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3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式练习 新人教A版选修1-1


3.2.1 几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式

一、选择题 1.设 y=e ,则 y′等于( A.3e C.0 [答案] C [解析] ∵y=e 是一个常数,∴y′=0. 2.已知函数 f(x)=x 的切线的斜率等于 3,则切线有( A.1 条 C.3 条 [答案] B [解析] ∵f ′(x)=3x =3,解得 x=±1.切点有两个,即可得切线有两条. 1 3 13 1 3 3.给出下列结论:①若 y= 3,则 y′=- 4;②若 y= x,则 y′= x;③若 y= 2, x x 3 x 则 y′=-2x ;④若 f(x)=3x,则 f ′(1)=3,其中正确的个数是( A.1 C.3 [答案] B [解析] ②y′= 1 ;③y′=-2x ,所以只有①④是正确的.
-3 3 2 3 3 2 3

) B. e
2

D.以上都不是

)

B. 2 条 D.不确定

)

B. 2 D. 4

3 2 3 x 4.下列结论正确的是( ) B.若 y=cosx,则 y′=sinx 1 D.若 y= x,则 y′= x 2

A.若 y=sinx,则 y′=cosx 1 1 C.若 y= ,则 y′= 2

x

x

[答案] A 1 [解析] ∵B 项中,y′=-sinx;C 项中,y′=- 2;

x

1 D 项中,y′= ,∴选 A. 2 x 5.f(x)= 1 3 ,则 f ′(-1)=( )

x x2
5 A. 2 5 B.- 2

5 C. 3 [答案] D 5 [解析] ∵f(x)=x- , 3 5 8 ∴f ′(x)=- x- , 3 3 5 8 5 ∴f ′(-1)=- (-1)- =- . 3 3 3

5 D.- 3

6.函数 y=e 在点(2,e )处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( 9 2 A. e 4 C.e
2

x

2

)

B.2e D.

2

e2
2

[答案] D [解析] ∵y′|x=2=e , ∴切线方程为 y-e =e (x-2). 当 x=0 时,y=-e ,当 y=0 时,x=1. 1 e 2 故切线与坐标轴围成三角形面积为 ?|-e |?1= ,故选 D. 2 2 二、填空题 7.曲线 y=x 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于________. [答案] 3 [解析] y′=nx
n-1 n
2 2 2 2 2

,∴y′|x=2=n2

n-1

=12,∴n=3.

5 8 .质点沿直线运动的路程与时间的关系是 s = t ,则质点在 t =32 时的速度等于 ____________. [答案] 1 80

1 1 4 5 [解析] ∵s′=( t)′=(t )′= t- , 5 5 5 1 4 1 4 5 ∴质点在 t=32 时的速度为 ?32- = ?(2 )- 5 5 5 5 = 1 . 80

4 9.在曲线 y= 2上求一点 P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为 135°,则 P 点坐标

x

为________.

[答案] (2,1) [解析] 设 P(x0,y0),

?4? -2 -3 ∵y′=? 2?′=(4x )′=-8x ,tan135°=-1, x ? ?
∴-8x0 =-1. ∴x0=2,y0=1. 三、解答题 1 10.求证双曲线 y= 上任意一点 P 处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为定值.
-3

x

[解析] 设双曲线上任意一点 P(x0,y0), 1 ∵y′=- 2,

x

1 ∴点 P 处的切线方程 y-y0=- 2(x-x0).

x0

1 2 令 x=0,得 y=y0+ = ;

x0 x0
2

令 y=0,得 x=x0+x0y0=2x0. 1 ∴S△= |x|?|y|=2. 2 ∴三角形面积为定值 2.

一、选择题 1 3 1.(2015?北京东城区联考)曲线 y= x 在 x=1 处切线的倾斜角为( 3 A.1 π C. 4 [答案] C 1 3 [解析] ∵y= x ,∴y′|x=1=1,∴切线的倾斜角 α 满足 tanα =1,∵0≤α <π , 3 π ∴α = . 4 2.下列曲线的所有切线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是( A.f(x)=e
x

)

π B.- 4 5π D. 4

)

B.f(x)=x

3

C.f(x)=lnx [答案] D

D.f(x)=sinx

[解析] 若直线垂直且斜率存在,则其斜率之积为-1, 1 x x 3 2 ∵A 项中,(e )′=e >0,B 项中,(x )′=3x ≥0,C 项中,x>0,即(lnx)′= >0,所

x

以不会使切线斜率之积为-1,故选 D. 3.已知直线 y=kx 是 y=ln x 的切线,则 k 的值为( 1 A. 2 1 C. 1 B.- 2 1 D.- )

e

e

[答案] C 1 1 ?1 ? [解析] y′= =k,∴x= ,切点坐标为? ,1?,

x

k

?k

?

1 1 1 又切点在曲线 y=lnx 上,∴ln =1,∴ =e,k= .

k

k

e

1 4.正弦曲线 y=sinx 上切线的斜率等于 的点为( 2 π 3 A.( , ) 3 2 π 3 C.(2kπ + , ) 3 2 [答案] D

)

π 3 π 3 B.(- ,- )或( , ) 3 2 3 2 π 3 π 3 D.(2kπ + , )或(2kπ - ,- ) 3 2 3 2

1 1 [解析] 设斜率等于 的切线与曲线的切点为 P(x0,y0),∵y′|x=x0=cosx0= , 2 2 π π 3 3 ∴x0=2kπ + 或 2kπ - ,∴y0= 或- . 3 3 2 2 二、填空题 1 x 5.(2015?陕西理)设曲线 y=e 在点(0,1)处的切线与曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线

x

垂直,则 P 的坐标为________. [答案] (1,1) 1 1 x x x 0 [解析] 由于(e )′=e , ( )′=- 2, 故曲线 y=e 在点(0,1)处的切线斜率 k=e =1,

x

x

1 1 1 1 设 P(x0, ), 曲线 y= (x>0)上点 P 处的切线斜率- 2, 若两直线垂直则有 1?(- 2)=-1,

x0

x

x0

x0

解得 x0=1,故 P(1,1). 6.若曲线 y=x -1 的一条切线平行于直线 y=4x-3,则这条切线的方程为________. [答案] 4x-y-5=0
2

[解析] y′=2x,设切点为(x0,y0),则由题意可知,y′|x=x0=4,即 2x0=4,所以

x0=2,代入曲线方程得 y0=3,故该切线过点(2,3)且斜率为 4,所以这条切线方程为 y-3
=4(x-2),即 4x-y-5=0. 三、解答题 7.已知曲线 C:y=x . (1)求曲线 C 上点(1,1)处的切线方程; (2)在(1)中的切线与曲线 C 是否还有其他公共点? [解析] (1)∵y′=3x , ∴切线斜率 k=3, ∴切线方程 y-1=3(x-1), 即 3x-y-2=0.
?3x-y-2=0 ? (2)由? 3 ?y=x ?
2 3

消去 y 得,3x-x -2=0,

3

∴(x-1) (x+2)=0, ∴x1=1,x2=-2. ∴其他公共点为(-2,-8). 3π 8.已知函数 y=asinx+b 的图象过点 A(0,0),B( ,-1),试求函数在原点处的切 2 线方程. 3π [解析] ∵y=asinx+b 的图象过点 A(0,0),B( ,-1), 2 0=asin0+b ? ? ∴? 3π -1=asin +b ? 2 ? ∴y=sinx. 又∵y′=cosx,∴y′|x=0=1. ∴切线方程为 y=x.
? ?a=1 ?b=0 ?

2

,解得?

.


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