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2014·全国新课标卷2(理科数学)


2014·新课标全国卷Ⅱ(理科数学) 1. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设集合 M={0, 1, 2}, N={x|x2-3x+2≤0}, 则 M∩N=(

)

A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 1.D [解析] 集合 N=[1,2],故 M∩N={1,2}. 2.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设复数 z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i, 则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i 2.A [解析] 由题知 z2=-2+i,所以 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5. 3.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3.A [解析] 由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得 4a· b=4,所以 a· b=1. 1 4. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形 ABC 的面积是 , AB=1, BC= 2, 则 AC=( ) 2 A.5 B. 5 C.2 D.1 1 1 1 1 4.B [解析] 根据三角形面积公式,得 BA·BC·sin B= ,即 ×1× 2×sin B= , 2 2 2 2 π 2 2 得 sin B= ,其中 C<A.若 B 为锐角,则 B= ,所以 AC= 1+2-2×1× 2× =1= 2 4 2 3π AB,易知 A 为直角,此时△ABC 为直角三角形,所以 B 为钝角,即 B= ,所以 AC= 4 2? = 5. 2? 5.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概 率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气 质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 5.A [解析] 设“第一天空气质量为优良”为事件 A,“第二天空气质量为优良”为 事件 B,则 P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由题知要求的是在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的 P(AB) 0.6 概率,根据条件概率公式得 P(B|A)= = =0.8. P(A) 0.75 6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 11,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图 中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯 切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 1+2-2×1× 2×?-

?

图 11 17 5 10 1 A. B. C. D. 27 9 27 3 6. C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体, 其体积为π ×32×2+π ×22×4 3 2 3 =34π (cm ), 原毛坯的体积为π ×3 ×6=54π (cm ), 切削掉部分的体积为 54π -34π =20 20 π 10 π (cm3),故所求的比值为 = . 54π 27 7.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 执行如图 12 所示的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则

输出的 S=(

)

图 12 A.4 B.5 C.6 D.7 7.D [解析] 逐次计算,可得 M=2,S=5,k=2;M=2,S=7,k=3,此时输出 S =7. 8.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x, 则 a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1 8.D [解析] y′=a- ,根据已知得,当 x=0 时,y′=2,代入解得 a=3. x+1 ?x+y-7≤0, 9.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值

?

? ?3x-y-5≥0,

为(

) A.10 B.8 C.3 D.2

9.B [解析] 已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示,根据目标函数的 几何意义可知,目标函数在点 A(5,2)处取得最大值,故目标函数的最大值为 2×5-2=8.

10. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30° 的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( ) 3 3 9 3 63 9 A. B. C. D. 4 8 32 4 3 ? 10.D [解析] 抛物线的焦点为 F? ?4,0?,则过点 F 且倾斜角为 30°的直线方程为 y= 3? 3? 3 9 x- ,即 x= 3y+ ,代入抛物线方程得 y2-3 3y- =0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 3 ? 4? 4 4

9 9 9 1 1 3 - ?= . 3,y1y2=- ,则 S△OAB= |OF||y1-y2|= × × (3 3)2-4×? 4? 4 ? 4 2 2 4 11. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱 ABCA1B1C1 中, ∠BCA=90°, M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点,BC=CA=CC1,则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) 1 2 30 2 A. B. C. D. 10 5 10 2 11. C [解析] 如图, E 为 BC 的中点. 由于 M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, 故 MN∥B1C1 1 且 MN= B1C1,故 MN 綊 BE,所以四边形 MNEB 为平行四边形,所以 EN 綊 BM,所以直 2 1 2 线 AN,NE 所成的角即为直线 BM,AN 所成的角.设 BC=1,则 B1M= B1A1= ,所以 2 2 1 6 5 MB= 1+ = =NE,AN=AE= , 2 2 2 6 5 5 + - 4 4 4 30 在△ANE 中,根据余弦定理得 cos ∠ANE= = . 6 5 10 2× × 2 2 y1+y2=3

12. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设函数 f(x)= 3sin [f(x0)]2<m2,则 m 的取值范围是( A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

πx 2 ,若存在 f(x)的极值点 x0 满足 x0 + m

πx π 1 k+ ?,k∈Z,且极值为 12.C [解析] 函数 f(x)的极值点满足 = +kπ ,即 x=m? ? 2? m 2 2 1 1 2 1 k0+ ? +3<m2.因为?k+ ? 的最小值为 ,所以 ± 3,问题等价于存在 k0 使之满足不等式 m2? 2? ? ? 2? 4 1 只要 m2+3<m2 成立即可, 即 m2>4, 解得 m>2 或 m<-2, 故 m 的取值范围是(-∞, -2)∪(2, 4 +∞). 13. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] (x+a)10 的展开式中, x7 的系数为 15, 则 a=________. (用 数字填写答案) 1 3 3 13. [解析] 展开式中 x7 的系数为 C10 a =15, 2 1 1 即 a3= ,解得 a= . 8 2 14 . 、 [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x) = sin(x + 2φ) - 2sin φ cos(x + φ) 的最大值为 ________. 14.1 [解析] 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φ cos(x+φ )=sin[(x+φ)+φ]-2sin φ cos(x +φ)=sin(x+φ)cos φ -cos(x+φ)sin φ =sin x,故其最大值为 1. 15.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若 f(x-1) >0,则 x 的取值范围是________. 15.(-1,3) [解析] 根据偶函数的性质,易知 f(x)>0 的解集为(-2,2),若 f(x-1)>0,

则-2<x-1<2,解得-1<x<3. 16. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得 ∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________. 16. [-1, 1] [解析] 在△OMN 中, OM= 1+x2 所以设∠ONM=α, 则 45° 0≥1=ON, 2 1+x0 1 2 ≤α <135°.根据正弦定理得 = , 所以 1+x2 所以 0≤x0 0= 2sin α ∈[1, 2], sin α sin 45° ≤1,即-1≤x0≤1,故符合条件的 x0 的取值范围为[-1,1]. 17. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1? ? (1)证明?an+2?是等比数列,并求{an}的通项公式; ? ? 1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2 1? 1 17.解:(1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3? ?an+2?. 2 1? 1 3 ? 3 1 3n 又 a1+ = ,所以?an+2?是首项为 ,公比为 3 的等比数列,所以 an+ = ,因此数 2 2 2 2 2 ? ? n 3 -1 列{an}的通项公式为 an= . 2 1 2 (2)证明:由(1)知 = n . an 3 -1 - 因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1, 1 1 1 2 1 所以 n ≤ ≤ n-1. n-1,即 = n an 3 -1 3 3 -1 2×3 1 3 1 1 1 1 1 3 1- n?< . 于是 + +?+ ≤1+ +?+ n-1= ? 3 ? ? 2 a1 a2 an 3 2 3 1 1 1 3 所以 + +?+ < . a1 a2 an 2 18. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 13,四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥ 平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 DAEC 为 60°,AP=1,AD= 3,求三棱锥 EACD 的体积.

图 13 18.解:(1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO. 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点. 又 E 为 PD 的中点,所以 EO∥PB. 因为 EO?平面 AEC,PB?平面 AEC, 所以 PB∥平面 AEC. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,ABCD 为矩形, 所以 AB,AD,AP 两两垂直. → → 如图,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向,|AP|为单位 3 1 3 1 → 长,建立空间直角坐标系 Axyz,则 D(0, 3,0),E?0, , ?,AE=?0, , ?. 2 2? 2 2? ? ?

→ 设 B(m,0,0)(m>0),则 C(m, 3,0),AC=(m, 3,0). 设 n1=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量, mx+ 3y=0, → ? ? ?n1·AC=0, ? 则? 即? 3 1 → ? ?n1·AE=0, ? ? 2 y+2z=0, 3 可取 n1=? ,-1, 3?. ?m ? 又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量, 1 由题设易知|cos〈n1,n2〉|= ,即 2 3 1 3 = ,解得 m= . 2 3+4m2 2 1 1 1 因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 EACD 的高为 .三棱锥 EACD 的体积 V= × × 3 2 3 2 3 1 3 × × = . 2 2 8 19. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭人均纯收入 y(单位: 千元)的数据如下表: 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份 1 2 3 4 5 6 7 年份代号 t 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 人均纯收入 y (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: ^ b=错误!,错误!=错误!-错误!错误!. - 1 - 1 19.解:(1)由所给数据计算得 t = (1+2+3+4+5+6+7)=4, y = (2.9+3.3+3.6 7 7 +4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, 错误!(ti-错误!)(yi-错误!)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+ 1×0.5+2×0.9+3×1.6=14, ^ b=错误!=错误!=0.5, ^ - ^- a= y -b t =4.3-0.5×4=2.3, ^ 所求回归方程为y=0.5t+2.3. ^ (2)由(1)知,b=0.5>0,故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加, 平均每年增加 0.5 千元. ^ 将 2015 年的年份代号 t=9,代入(1)中的回归方程,得y=0.5×9+2.3=6.8, 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6.8 千元.

x2 y2 20. 、 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F1,F2 分别是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦 a b 点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; 4 (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|= 5|F1N|,求 a,b. b2? 2 2 2 ? c , 20.解:(1)根据 c= a -b 及题设知 M? a ?,2b =3ac. 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac, c 1 c 解得 = , =-2(舍去). a 2 a 1 故 C 的离心率为 . 2 (2)由题意知,原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 D(0, b2 2)是线段 MF1 的中点,故 =4,即 b2=4a.① a 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ? ?2(-c-x1)=c, ?x1=-2c, ? 即? ? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 2 9c 1 代入 C 的方程,得 2+ 2=1.② 4a b 9(a2-4a) 1 2 2 将①及 c= a -b 代入②得 + =1, 4a2 4a 2 解得 a=7,b =4a=28,故 a=7,b=2 7. - 21. 、[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知函数 f(x)=ex-e x-2x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值; (3)已知 1.414 2< 2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001). - 21.解:(1)f′(x)=ex+e x-2≥0,当且仅当 x=0 时,等号成立, 所以 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. - - (2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e 2x-4b(ex-e x)+(8b-4)x, - - g′(x)=2[e2x+e 2x-2b(ex+e x)+(4b-2)] -x -x x x =2(e +e -2)(e +e -2b+2). (i)当 b≤2 时, g′(x)≥0, 等号仅当 x=0 时成立, 所以 g(x)在(-∞, +∞)上单调递增. 而 g(0)=0,所以对任意 x>0,g(x)>0. - (ii)当 b>2 时,若 x 满足 2<ex+e x<2b-2,即 0<x<ln(b-1+ b2-2b)时,g′(x)<0.而 g(0) =0,因此当 0<x<ln(b-1+ b2-2b)时,g(x)<0. 综上,b 的最大值为 2. 3 (3)由(2)知,g(ln 2)= -2 2b+2(2b-1)ln 2. 2 8 2-3 3 当 b=2 时,g(ln 2)= -4 2+6ln 2>0,ln 2> >0.692 8; 2 12 3 2 当 b= +1 时,ln(b-1+ b2-2b)=ln 2, 4 3 g(ln 2)=- -2 2+(3 2+2)ln 2<0, 2 18+ 2 ln 2< <0.693 4. 28

所以 ln 2 的近似值为 0.693. 22.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 41:几何证明选讲 如图 14,P 是⊙O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与⊙O 相交于点 B,C, PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交⊙O 于点 E,证明: (1)BE=EC; (2)AD· DE=2PB2.

图 14 22.证明:(1)连接 AB,AC.由题设知 PA=PD, 故∠PAD=∠PDA. 因为∠PDA=∠DAC+∠DCA, ∠PAD=∠BAD+∠PAB, ∠DCA=∠PAB, 所以∠DAC=∠BAD,从而 BE=EC. 因此 BE=EC.

(2)由切割线定理得 PA2=PB· PC. 因为 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB. 由相交弦定理得 AD· DE=BD· DC, 2 所以 AD· DE=2PB . 23.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 44:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的 π 极坐标方程为 ρ=2cos θ ,θ ∈?0, ?. 2? ? (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y= 3x+2 垂直,根据(1)中你得到的参 数方程,确定 D 的坐标. 23.解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得 C 的参数方程为 ?x=1+cos t, ? ? (t 为参数,0≤t≤π ). ? ?y=sin t, (2)设 D(1+cos t,sin t).由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆.因为 C 在 π 点 D 处的切线与 l 垂直,所以直线 GD 与 l 的斜率相同,tan t= 3,t= . 3 π π 3 3 故 D 的直角坐标为?1+cos ,sin ?,即? , ?. 3 3? ? ?2 2 ? 24.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 选修 45:不等式选讲 1 ? 设函数 f(x)=? ?x+a?+|x-a|(a>0).

(1)证明:f(x)≥2; (2)若 f(3)<5,求 a 的取值范围. 1? ? 1 ? 1 24.解:(1)证明:由 a>0,有 f(x)=? ?x+a?+|x-a|≥?x+a-(x-a)?=a+a≥2,所 以 f(x)≥2. 1 3+ ?+|3-a|. (2)f(3)=? ? a? 1 当 a>3 时,f(3)=a+ , a 5+ 21 由 f(3)<5 得 3<a< . 2 1+ 5 1 当 0<a≤3 时,f(3)=6-a+ ,由 f(3)<5 得 <a≤3. a 2 ?1+ 5 5+ 21?. 综上,a 的取值范围是? ? , 2 ? ? 2


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