0

)上

,

过点B

(或

于零 因 此可 考虑在平 面 直角 坐标 系 中 构 造 两 个 点的 坐标 运 用 两 点间 距 离公 式进行 证 明 证明 别为 (
"
, ,
.

切线 则 点 A (或
,

B

) 在 这个 圆的切线 的左 下方或切
,

线上 结合 二 元 一 次 不 等式在平 面 直角坐标 系表 示 的
区 域 与直线 的关 系 于 是 可 考虑作 单位 圆及 切 线的方
.

8
,

设平面直角 坐 标系中 A (
2

,

B 两点 的坐标分
一 "

石)

"

,

-

) 于是 l 超 l
Za
, b "

,

=

了(
2 6d


a

)
,

.

+

(6



-

)

.

法 进行 证 明

证明
,

1

作单位 圆 扩
a
,

+ e,


d



1

,

因为皿
+

,

b

,

"

,

d l

都 (
x




#



+

"

2

+

6

2



+

2 d

是正数 所 以 点 A (
> +

b

)

,

B

(

) 在 圆弧 扩
,





又气
, ,

a ,

+

=

l

,

了+
2

r
e +

l

,

0 y

,

>

1AB I 二
a e +
:


.



(
,

a

bd

)

2

0

.





l
,

,

0 上 过点 A 作圆的切线 则切线方程为 x ) a 而点 B ( ) 在直线 x d a + 妙 二 1 的左下方或
"
,

,

6d 蕊 1

c 直线上 于是 a
a e .

+



续 L

说明 受此法 的启示 可考 虑直接 构造非 负数 之 和大于或等于零 即构造 ( 明 证 明过程 略 思 路分析 s
,
.

思 路 分析 1 1
刀 ("
, ,

由思路 分析 )= )
=

10 可
< :

知点 A (
<

a

,

6

)

,

,



)

+

(石 一
,

d

)

.

)

0来 证

!

) 在 函数 ( f



万二了 ( o
二了 丫i
.

l
,

) 的 图象

因为
,

a,

+

, 6



l
,

" ,

+

, 己



l

与勾

上 且 易知 函 数 ( f



是 凸 函 数 于是 可 考

股定 理 的结构相似 又 因为 a
, ,

,

b

,

"

d

是 正 数 可 考虑构

,

虑用 凸 函 数的有关性质来 证 明
2 证明 1

造 两 个共斜边 的直角三 角形 又 对角 互 补 的 四 边 形 内 接于圆 于 是结合托莱 密定 理 可 考虑 不 等 式证 明 题 的
.

考虑 函数厂 飞 ) x
, ,



币不蕊
, ,



(o

<

:

<

) . l 由
=

,

" 已知 条 件 可 知 点 A ( a 的 B (
~

) 在函数 ( d f x )
:

几何 证 明

二 了 丁 丫
9
a
,

(0
a 一
J !

<



<

) l 的图象上 且 易知 ( f
e

) 是凸函
! 二 2
!

证明
AB
= 二

构造
BC
=

R t v A B C 和 R v AD C b CD
,

t

,

如图 l 所示
=

,

=

e

,

AD

=

d 乙 AB C

,

乙A D C

数 则有 ( f ~ 乃 曰
, 动 -

,

)


+
J

( f
!

)

!


一 了

些 叨 ) 一 ! 书 2 ,
,

,



"

+

0
,

90

/

,

勺 得 A (
a"

/


;



!
+

(罕
2


,

)
.

.

两边 平方后 再 根据 已 知等 式 化简 一 0 一 一 一
#

,

-

#

#

#

-



-

-

-

,

,



,

-

,

a "

bd 鉴 1

思 路分析 1 2
B 6

0 由 思 路分析 1
I

,

既 然 已 构造 了 点
,



2
=

"

,

) b 似

,




l
a"

A o
+

二丫 石 不了 又
!
,

,

"

b

,

"

,

d 为正

数 则
,

,

图 由 形
AB
a ,

1 b,


+

!

d b

联 想点到直线哟 距 离公 式 于 是
.

+

l

,

e,

+

d,

=

l

,

可知 注 c
.

l

,

且 四边

可 用 构造 点及 直 线 方 程 的方 法 来 证 明此 题 3 证明 1
_

C D

内接于 以 A C 为直径 的圆
BD
,

构造直 线
_
.

l
, ,

c 的方 程 x
.

+


{



O

及点
,

连结
注 护
,



BD 城 AC
,
#

由托莱密定理 得 故
d
>
a "

A B
a Z

C D
+
,

+

BC

#

A D
,



AC

#

/ 一

/

. 则点
=

,



到直线
二 h
,

_

,

. !

,

-

一 的距离 为



!

.

,

/

=

} a c

+

bd l

_

D B
l
,

蕊 l

分分
" "



+

-J 感 1

.

A o

!

思 路 分析 9
6
,

因为



=

l

e Z

+







a

,

在不了
, ,

再由 已 知条件可 得

+

b d 二 L

另外 笔者在探 索这 道不等 式证 明题 的证明思路
.

"

,

o

时与直角 三 角形联 系 密切 可 以 借 鉴 勾股 定
.

,

c 及方法 的过程 中 看 到 a
+ "

+
,

d 的结构 于 是就 思考 b b a

,

理 的 证 明方 法 例如用构造直角梯形 的方 法进行 证 明 0 证明 1
E 刀 上 BD DE
二 =
,

d与

a

"

+

d 之间的关 系 经研究发现 这道不等式证 b
:

构造如图
C
+

2
,

所示 的直角梯形 且AB
A少
二 a
,

,

A B -J B D 石
,

,

明题 可加 强 为
,




在 刀刀 边上
B护 1
+
,

BC
2

二 +

D c
= <



/

d

.

命题
e ,

已知
1
.

"

,

占" b
a "

,

,

汉 都是正数 d 簇
a "

,



a ,

+

, b



l

,

则 有 A扩
AC B D





1刃 刀

D矛
<

C矛

,

+


.



求证
+
"

: a

+

"

+

bd 落 1

.

1

,


形,

E C
s

=


sv


乙A

E c
sv



,0 有
,

0

6
a +


+

关于 b a 去探索

d鉴



拟 的证 明留给有兴趣的读者



s"

一 一

c E

+

E D c 即



(

d

)

(/

9 l


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