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南开中学高2017届14-15学年(下)期末试题——数学


重庆南开中学高 2017 级高一下期末考试 数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 120 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个选项符合要求) 1.已知点 A(10,1) , B (2, y ) ,向量 a ? (1, 2) ,若 AB ? a ,则实数 y 的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8

?

??? ?

?

2.已知过点 (?2,3) 可以作圆 ( x ? a)2 ? ( y ? 2)2 ? 9 的两条切线,则 a 的范围是( ) A. (??, ?3) ? (3, ??) C. (?3,3) B. (??, ?2 ? 2 2) ? (?2 ? 2 2, ??) D. (?2 ? 2 2, ?2 ? 2 2)

3.执行如右图所示的程序,若输出结果为 2,则输入的实数 x 的值是( ) A. 3 B.

1 4

C. 4

D. 2

4.已知四个条件:① b ? 0 ? a ;② 0 ? a ? b ;③ a ? 0 ? b ;④ a ? b ? 0 , 能推出

1 1 ? 成立的有( ) a b
B.2 个 C.3 个 D.4 个

A.1 个

5.直线 l 经过 (2, ?3) 和 (?10,6) 两点,则点 (?1,1) 的直线 l 的距离为( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

6 5

D.

7 5

6.已知等差数列 {an } 中, 3a5 ? 7a11 ? 5 , Sn 是 {an } 的前 n 项和,则 S9 ? S21 =( ) A.5 B.10 C.15 D.20 7.如右图所示,矩形 ABCD 和一个圆心角为 90°的扇形拼在一起,其中 AB=2, BC=AE=1,则以 AB 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体的表面积为 ( ) A.7 ? B.5 ? C.9 ? D.8 ? 8.若向量 a, b 满足: a ? 1, a ? b ? a, 2a ? b ? b ,则 b =( )

? ?

?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

?

?

A.2

B. 2

C.1

D.

2 2

9.已知数列 {an } 中, a1 ? 1 , an?1 ? 3an ? 0 , bn ? log3 an ,则数列 {an } 的前 10 项 和等于( )

1

A.10

B.45

C.55

D.39

10.若第一象限的点 ( a, b) 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,则 小值是( ) A.1 B.3 C.

1 8 ? 的最 a b

25 9

D.

17 9

11.若正实数 x , y 满足 A.9 B.12

4 6 ? ? 1 ,则 xy 的最小值是( ) 3x ? 1 y ? 4
C.15 D.18

12.已知圆 C: ( x ?1)2 ? y 2 ? 1 ,直线 l : x ? 2 y ? 5 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) 在直线 l 上,若存在圆 C 上的两点 M,N,使得∠MPN=60°,则 x0 的取值范围是( ) A. [1, 2] B. ?1,

? 13 ? ? 5? ?

C. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

D. ? ,

? 1 13 ? ?2 5 ? ?

第 II 卷(非选择题共 90 分) 二、填空题(本大题 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________

14.己知圆 O: x ? y ? 1和圆 C: x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 相交于 A、B 两点,若 | AB |?
2 2 2 2

4 5 , 5

则 m 的值是_________ 15.已知 x , y 满足 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0
2 2 ?( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1

,则 x 2 ? y 2 的取值范围是________。

16.数列 {an } 满足直线: x ? ny ? 2 ? 0 和直线: 3x ? an y ? 3 ? 0 平行,数列 {bn } 的前 n 项 和记为 Sn ,其中 bn ? 2 n ,若
a

Sn ? mbn 1 ? ,则满足条件的正整数对 ....(m, n) =_________ Sn ? mbn ?1 16

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 70 分)各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、 演算步骤或推理过程) 17.(10 分)

Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S5 ? 10 , S6 ? 15 ,
2

(1)求 {an } 的通项公式; (2) bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 10 项和. (an ? 1)(an ? 2)

18.(12 分) (1)求垂直于直线 x ? y ? 1 ? 0 且与两坐标轴围成的三角形的面积是

1 的直线方程: 2

(2)求经过点 P(1, 2) 的直线,且使 A(2,3) , B(0, ?5) 到它的距离相等的直线方程.

19.(12 分) 如图的多面体中,ABCD 为矩形,且 AD ? 平面ABE ,AE=EB=BC=2,F 为 CE 的中点,AE⊥BE. (1)求证:AE∥平面 BFD; (2)求三棱锥 E﹣BDC 的体积.

20.(12 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为正方形,EF∥AD,平面 ADEF⊥平面 ABCD,且 BC=2EF,AE=AF,点 G 为 EF 中点。 (1)求证:AG⊥CD: (2)在线段 AC 上是否存在点 M,使得 GM∥平面 ABF? 若存在,求出 AM:MC 的值;若不存在,说明理由.

3

21.(12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1: x2 ? y 2 ? 4 和圆 C2: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 (1)若直线 l 过点 A(2,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 2 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2 ,它们分别与圆 C1 和 圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长是直线 l2 被圆 C2 截得的弦长的 2 倍,试求所有满足条件的 点 P 的坐标.

22.(12 分) 己知点列 An ( xn ,0) 满足: A0 An ? A 1A n?1 ? a ? 1 其中 n ? N ,又已知 x0 ? ?1 , x1 ? 1 ,
*

????? ? ?????? ?

* (1)若 a ? 0 ,数列 xn 的通项公式( n ? N );

* (2)若 a ? 2 , 点 B( 2,0) , 记 an ?| BAn | n ? N , 且 {an } 的前 n 项和为 Sn , 求证:Sn ?

?

?

4 2 ?2 7

4


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