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山东省潍坊一中2015届高三下学期高考适应性数学(文)试卷


2015 年山东省潍坊一中高考数学适应性试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x||x﹣1|≤2},B={x|x ﹣4x>0,x∈R},则 A∩(? RB)=( A.[﹣1,3] B.[0,3] C.[﹣1,4] D.[0,4] 2.函数 f (x)=x+ln(x﹣1)的零点所在的区间为( A. (1, ) B. ( ,2) C. (2,e) D. (e,+∞) )
2



3.将函数 y=sin2x 的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得函数 图象,则φ的值为( A. B. C. ) D.



4.已知直线 l 是抛物线 y=x 的一条切线,且 l 与直线 2x﹣y+4=0 平行,则直线 l 的方程是 ( ) A.2x﹣y+3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.2x﹣y+1=0 D.2x﹣y﹣1=0 5.已知数列{an}的前 n 项和 ,则 an=( )

2

A.

B.

C.

D.

6.给出下列命题: ①若一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直; ②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ③若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,是真命题的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4

7.设不等式组

所表示的平面区域是Ω1,平面区域是Ω2 与Ω1 关于直线 3x﹣

4y﹣9=0 对称,对于Ω1 中的任意一点 A 与Ω2 中的任意一点 B,|AB|的最小值等于( A. B.4 C. D.2



8.在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,过对角线 BD'的一个平面交 AA′于点 E,交 CC′于点 F.则下列结论正确的是( ) ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形 ②四边形 BFD′E 有可能是正方形 ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 的投影一定是正方形 ④四边形 BFD′E 有可能垂于于平面 BB′D. A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④

9.已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同的

实根,则实数 k 的取值范围是( A. D. B.

) C.

10.已知双曲线 C:

=1(a>0,b>0) ,F1,F2 分别为其左、右焦点,若其右支上存

在点 P 满足 A.4 B.3+

=e(e 为双曲线 C 的离心率) ,则 e 的最大值为( C.2 +1 D.3+2



二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11. 若不等式|x﹣1|<a 成立的充分条件是 0<x<4, 则实数 a 的取值范围是
2 2



12.设双曲线 x ﹣y =1 的两条渐近线与直线

围成的三角形区域(包含边界)为 D,点 .

P(x,y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z=x﹣2y 的最小值为

13.若某几何体的三视图是如图所示的三个直角三角形,则该几何体的外接球的表面积 为 .

14.已知向量 , 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2,则向量 ﹣ 在向量 + 方向上的投 影是 .

15.已知直线 l:y=ax+1﹣a(a∈R) .若存在实数 a 使得一条曲线与直线 l 有两个不同的交 点, 且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|, 则称此曲线为直线 l 的 “绝对曲线” . 下 面给出四条曲线: ①y=﹣2|x﹣1|②y=x ③(x﹣1) +(y﹣1) ④x +3y =4 其中,可以被称为直线 l 的“绝对曲线”的是
2 2 2 2 2

. (请将符合题意的序号都填上)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. 已知函数 (ω>0, . 其

图象的最高点与相邻对称中心的距离为 (Ⅰ)求函数 f(x)的达式;

,且过点



(Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 满足 2a=4asinC﹣csinA,求 c 的值.



,角 C 为锐角.且

17.设函数 f(x)=|2x﹣m|+4x. (I)当 m=2 时,解不等式:f(x)≤1; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤2 的解集为{x|x≤﹣2},求 m 的值. 18.如图所示,圆柱的高为 2,PA 是圆柱的母线,ABCD 为矩形,AB=2,BC=4,E、F、G 分别 是线段 PA,PD,CD 的中点. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)求证:PB∥面 EFG; (3)在线段 BC 上是否存在一点 M,使得 D 到平面 PAM 的距离为 2?若存在,求出 BM;若不 存在,请说明理由.

19.已知数列{an}的首项 a1=t>0, (1)若 ,求证
*

,n=1,2,…

是等比数列并求出{an}的通项公式;

(2)若 an+1>an 对一切 n∈N 都成立,求 t 的取值范围.

20.已知椭圆的中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 点的距离和为 ,过点 M(0,

,又椭圆上任一点到两焦

)与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点.

(1)求椭圆的方程; (2)在 y 轴上是否存在定点 N,使以 PQ 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 N 的坐标, 若不存在,说明理由.
2

21.已知函数 f(x)=x ,

,且函数 g(x)在[﹣1,1]上单

调递减. (1)若 g(x)≤λ+3sin1 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求λ的取值范围; (2)若关于 x 的方程 lnf(1+x)=2x﹣m 在区间 数的底数) ,试求 m 的取值范围. 上有两个根(e 为自然对

2015 年山东省潍坊一中高考数学适应性试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 A={x||x﹣1|≤2},B={x|x ﹣4x>0,x∈R},则 A∩(? RB)=( ) A.[﹣1,3] B.[0,3] C.[﹣1,4] D.[0,4] 考点:[来源:学*科*网 Z*X*X*K] 交、并、补集的混合运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意,可先解绝对值不等式和一元二次不等式,化简集合 A,B,再求出 B 的补集, 再由交的运算规则解出 A∩(? RB)即可得出正确选项. 2 解答: 解:由题意 B={x|x ﹣4x>0}={x|x<0 或 x>4},故? RB={x|0≤x≤4}, 又集合 A={x||x﹣1|≤2}={x|﹣1≤x≤3}, ∴A∩(? RB)=[0,3]. 故选 B. 点评: 本题考查交、并、补的混合运算,属于集合中的基本计算题,熟练掌握运算规则是 解解题的关键. 2.函数 f (x)=x+ln(x﹣1)的零点所在的区间为( A. (1, ) B. ( ,2) C. (2,e) D. (e,+∞) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先计算 f(1.1)<0,f( )>0,根据函数的零点的判定定理可得函数 f (x)=x+ln (x﹣1)的零点所在的区间为(1.1, ) ,从而得出结论. 解答: 解:函数 f (x)=x+ln(x﹣1) ,∴f(1.1)=1.1+ln <0, ∴f( )= ﹣ln > ﹣lne= >0, 故有 f(1.1) ? f( )<0,根据函数零点的判定定理可得,函数 f (x)=x+ln(x﹣1)的 零点所在的区间为(1.1, ) , 故函数 f (x)=x+ln(x﹣1)的零点所在的区间为(1, ) , 故选 A. 点评: 本题主要考查函数的零点的判定定理的应用,不等式的性质,属于中档题. <1.1+ln =1.1﹣2=﹣0.9 )
2

3.将函数 y=sin2x 的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得函数 图象,则φ的值为( A. B. C. ) D.



考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,变换后得到的是函数 y=sin(2x+2φ) 的 图象,而已知得到的是函数 的图象,可得 2φ= ,由此求得φ的值.

解答: 解:将函数 y=sin2x 的图象向左平移φ(0≤φ<π)个单位后,得函数 y=sin2(x+ φ)=sin(2x+2φ) 的图象, 而已知得到的是函数 结合 0≤φ<π可得 2φ= ,解得φ= =sin(2x+ , )的图象.

故选:B. 点评: 本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中 档题. 4.已知直线 l 是抛物线 y=x 的一条切线,且 l 与直线 2x﹣y+4=0 平行,则直线 l 的方程是 ( ) A.2x﹣y+3=0 B.2x﹣y﹣3=0 C.2x﹣y+1=0 D.2x﹣y﹣1=0 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 根据切线与直线 2x﹣y+4=0 的平行,可利用待定系数法设出切线,然后与抛物线联 立方程组,使方程只有一解即可. 解答: 解:由题意可设切线方程为 2x﹣y+m=0 得方程组 得 x ﹣2x﹣m=0
2 2

△=4+4m=0 解得 m=﹣1, ∴切线方程为 2x﹣y﹣1=0, 故选 D 点评: 本题主要考查 了两条直线平行的判定,以及直线的一般式方程,属于基础题. 5.已知数列{an}的前 n 项和 ,则 an=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列.

分析: 由已知, 结合递推公式可得, an=Sn﹣Sn﹣1=n an﹣ (n﹣1)an﹣( , 即 1 n>1) 利用迭代法能求出 an. 解答: 解:∵Sn=n an 2 当 n>1 时,Sn﹣1=(n﹣1) an﹣1 2 2 ∴an=Sn﹣Sn﹣1=n an﹣(n﹣1) an﹣1 2 2 (n ﹣1)an=(n﹣1) an﹣1 即 = ,
2

2

2

=



∴an=a1?

?

…?

=1× × × ×…× = 故选 B. 点评: 本题主要考查由数列的递推公式 an=Sn﹣Sn﹣1 求把和的递推转化为项的递推,及由即 = ,利用迭代法求解数列的通项公式,求解中要注意抵消后剩余的项是:分子, = .

分母各剩余两项. 6.给出下列命题: ①若一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直; ②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ③若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,是真命题的个数有( ) A.1 B.2 C.3 D.4 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;简易逻辑. 分析: 根据面面垂直的判定定理,可判断①;根据平面与平面平行的判定定理,可判断②; 根据空间直线夹角的定义,可判断③;根据面面垂直的性质定理及反证法,可判断④. 解答: 解:由面面垂直的判定定理可得若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平 面相互垂直,故①正确; 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行, 那么这两个平面相互平行, 但两条直 线平行时,得不到平面平行,故②错误; 根据空间直线夹角的定义, 可得两条平行直线与第三条直线的夹角相等, 故若两条平行直线 中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直,即③正确;

根据面面垂直的性质定理, 若两个平面垂直, 那么一个平面内与它们的交线垂直的直线与另 一个平面也垂直, 则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直, 故④正 确. 故真命题有①③④三个. 故选:C. 点评:[来源:学§科§网] 本题以命题的真假判断为载体考查了空间直线与平面的位置关 系,熟练掌握空间线面关系的判定定理,性质定理及几何特征是解答的关键.

7.设不等式组

所表示的平面区域是Ω1,平面区域是Ω2 与Ω1 关于直线 3x﹣

4y﹣9=0 对称,对于Ω1 中的 任意一点 A 与Ω2 中的任意一点 B,|AB|的最小值等于( A. B.4 C. D.2



考点: 简单线性规划的应用.

分析: 本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件

画出满足约束条件的可行域Ω1,根据对称的性质,不难得到:当 A 点距对称轴的距离最近 时,|AB|有最小值. 解答: 解:由题意知,所求的|AB|的最小值, 即为区域Ω1 中的点到直线 3x﹣4y﹣9=0 的距离的最小值的两倍, 画出已知不等式表示的平面区域,如图所示, 可看出点(1,1)到直线 3x﹣4y﹣9=0 的距离最小, 故|AB|的最小值为 故选 B. ,

点评: 利用线性规划解平面上任意两点的距离的最值,关键是要根据已知的约束条件,画 出满足约束约束条件的可行域,再去分析图形,根据图形的性质、对称的性质等找出满足条 件的点的坐标,代入计算,即可求解.

8.在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,过对角线 BD'的一个平面交 AA′于点 E,交 CC′于点 F.则下列结论正确的是( ) ①四边形 BFD′E 一定是平行四边形 ②四边形 BFD′E 有可能是正方形 ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 的投影一定是正方形 ④四边形 BFD′E 有可能垂于于平面 BB′D. A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④ 考点: 平面与平面垂直的判定;平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: ①根据一个面与两个平行的面的交线一定平行的性质证明出四边形 BFD′E 一定是平 行四边形. ②先看 F 与 C′重合, E 与 A 点重合时不可能是正方形, 在看不重合时 BF 和 BE 不可能垂直, 进而推断结论不正确. ③四边形 BFD′E 在底面 ABCD 的投影是正方体的底面,进而可知,射影一定是正方形. ④找到 E,F 分别为中点时,利用证明 EF⊥面 BDD′B′,进而证明出两个面垂直. 解答: 解: ①∵四边形 BFD′E 与面 BCC′B′的交线为 BF, 与面 ADD′A′的交线为 D′E, 且面 BCC′B′ ∥面 ADD′A′的交线为 D′E, ∴BF∥D′E, 同理可证明出 BE∥D′F, ∴四边形 BFD′E 一定是平行四边形, 故结论①正确. ②当 F 与 C′重合,E 与 A 点重合时,BF 显然与 EB 不相等,不能是正方形, 当这不重合时,BF 和 BE 不可能垂直, 综合可知,四边形 BFD′E 不可能是正方形 结论②错误. ③∵四边形 BFD′E 在底面 ABCD 的投影是四边形 A′B′C′D′, 故一定是正方形,③结论正确. ④当 E,F 分别是 AA′,CC′的中点时, EF∥AC,AC⊥BD, ∴EF⊥BD, BB′⊥面 ABCD,AC? 面 ABCD, ∴BB′⊥AC, ∴BB′⊥EF, ∵BB′? 面 BDD′B′,BD? 面 BDD′B′,BD∩BB′=B, ∴EF⊥面 BDD′B′, ∵EF? 四边形 BFD′E,平面 BB′D? 面 BDD′B′, ∴面形 BFD′E⊥面 BDD′B′. 故结论④正确. 故选:B.

点评: 本题主要考查了线面垂直的判定定理的应用.有些地方,需要找一些特殊点来解决, 比如第④结论找到中点的情况.

9.已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同的

实根,则实数 k 的取值范围是( A. D. B.

) C.

考点: 函数的零点与方程根的关系;分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数 f(x)的图象和直线 y=kx 有 2 个交点,数形结合可得当直线的斜 率 k 的范围. 解答: 解:画出函数 f(x)和 y=kx 的图象,如图所示, 由题意可得函数 f(x)的图象和直线 y=kx 有 2 个交点, 数形结合可得当直线的斜率 k 满足 0<k< 时, 函数 f(x)的图象和直线 y=kx 有 2 个交点, 故选:A.

点评: 本题主要考查函数零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属 于基础题.

10.已知双曲线 C:

=1(a>0,b>0) ,F1,F2 分别为其左、右焦点,若其右支上存

在点 P 满足

=e(e 为双曲线 C 的离心率) ,则 e 的最大值为(



A.4 B.3+ C.2 +1 D.3+2 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设 P 点的横坐标为 x,根据|PF1|=e|PF2|,P 在双曲线右支(x≥a) ,利用双曲线的 第二定义,可得 x 关于 e 的表达式,进而根据 x 的范围确定 e 的范围. 解答: 解:设 P 点的横坐标为 x,准线方程为 x=± ∵|PF1|=e|PF2|,P 在双曲线右支(x≥a) , 根据双曲线的第二定义,可得 e (x﹣ ∴(e﹣1)x= ∵x≥a, ∴ +a≥(e﹣1)a,∴e ﹣2e﹣1≤0
2 2



)=e(x+

) ,

+a

∵e>1,∴1<e≤2 +1, 则双曲线的离心率的最大值为 2 +1. 故选:C. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了双曲线的第二定义的灵活运用,属于基 础题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 11. 若不等 式|x﹣1|<a 成立的充分条件是 0<x<4, 则实数 a 的取值范围是 [3, +∞) . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 先求出不等式|x﹣1|<a 的解集为集合 B,再根据条件可知{x|0<x<4}? B,建立关 于 a 的不等式组,解之从而确定 a 的取值范围. 解答: 解:|x﹣1|<a? 1﹣a<x<a+1 由题意可知﹣ ≤x<0 0<x<4 是 1﹣a<x<a+1 成立的充分不必要条件 ∴ 解得 a≥3

∴实数 a 的取值范围是[3,+∞) 故答案为:[3,+∞) 点评: 本题考查充分不必要条件的应用,解题时要注意含绝对值不等式的解法和应用,属 于基础题.

12.设双曲线 x ﹣y =1 的两条渐近线与直线

2

2

围成的三角形区域(包含边界)为 D,点 .

P(x,y)为 D 内的一个动点,则目标函数 z=x﹣2y 的最小值为 ﹣

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题.[来源:Zxxk.Com] 分析:[来源:Z,xx,k.Com] 求出双曲线 x ﹣y =1 的两条渐近线方程,然后把这两个方程和 直线 构成三个方程组,解这三个方程组的解,得到三角形三个顶点的坐标,把这三个
2 2

顶点坐标分别代入目标函数 z=x﹣2y 得到三个值, 其中最小的就是目标函数 z=x﹣2y 的最小 值.
2 2

解答: 解:双曲线 x ﹣y =1 的两条渐近线是 y=±x,解方程组





得到三角形区域的顶点坐标是 A , ∴目标函数 z=x﹣2y 的最小值为 答案: . .

,B

,C(0,0) .∴ ,zC=0.

点评: 把三角形区域三个顶点坐标分别代入目标函数 z=x﹣2y 得到三个值,其中最小的就 是目标函数 z=x﹣2y 的最小值. 13.若某几何体的三视 图是如图所示的三个直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为 50π .

考点: 球的体积和表面积;球内接多面体. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长 方体,长方体的对角线的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积. 解答: 解:由三视图复原几何体,几何体是底面是直角三角形, 一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥;扩展为长方体, 其外接与球,它的对角线的长为球的直径,

得长方体的体对角线的长为 ∴长方体的外接球的半径为 ∴球的表面积为 4π , =50π,

=5



故答案为:50π. 点评: 本题考查三视图,几何体的外接球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基 础题.

14.已知向量 , 的夹角为 120°,且| |=1,| |=2,则向量 ﹣ 在向量 + 方向上的投 影是 ﹣ .

考点: 平面向量数量积的含义与物理意义. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 利用求模运算得到 根据投影定义可得答案. 解答: 解: 所以 =1+2 ,[来源:学科网 ZXXK] =1﹣2×1×2cos120°+4=7, 所以 , cos120°+4=3, , ,进而得到向量 ﹣ 与向量 + 的夹角余弦,

则 cos<



>=

=



所以向量 ﹣ 在向量 + 方向上的投影是 = =﹣ ,

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查平面向量数量积的含义及其物理意义,考查向量模的求解投影等概念,属 基础题. 15.已知直线 l:y=ax+1﹣a(a∈R) .若存在实数 a 使得一条曲线与直线 l 有两个不同的交 点, 且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|, 则称此曲线为直线 l 的 “绝对曲线” . 下 面给出四条曲线: ①y=﹣2|x﹣1|②y=x ③(x﹣1) +(y﹣1) ④x +3y =4 其中,可以被称为直线 l 的“绝对曲线”的是 ②③④ . (请将符合题意的序号都填上)
2 2 2 2 2

考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 若存在实数 a 使得一条曲线与直线 l 有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的 线段长度恰好等 于|a|,则称此曲线为直线 l 的“绝对曲线” ,分别进行判定是否垂直 a 即 可.
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解答: 解: ①由直线 y=ax+1﹣a, 可知此直线过点 A (1, 1) , y=﹣2|x﹣1|= 如图所示, 直线 l 与函数 y=﹣2|x﹣1|的图象只能由一个交点,故不是“绝对曲线” ; ②y=x 与 l:y=ax+1﹣a 联立
2





解得




2 2 2

此两个交点的距离
2 2 2

=|a|,化为(a﹣2) (1+a )﹣a =0,

令 f(a)=(a﹣2) (1+a )﹣a ,则 f(1)=2﹣1=1>0,f(2)=0﹣4<0,因此函数 f(a) 2 2 2 在区间(1,2)内存在零点,即方程(a﹣2) (1+a )﹣a =0,有解. 故此函数的图象是“绝对曲线” ; ③(x﹣1) +(y﹣1) =1 是以(1,1)为圆心,1 为半径的圆,此时直线 l 总会与此圆由 两个交点, 且两个交点的距离是圆的直径 2, ∴存在 a=±2 满足条件, 故此函数的图象是 “绝 对曲线” ; ④把直线 y=ax+1﹣a 代入 x +3y =4 得(3a +1)x +6a(1﹣a)x+3(1﹣a) ﹣4=0, ∴x1+x2= ,x1x2=
2 2 2 2 2 2 2 2 2


2 2

若直线 l 被椭圆截得的弦长是|a|,则 a =(1+a )[(x1+x2) ﹣4x1x2]=(1+a ) { ﹣4× },

化为



=0,

令 f(a)=,而 f(1)= ﹣4<0,f(3)=



>0.

∴函数 f(a)在区间(1,3)内有零点,即方程 f(a)=0 有实数根,而直线 l 过椭圆上的 定点(1,1) ,当 a∈(1,3)时,直线满足条件,即此函数的图象是“绝对曲线” . 综上可知:能满足题意的曲线有②③④. 故答案为:②③④

点评: 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的运用,属于难题. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. 已知函数 (ω>0, . 其

图象的最高点与相邻对称中心的距离为 (Ⅰ)求函数 f(x)的达式;

,且过点



(Ⅱ)在△ABC 中.a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边, 满足 2a=4asinC﹣csinA,求 c 的值.



,角 C 为锐角.且

考点: 由 y=Asin (ωx+φ) 的部分图象确定其解析式; 两角和与差的正弦函数; 正弦定理.
[来 源:学,科,网]

专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (Ⅰ)利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式,根据函数的周期求ω,把所给 的点的坐标代入求出Φ的值,从而确定出函数的解析式. (Ⅱ)根据条件 2a=4asinC﹣csinA,由正弦定理求得 sinC 的值,可得 cosC 的值,再由余 弦定理求得 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由于 . (2 分)

∵最高点与相邻对称中心的距离为

=

,则

,即 T=π, (3 分)



,∵ω>0,∴ω=2. (4 分) ,∴ ,即 ,∴

又 f(x)过点 . (5 分)



,∴

,∴

. (6 分) . (8

(Ⅱ) 2a=4asinC﹣csinA, 由正弦定理可得 2sinA=4sinAsinC﹣sinCsinA, 解得 分) 又∵ 又 ,
2 2 2

,∴

. (9 分) ,∴b=6, (11 分)

由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC=21,∴ . (12 分) 点评: 本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,两角和差的正弦公式、 正弦定理和余弦定理的应用,两个向量的数量积的定义,属于中档题. 17.设函数 f(x)=|2x﹣m|+4x. (I)当 m=2 时,解不等式:f(x)≤1; (Ⅱ)若不等式 f(x)≤2 的解集为{x|x≤﹣2},求 m 的值. 考点: 带绝对值的函数;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: (I) 当 m=2 时, 函数 f (x) =|2x﹣2|+4x, 由不等式 f (x) ≤1 可得 ① ,

或 ②

,分别求出①②的解集,再取并集,即得所求.

(Ⅱ)由 f( x)=

,可得连续函数 f(x) 在 R 上是增函数,故有 f(﹣

2)=2,分当 ≥﹣2 和当 <﹣2 两种情况,分别求出 m 的值,即为所求. 解答: 解: (I)当 m=2 时,函数 f(x)=|2x﹣2|+4x,由不等式 f(x)≤1 可得 ① ,或 ② .

解①可得 x∈? ,解②可得 x≤﹣ ,故不等式的解集为 {x|x≤﹣

}.

(Ⅱ)∵f(x)=

,连续函数 f(x) 在 R 上是增函数,由于 f(x)≤2

的解集为{x|x≤﹣2}, 故 f(﹣2)=2,当 ≥﹣2 时,有 2×(﹣2)+m=2,解得 m=6.

当 <﹣2 时,则有 6×(﹣2)﹣m=2,解得 m=﹣14. 综上可得,当 m=6 或 m=﹣14 时,f(x)≤2 的解集为{x|x≤﹣2}. 点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,绝对值不等式的解法,体现了分类讨论的数学思 想,属于中档题. 18.如图所示,圆柱的高为 2,PA 是圆柱的母线,ABCD 为矩形,AB=2,BC=4,E、F、G 分别 是线段 PA,PD,CD 的中点. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)求证:PB∥面 EFG; (3)在线段 BC 上是否存在一点 M,使得 D 到平面 PAM 的距离为 2?若存在,求出 BM;若不 存在,请说明理由.

考点: 点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 专题: 综合题.[来源:学。科。网] 分析: (1)证明平面 PDC⊥平面 PAD,只需证明 CD⊥平面 PAD 即可; (2)取 AB 中点 H,连接 GH,HE,证明 E,F,G,H 四点共面,再证明 EH∥PB,利用线面平 行的判定,即可证明 PB∥面 EFG; (3)假设在 BC 上存在一点 M,使得点 D 到平面 PAM 的距 离为 2, 则以△PAM 为底 D 为顶点的三棱锥的高为 2, 连接 AM, 则 AM= = ,

利用等体积 VD﹣PAM=VP﹣AMD,即可求得结论. 解答: (1)证明:∵PA 是圆柱的母线,∴PA⊥圆柱的底面.…(1 分) ∵CD? 圆柱的底面,∴PA⊥CD 又∵ABCD 为矩形,∴CD⊥AD 而 AD∩PA=A,∴CD⊥平面 PAD …(3 分) 又 CD? 平面 PDC,∴平面 PDC⊥平面 PAD. …(4 分) (2)证明:取 AB 中点 H,连接 GH,HE, ∵E,F,G 分别是线段 PA、PD、CD 的中点, ∴GH∥AD∥EF, ∴E,F,G,H 四点共面. …(6 分) 又 H 为 AB 中点,∴EH∥PB. …(7 分) 又 EH? 面 EFG,PB? 平面 EFG, ∴PB∥面 EFG. …(9 分) (3)解:假设在 BC 上存在一点 M,使得点 D 到平面 PAM 的距离为 2,则以△PAM 为底 D 为 顶点的三棱锥的高为 2,

连接 AM,则 AM= 由(2)知 PA⊥AM,∴S△PAM= ∴VD﹣PAM= ∵S△AMD= = = ×

= =

, = …(11 分)

×2=

∴VP﹣AMD= S△AMD×PA= ∵VD﹣PAM=VP﹣AMD ∴ 解得:BM=2 =

=

…(12 分)

∵ ∴在 BC 上存在一点 M,当 BM=2

使得点 D 到平面 PAM 的距离为 2…(14 分)

点评: 本题考查面面垂直,考查线面垂直,考查三棱锥体积的计算,解题的关键是掌握面 面、线面垂直的判定定理,正确计算三棱锥的体积,属于中档题.

19.已知数列{an}的首项 a1=t>0, (1)若 ,求证
*

,n=1,2,…

是等比数列并求出{an}的通项公式;

(2)若 an+1>an 对一切 n∈N 都成立,求 t 的取值范围. 考点: 数列递推式;数列的函数特性;等比关系的确定. 专题: 综合题. 分析: (1)根据条件取倒数,再作变形,即可证得数列 等比数列,从而可求数列 是首项为 ,公比为 的

的通项公式,即可求{an}的通项公式;

(2)由

知 an>0,故 an+1>an 得

,根据数列



通项公式,可得不等式,从而可求 t 的取值范围. 解答: (1)证明:由题意知 an>0, ∵ ,∴ ,





∵ ∴数列

(4 分) 是首项为 , 公比为 的等比数列; (5 分)



,∴

(8 分)

(2)解:由(1)知





(10 分)[来源:学科网]



知 an>0,故 an+1>an 得

(11 分)

即 ∴ ,又 t>0,则 0<t<1(14 分)

点评: 本题以数列的递推式为载体,考查构造法证明等比数列,考查数列的通项,考查不 等式知识,解题的关键是取倒数,构造新数列.

20.已知椭圆的中心是坐标原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 点的距离和为 ,过点 M(0,

,又椭圆上任一点到两焦

)与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P、Q 两点.

(1)求椭圆的方程; (2)在 y 轴上是否存在定点 N,使以 PQ 为直径的圆恒过这个点?若存在,求出 N 的坐标, 若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)由椭圆定义可知 2a= 可求 b 值;

,由此可得 a 值,再由离心率可得 c 值,由 a =b +c

2

2

2

(2)设 l 的方程为 y=kx﹣ ,P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,假设在 y 轴上存在定点 N(0,m) 满足题设,则对于任意的 k∈R, ? =0 恒成立,联立直线 l 与椭圆方程,消掉 y 得 x ? =0 化为关于 k 的恒等式,从而可得 m

的方程,由韦达定理及向量的数量积运算可把 的方程组,解出即可. 解答: 解: (1)因为离心率为 ; (2)设 l 的方程为 y=kx﹣ , ,又 2a=

,∴a=

,c=1,故 b=1,故椭圆的方程为



得(2k +1)x ﹣ kx﹣

2

2

=0,

设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,则 x1+x2=

,x1? x2=



假设在 y 轴上存在定点 N (0, m) 满足题设, 则 ? =x1x2+(y1﹣ m) (y2﹣m)=x1x2+y1y2﹣m(y1+y2)+m
2 2





=x1x2+(kx1﹣ ) ( kx2﹣ )﹣m(kx1﹣ +kx2﹣ )+m =(k +1)x1x2﹣k( +m) ?(x1+x2)+m + m+ = ﹣k( +m) ? +m + m+
2 2 2

=



由假设得对于任意的 k∈R,

?

=0 恒成立,即

,解得 m=1,

因此,在 y 轴上存在定点 N,使得以 PQ 为直径的圆恒过这个点,点 N 的坐标为(0,1) . 点评: 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解,考查向量的有关运算,考 查学生分析解决问题的能力.

21.已知函数 f(x)=x ,

2

,且函数 g(x)在[﹣1,1]上单

调递减. (1)若 g(x)≤λ+3sin1 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,求λ的取值范围; (2)若关于 x 的方程 lnf(1+x)=2x﹣m 在区间 数的底数) ,试求 m 的取值范围. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 综合题;转化思想. 分析: (1)求出函数的导数,推出 g(x) ,通过 g(x)≤λ+3sin1 在 x∈[﹣1,1]上恒成 立,转化为λ≥﹣2sin1,求λ的取值范围; (2)若关于 x 的方程 lnf(1+x)=2x﹣m 在区间 上 有两个根(e 为自然对 上有两个根(e 为自然对

数的底数) ,转化为函数 h(x)的图象与 x 轴交点个数,通过导数判断函数的单调性,求出 最大值,得到方程有两个根的条件,求出 m 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意得 g(x)=λx+sinx,所以 g'(x)=λ+cosx, 因 g(x)在[﹣1,1]上单调递减,所以 g'(x)≤0 在[﹣1,1]上恒成立, 即λ≤﹣cosx 在[﹣1,1]上恒成立,得λ≤﹣1. (3 分) 因 g(x)在[﹣1,1]上单调递减,所以[g(x)]max=g(﹣1)=﹣λ﹣sin1, 又 g(x)≤λ+3sin1 在 x∈[﹣1,1]上恒成立,故只需﹣λ﹣sin1≤λ+3sin1 恒成立 所以λ≥﹣2sin1,又 sin30°<sin1,所以 1<2sin1,故﹣2sin1≤λ≤﹣1 (2)由(1)知 f(1+x)=(1+x) ,所以方程为 ln(1+x) =2x﹣m, 2 设 h(x)=ln(1+x) ﹣2x+m,则方程根的个数即为函数 h(x)的图象与 x 轴交点个数, 因 ,
2 2

当 x∈(﹣1,0)时,h′(x)>0,所以 h(x)在(﹣1,0) 上为增函数, 当 x∈(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)时,h′(x)<0, 所以 h(x)在(﹣∞,﹣1)和(0,+∞)上为减函数, 所以 h(x)在 故 h(x)在 又 上为增函数,在(0,e﹣1]上为减函数, 的最大值为 h(0)=m, , ,方程有两根满足:





,即当

时,原方程有两解.

点评: 本题是中档题,考查函数导数在解决恒成立问题,以及方程的根的应用,注意转化 思想的应用,恒成立的应用,是难度较大的题目,常考题型.


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