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四川省成都市龙泉驿区2017届高三数学5月模拟考试试题一文


四川省成都市龙泉驿区 2017 届高三数学 5 月模拟考试试题(一)文
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上,考生要认真核对答题纸上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦净后,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题纸上书写作答,在 试题卷上作答,答案无效。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求)
2 1.已知集合 A ? ?? 1,0,1,2,3?, B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B ?

?

?

A. ?3? 2.已知复数 A.第一象限

B. ?? 1,3?

C. ?2,3?

D. ?0,1,2?

,则 z 在复平面内对应的点在 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. 已知 tan ? ? 2,则

1 ? sin 2? 的值为 2 cos 2 ?
B.

A.

3 2

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

4.若 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S8 ? S3 ? 20 ,则 S11 的值为 A.44 5.已知函数 f ( x) ? B.22 C.

220 3

D.88

1 x a 2 ? e ? x ? (a ? 1) x ? a (a ? 0) ,其中 e 为自然对数的底数.若函数 e 2

y ? f ( x) 与 y ? f [ f ( x)] 有相同的值域,则实数 a 的最大值为
A. e B. 2 C. 1 D.

e 2

6.若函数 f ( x) 同时满足以下三个性质: ① f ( x) 的最小正周期为 ? ;

? ? ② f ( x) 在 ( , ) 上是减函数; 4 2

-1-

? ③ 对任意的 x ? R ,都有 f ( x ? ) ? f (? x) ? 0 . 则 f ( x) 的解析式可能是 4 ? A. f ( x) ? sin(2 x ? ) B. f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x 4 3? ? D. f ( x) ? ? tan( x ? ) ) 4 8 7.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各
C. f ( x) ? cos(2 x ? 条棱中,最长的棱的长度为

A.6 2 C.6

B.4 2 D.4

8.实数 x,y 满足不等式组

,则 2x﹣y 的最大值为

A.

B.0

C.2

D.4

9.如图,等腰梯形 ABCD 中, AB ? 4, BC ? CD ? 2. 若 E , F 分别是 BC, AB 上的点,且满足

??? ? ???? BE AF ? ? ? ,当 AE ? DF ? 0 时,则有 BC AB

A.

? ?? , ? 8 4
?3 1? ? ?8 2?

?1 1? ? ?

B. ? ? ?

? 1 3? , ? ? 4 8? ?1 5? , ? ?2 8?
3 f ( ? x) ? f ( x) 2 , f (?2) ? ?3 ,数列

C. ? ? ? ,

D. ? ? ?

10.已知定义在 R 上的函数 差数列,若 a2 ? 3, a7 ? 13 ,则 A. ? 2

f ( x) 是奇函数且满足

?a n ? 是等

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ??? f (a2015 ) ?
C. 2 D. 3

B. ? 3

11. 秦九韶是我国南宋时期著名的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在 所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的 算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例, 若 输入 x 的值为 ,每次输入 a 的值均为 ,输出 s 的值为 A. 3 B.4 C. 5 ,则输入 n 的值为

D. 6

-2-

12.已知 a ? R ,若 f ? x ? ? ? x ? 是 A. a ? 0 B. a ? 1

? ?

a? x ? e 在区间 ? 0,1? 上有且只有一个极值点,则 a 的取值范围 x?

C. a ? 1

D. a ? 0

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.等比数列 ?an ? 中, a3 ? 2, a5 ? 6 ,则 a9 ? .

14.已知向量 a , b 满足 | a |? 1 , | b |? 2 , | a ? b |? 5 ,则 | 2a ? b |? 15.设 ? 为锐角,若 cos ? ? ? 16.如图,A1,A2 为椭圆

?

?

?

?

? ?

? ?



? ?

??

4 ? ? ? ? ? ,则 sin ? 2a ? ? 的值为__________. 6? 5 12 ? ?
的长轴的左、右端点,O 为坐标原点,S,Q,T 为椭圆上
2 2

不同于 A1,A2 的三点,直线 QA1,QA2,OS,OT 围成一个平行四边形 OPQR,则|OS| +|OT| =

________ .

三、解答题:本大题共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 12 分) 设 ?an ? 是公比大于 1 的等比数列, 已知 S3 ? 7 , a1 ? 3 , Sn 为其前 n 项和,

3a2 , a3 ? 4 构成等差数列.
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? an ? ln an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . 18.(本题满分 12 分)某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下: 甲运动员得分:13,51,23,8,26,38,16,33,14,28,39; 乙运动员得分:49,24,12,31,50,31,44,36,15,37,25,36,39. (1)用十位数为茎,在答题卡中画出原始数据的茎叶图;

-3-

(2)用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2,3,4 的比赛中抽取一个容量为 5 的样本, 从该样本中随机抽取 2 场,求其中恰有 1 场得分大于 40 分的概率.

19.(本题满分 12 分)如图,已知 ABCD 是边长为 2 的正方形,EA⊥平面 ABCD,FC∥EA,设 EA=1,FC=2. (1)证明:EF⊥BD; (2)求多面体 ABCDEF 的体积.

20. (本题满分 12 分)过点 C(2,2)作一直线与抛物线 y =4x 交于 A,B 两点,点 P 是抛物 线 y2=4x 上到直线 l:y=x+2 的距离最小的点,直线 AP 与直线 l 交于点 Q. (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)求证:直线 BQ 平行于抛物线的对称轴.

2

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x(a ? ln x) , g ( x) ?

x . ex

1 (Ⅰ)若函数 f ( x) 的最小值为 ? ,求实数 a 的值; e
2 (Ⅱ)当 a ? 0, x ? 0 时,求证: g ( x) ? f ( x) ? . e

请考生在第 22、23 中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. (共 1 小题, 满分 10 分)
-4-

22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系,直线 l 的参数方程为?

?x=1+t (t 为参数). ?y=2+ 3t

(Ⅰ)写出直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程;

x′=x ? ? 2 (Ⅱ)设曲线 C 经过伸缩变换? 设 M(x, y)为 C′上任意一点, 求x- 3 1 后得到曲线 C′, y′= y ? 2 ? xy+2y2 的最小值,并求相应的点 M 的坐标.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a . (1)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

-5-

成都龙泉第二中学 2014 级高考模拟考试试卷 数学(文史类)参考答案 1—5 BABAB 13. 54 6—10 BCDBB 14. 2 2 15. 11—12 BA
17 2 50

16.14

17.解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公比为 q ( q ? 1 ) ,

?a1 ? a2 ? a3 ? 7, ?a1 (1 ? q ? q 2 ) ? 7, ? ? 由已知,得 ? (a ? 3) ? (a ? 4) 可得 ? 2 1 3 ? 3a2 , ? ?a1 (1 ? 6q ? q ) ? ?7, ? ? 2
解得 ?

?a1 ? 1, 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 . q ? 2, ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? 2n?1 ? (n ?1)ln 2 , 所以 Tn ? (1 ? 2 ? 22 ? …? 2n?1 ) ? [0 ?1 ? 2 ? …? (n ?1)]ln 2 ?

1 ? 2n n(n ? 1) ? ln 2 1? 2 2

? 2n ? 1 ?

n( n ? 1) ln 2 . 2

18.解: (Ⅰ)由题意得茎叶图如图:???????(5 分) (Ⅱ)用分层抽样的方法在乙运动员得分十位数为 2、3、4 的比赛中抽取一个容量为 5 的样本, 则得分十位数为 2、3、别应该抽取 1,3,1 场, 所抽取的赛场记为 A,B1,B2,B3,C, 从中随机抽取 2 场的基本事件有: (A,B1) , (A,B2) , (A,B3) , (A,C) , (B1,B2) , (B1,B3) , (B1,C) , (B2,B3) , (B2,C) , (B3,C)共 10 个, 记“其中恰有 1 场的得分大于 4”为事件 A, 则事件 A 中包含的基本事件有: (A,C) , (B1,C) , (B2,C) , (B3,C)共 4 个, ∴ ??????????(12 分)

答:其中恰有 1 场的得分大于 4 的概率为 .

-6-

19.(1)证明:连接 AC

EA // CF ,? EACF 四点共面
∵ABCD 是正方形, ∴BD⊥AC,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅1 分 ∵EA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴BD⊥EA,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅3 分 ∵EA、AC? 平面 EACF,EA∩AC=A, ∴BD⊥平面 EACF,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅5 分 又∵EF? 平面 EACF, ∴EF⊥BD;┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅6 分 (2)解:∵BD⊥平面 EACF,

?VABCDEF ? 2VB? ACFE
∵ABCD 是边长为 2 的正方形, ∴AC= ┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅8 分

又 EA=1,FC=2, ∴ ∴ 20.解: (Ⅰ)设点 P 的坐标为(x0,y0) ,则 ,┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅10 分 .┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12 分 ,

所以,点 P 到直线 l 的距离 当且仅当 y0=2 时等号成立,此时 P 点坐标为(1,2) .? (Ⅱ)设点 A 的坐标为 ,显然 y1≠2.



当 y1=﹣2 时,A 点坐标为(1,﹣2) ,直线 AP 的方程为 x=1;

当 y1≠﹣2 时,直线 AP 的方程为



化简得 4x﹣(y1+2)y+2y1=0;

-7-

综上,直线 AP 的方程为 4x﹣(y1+2)y+2y1=0. 与直线 l 的方程 y=x+2 联立,可得点 Q 的纵坐标为 .



时,直线 AC 的方程为 x=2,可得 B 点的纵坐标为 yB=﹣y1.

此时 即知 BQ∥x 轴,





时,直线 AC 的方程为



化简得 与抛物线方程 y2=4x 联立,消去 x, 可得





所以点 B 的纵坐标为 从而可得 BQ∥x 轴, 所以,BQ∥x 轴.?12 分 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? 1 ? ln x( x ? 0) , 1 分



由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? e? a ?1 ,由 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? e? a ?1 , ∴ f ( x) 在 (0,e?a ?1 ) 递减,在 (e?a ?1 ? ?) 递增. ··············· 3 分

1 ∴ f ( x)min ? f (e? a ?1 ) ? e? a ?1 (a ? ln e? a ?1 ) ? ?e? a?1 ? ? . ············ 4 分 e
∴ a ? 0 . ······························· 5 分

1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 x ln x ? ? , e
1 1 ∴当 a ? 0, x ? 0 时, f ( x) ? x(a ? ln x) ? ax ? x ln x ? x ln x ? ? ,即 f ( x) ? ? . · 7 分 e e
∵ g ( x) ?

x 1? x , g ?( x) ? x ( x ? 0) , ··················· 8 分 x e e

由 g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ,由 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 , ∴ g ( x) 在 (0,1) 递增,在 (1, ??) 递减. ·················· 9 分

-8-

1 ∴ g ( x) ? g (1) ? , ·························· 10 分 e 1 1 2 2 ∴ g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ? ? f ( x)? ? ? ? ,即 g ( x) ? f ( x) ? . ········ 12 分 e e e e
22.解:(Ⅰ)∵ρ =2,故圆 C 的方程为 x +y =4 ∵直线 l 的参数方程为?
2 2

?x=1+t ,∴直线 l 方程为 3x-y- 3+2=0.(5 分) ?y=2+ 3t

x′=x ? ? x2 2 2 2 (Ⅱ)由? 和 x + y = 4 得 C ′: +y =1. 1 4 y′= y ? 2 ?
π? ? 2 2 设点 M 为(2cos θ ,sin θ ),则 x - 3xy+2y =3+2cos?2θ + ?≥3-2=1 3? ?

?当2θ +π =π +2kπ 即θ =π +kπ 时取等号? ? ? 3 3 ? ? 3? 3? ? ? 所以当 M?1, ?或 M?-1,- ?时,原式的最小值为 1.(10 分) 2 2 ? ? ? ? 23.解: (Ⅰ)由 | 2 x ? a | ?a ? 6 得, | 2 x ? a |? 6 ? a ,
∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?| 2 x ? 1| ?1 ,令 ? (n) ? f (n) ? f (?n) ,
1 ? ?2 ? 4n, n ? 2 ? 则 1 1 ,∴ ? (n) 的最小值为 4 , ? ? (n) ?| 2n ? 1| ? | 2n ? 1| ?2 ? ?4, ? ? n ? 2 2 ? 1 ? ?2 ? 4n, n ? 2 ?

∴实数 m 的取值范围是 [4, ??) .

-9-


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