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必修④上篇第2章2.4.1


2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
【课标要求】
1.通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其 物理意义. 2.掌握向量a与b的数量积公式及其投影的定义. 3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律,并能运用这些性

质与运算律解决有关问题.
【核心扫描】 1.平面向量的数量积.(重点) 2.平面向量的数量积的几何意义.(难点) 3.向量的数量积与实数的乘法的区别.(易混点)
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新知导学

1.向量的数量积的定义
已知两非零向量a与b,它们的夹角为θ,则把数量 叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即 cos θ .规定零向量与任一向量的数量积均为0. 温馨提示: 书写向量 a 与 b 的数量积 a·b 时,符号 “·” 既不能 省略,也不能用“×”代替. |a||b|cos θ a·b=|a||b|

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2.向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 → → 如图所示: OA =a, OB =b,过B作BB1垂直于直线OA,垂足为 B1,则OB1= |b|cos θ .

|b|cos θ

叫做向量b在a方向上的投影,|a|cos θ叫做向量a在b

方向上的投影.

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(2)数量积的几何意义

a·b的几何意义是a的长度|a|与b在a方向上的投影
积.

|b|cos θ 的乘

温馨提示:投影是一个数量,不是向量,其值可为正,可为 负,也可为零.

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3.向量的数量积的性质 设a与b都是非零向量,θ为a与b的夹角.
b=0 . (1)a⊥b? a·

(2)当a与b同向时,a· b= |a||b| 当a与b反向时,a· b= -|a||b| . (3)a· a= |a|2 或|a|= a· a= a2. a· b (4)cos θ= |a||b| . (5)|a· b| ≤ |a||b|.



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4.向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律);
(2)(λa)·b= λ(a·b) =

a·(λb) (结合律);
(分配律).

(3)(a+b)·c= a·c+b·c

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互动探究

探究点1 向量的数量积与数乘向量的区别是什么?
提示 向量的数量积a·b是一个实数,不考虑方向;数乘向量 λa

是一个向量,既有大小,又有方向. 探究点2 投影与夹角有什么联系? 提示 向量a与b都是非零向量,它们的夹角为 θ,向量b在a的方 向上的投影|b|cos θ与θ取值的关系如表.

θ的取值

0

π

? π? ?0, ? 2? ?

?π ? ? ,π? ?2 ?

投影的值 |b| -|b| 图示
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正值

负值

π 2 零

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探究点3 对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗? 提示 不一定成立. ∵ 若 (a·b)·c≠0 ,其方向与 c 相同或相反,

a·(b·c)≠0 时,其方向与 a 相同或相反,而 a 与 c 方向不一定相 同,故该等式不一定成立.

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类型一 平面向量数量积的基本概念

【例1】 下列判断:①若a2+b2=0,则a=b=0;②已知a,b,c
是三个非零向量,若a+b=0,则|a·c|=|b·c|;③a,b共线?a·b = |a||b| ;④ |a||b|<a·b ;⑤ a·a·a = |a|3 ;⑥ a2 + b2≥2a·b ;⑦非零 向量a,b满足:a·b>0,则a与b的夹角为锐角;⑧若a,b的夹角 为θ,则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的

是________.
[思路探索] 结合向量数量积的概念、性质、运算律逐一判断正确 与否.

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解析

由于a2≥0,b2≥0,所以,若a2 +b2 =0,则a =b= 0,故

①正确;若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量,所 以 a·c =- b·c ,所以 |a·c| = |b·c| ,②正确; a , b 共线 ? a·b = ±|a||b|,所以③错. 对于④,应有|a||b|≥a·b,所以④错; 对于⑤,应该是a·a·a=|a|2a,所以⑤错; a2+b2≥2|a||b|≥2a·b,故⑥正确; 当a与b的夹角为0°时,也有a·b>0,因此⑦错;

|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的投影的数量,而非投影长,故
⑧错. 综上可知①②⑥正确. 答案 ①②⑥
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[规律方法]

对于这类概念、性质、运算律的问题的解答,关键

是要对相关知识深刻理解.特别是那些易与实数运算相混淆的运
算律,如消去律、乘法结合律等,当然还有如向量的数量积中有 关角的概念以及数量积的性质等.

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【活学活用1】 已知 a、b、c 是三个非零向量,则下列问题中真 命题的个数为( ). ① a·b = ±|a|·|b|?a∥b ; ② a 、 b 反 向 ? a·b = - |a|·|b| ; ③ a⊥b?|a+b|=|a-b|;④|a|=|b|?|a·c|=|b·c|. A.1 B.2 C.3 D.4

解析 ①∵a·b=|a||b|cos θ,∴由a·b=|a||b|及a、b为非零向量
可得cos θ=±1,∴θ=0或π.∴a∥b,且以上各步均可逆,故 命题①是真命题. ②若 a 、 b 反向,则 a 、 b 的夹角为 π , ∴ a·b = |a||b|·cos π =- |a||b|,且以上各步均可逆,故命题②是真命题.
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③当a⊥b时,将向量a、b的起点确定在同一点,则以向量a、b为 邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两条对 角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以 a、b为邻边的四边形为矩形,∴a⊥b,故命题③是真命题. ④ 当 |a| = |b| , 但 a 与 c 的 夹 角 和 b 与 c 的 夹 角 不 等 时 , 就 有

|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题④是假
命题. 综上,在四个命题中,前3个是真命题,第4个是假命题. 答案 C

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类型二 平面向量数量积的基本运算

【例2】 已知|a|=3,|b|=6,当①a∥b,②a⊥b,③a与b的夹角
是60°时,分别求a·b. [思路探索] 由数量积的定义可知,它的值是两向量的模与它们夹 角余弦值的乘积,只要能求出它们的夹角,就可求出a·b,第① 种情况夹角θ=0°或180°,第②种情况夹角θ=90°,第③种情 况夹角θ=60°.

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①当a∥b时,

若a与b同向,则它们的夹角θ=0° , ∴a· b=|a||b|cos 0° =3×6×1=18; 若a与b反向,则它们的夹角θ=180° , ∴a· b=|a||b|cos 180° =3×6×(-1)=-18; ②当a⊥b时,它们的夹角θ=90° ,∴a· b=0; ③当a与b的夹角是60° 时, 1 有a· b=|a||b|cos 60° =3×6×2=9.

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[规律方法] (1)非零向量共线的充要条件是a·b=±|a|·|b|,因
此,当a∥b时,有0°或180°两种可能;(2)非零向量a⊥b?a·b =0;(3)两个向量的数量积a·b=|a||b|cos θ,与它们的夹角有关, 夹角范围是[0°,180°].

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【活学活用2】 若向量a、b、c满足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=

1,|c|=4,求a·b+b·c+c·a.
解 法一 由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,可知向量a与b同

向,而向量c与它们反向. ∴a· b+b· c+c· a=3cos 0° +4cos 180° +12cos 180° =3-4-12= -13. 法二 ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a· b+b· c+c· a),∴a· b+b· c

?a+b+c?2-?a2+b2+c2? 0-?32+12+42? +c· a= = =-13. 2 2

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类型三 与向量的模有关的问题

【例3】 已知|a|=3,|b|=4,求|a-b|的取值范围.
[思路探索] 向量模的范围可以转化为向量不等式或者利用数量积 形式处理. 解 法一 ∵||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,

∴1≤|a-b|≤7,

即|a-b|的取值范围是[1,7].

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法二 ∵|a-b|2=a2+b2-2a·b

=a2+b2-2|a||b|cos θ=25-24cos θ,
θ为两向量a、b的夹角,∴θ∈[0,π], ∴|a-b|2∈[1,49],∴|a-b|∈[1,7]. [规律方法] 运用向量不等式||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|,注意等号成

立的条件;解法二中将模平方,这是处理向量模的问题的基本方 法,也是常用的方法,并且平方后往往涉及数量积的运算.

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【活学活用3】 已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a

-b|.
解 ∵|a+b|=4,∴|a+b|2=42,

∴a2+2a· b+b2=16.① ∵|a|=2,|b|=3, ∴a2=|a|2=4,b2|b|2=9, 代入①式得 4+2a· b+9=16,得2a· b=3. 又∵(a-b)2=a2-2a· b+b2=4-3+9=10, ∴|a-b|= 10.
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类型四 向量的夹角与垂直问题 【例4】 已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b 与7a-2b垂直,求a,b的夹角α. [思路探索] 本题主要考查两向量的夹角公式、垂直关系以及数

量积的运算.要求α,需知|a|,|b|与a·b,为此需利用条件中的
两个垂直关系求出所需的量. 解 ∵a+3b与7a-5b垂直, ∴(a+3b)·(7a-5b)=0, ∵a-4b与7a-2b垂直,

∴(a-4b)·(7a-2b)=0.
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2 ? b-15b2=0, ?7a +16a· 于是有? 2 ? b+8b2=0. ?7a -30a·

① ② ③

①-②得2a· b=b2. 将③代入①得a2=b2,∴|a|=|b|. a· b |b|2 1 ∴cos α= = = . |a||b| 2|b|2 2 ∵0° ≤α≤180° ,∴α=60° .

[规律方法] 要注意向量数量积性质的正确运用,以及向量夹角 的范围,这时由2a·b=b2,不能推出2a=b,同样由a2=b2也不能 得出a=b或a=-b.
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【活学活用4】 已知向量a、b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求

证:(a+b)⊥(a-b).
证明 ∵|2a+b|=|a+2b|, ∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴a2=b2. ∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0. 又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0, ∴(a+b)⊥(a-b).

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易错辨析 对向量的夹角理解不正确而致错 → → 【示例】 已知在△ABC中,| AB |=6,| AC |=5,∠A=30° ,求 → → AB· CA.
→ → [错解] ∵|AB|=6,|AC|=5,∠A=30° , → → → → ∴AB· CA=|AB||CA|cos 30° 3 =6×5× 2 =15 3.

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[错因分析] 本题错解的原因在于没有能够正确理解向量夹角的 → → 定义.题中∠A并非向量 AB 与 CA 的夹角,其夹角应为∠A的补 角150° .
→ → → → [正解] ∵| AB |=6,| AC |=5, AB 与 CA 的夹角θ=180° -30° = 150° , → → → → ∴AB· CA=|AB||CA|cos θ =6×5×cos 150° =-15 3.

[防范措施] 在几何图形中求两个向量数量积时,注意根据图形特
点,分析向量的夹角,一定要依据夹角的概念,以向量共起点为 切入点.
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课堂达标

1.下面给出的关系式中正确的个数是(

).

①0·a=0;②a·b=b·a;③a2=|a|2;④|a·b|≤a·b;⑤(a·b)2 =a2·b2. A.1 解析 B.2 C.3 D.4 ①②③正确,④错误,⑤错误, (a·b)2 = (|a|·|b|cos θ)2

=a2·b2cos2 θ≠a2·b2,选C. 答案 C

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2.若a· b<0,则a与b的夹角θ的取值范围是(
? π? A.?0,2? ? ? ?π ? B.?2,π? ? ? ?π ? C.?2,π? ? ? ?π ? D.?2,π? ? ?

).

解析 ∵a· b=|a||b|cos θ<0,∴cos θ<0,又θ∈[0,π],
?π ? ∴θ∈?2,π?. ? ?

答案 C

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3.已知|a|=3,|b|=4,则(a+b)·(a-b)=________.

解析 (a+b)·(a-b)=a2-b2
=|a|2-|b|2=32-42=-7. 答案 -7

4.已知|a|= 2 ,|b|= 2 ,a与b的夹角为45° ,要使λb-a与a垂 直,则λ=________.
2 解析 (λb-a)· a=0,λ(a· b)-|a| =0,λ=2· = 2. cos 45°
2

答案

2

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5.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是60°,计算: (1)(2a+b)·(2a-b);(2)|4a-2b|. 解 (1)(2a+b)·(2a-b)=(2a)2-b2 =4|a|2-|b|2=4×42-82=0.

(2)∵|4a-2b|2=(4a-2b)2
=16a2-16a·b+4b2 =16×42-16×4×8×cos 60°+4×82 =256. ∴|4a-2b|=16.

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课堂小结

1.两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以
为正 ( 当 a≠0 , b≠0,0°≤θ<90°时 ) ,也可以为负 ( 当 a≠0 , b≠0,90°<θ≤180°时 ),还可以为0(当a =0 或b= 0或 θ =90° 时). 2 .数量积对结合律一般不成立,因为 (a·b)·c = |a||b|·cos〈a ,

b〉·c是一个与c共线的向量,而(a·c)·b=|a||c|·cos〈a,c〉·b
是一个与b共线的向量,两者一般不同. 3.向量b在a上的投影不是向量而是数量,它的符号取决于θ角, 注意a在b方向上的投影与b在a方向上的投影是不同的,应结合 图形加以区分.
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