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高二数学选修4-4直线的参数方程(2)


例3.当前台风中心P在某海滨城市O向东300Km 处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向 移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于 台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开 始受到台风侵袭? y M

O

p

y M

O

p

y

M o

45

0

P
x

解:取O为原点,OP所在直线为x轴,建立直 角坐标系,如图,则点 P的坐标为(300,0) 以O为圆心, 250km为半径作圆O,当台风中心 移动后的位置M在圆O内或以圆O上时,城市O 将受到台风侵袭。 圆O的方程为x ? y ? 250
2 2 2

设经过时间t后,台风中心M的坐标为( x, y ),根据 条件知台风中心 M移动形成的直线 l的方程为 x ? 300? 40t ? cos135 { (t为参数,t ? 0) 0 y ? 40t ? sin 135
0

即{

x ? 300? 20 2t y ? 20 2t

(t为参数,t ? 0)

当点M (300? 20 2t ,20 2t )在圆O内或在圆O上 时有(300? 20 2t ) 2 ? (20 2t ) 2 ? 2502 15 2 ? 5 7 15 2 ? 5 7 解得 ?t ? 4 4 由计算器计算得, t的范围约为2.0 ? t ? 8.6 所以,大约在2h后该城市开始受到台风 侵袭

思考:

在例3中,海滨城市O受台风侵袭大概 持续多长时间? 如果台风侵袭的半径也发生变化(比如: 当前半径为250KM,并以10KM/h 的速度不断增大),那么问题又该如何 解决?

例4,如图,AB, CD是中心为点O的椭圆的 两条相交弦,交点为P,两弦AB,CD与椭圆长 轴的夹角分别为?1,?2,且?1=?2。求证: PA ? PB ? PC ? PD .
C
2

O p

B
1

C
2

O p

B
1

A

D

A

D

证明:如图建立平面直 角坐标系,设椭圆的长 轴、短轴的长分别为 2a,2b, 则椭圆的方程为 x2 y2 ? 2 ? 1.......... .......... .........( 1), 2 a b 设?1 ? ? , 点P的坐标为( x0 , y0 ), 则直线 AB的参数为 { x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?
2 2

(t为参数).....(2)

将(2)代入(1)并整理,得到 (b cos ? ? a sin ? )t ? 2(b x0 cos? ? a y0 sin ? )t ?
2 2 2 2 2 2 2 (b 2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2 ) ? 0.......... .......... .......... .......( 3)

由于a cos ? ? b sin ? ? 0,因此方程(3)有两个根
2 2 2 2

设这两个根分别为 t1 , t 2,容易得到 b x ?a y ?a b PA ? PB ? t1 ? t 2 ? 2 ...(4) 2 2 2 b cos ? ? a sin ?
2 2 0 2 2 0 2 2

同理,对于直线 CD,将?换为?-?,即得到 b x ?a y ?a b PC ? PD ? 2 b cos2 (? ? ? ) ? a 2 sin 2 (? ? ? )
2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 b 2 x0 ? a 2 y0 ? a 2b 2 ? 2 .......... .......... .....(5) 2 2 2 b cos ? ? a sin ?

由(4)、 (5)得到 PA ? PB ? PC ? PD

探究:

如果把椭圆改为双曲线,是 否会有类似的结论?

练习1:

直线过点A(1,3),且与向量( 2,?4)共线 ( 1 )写出该直线的参数方 程 (2)求点P(? 2,?1 )到此直线的距离

练习2:

? x ? 2 cos? 过点P(?3,3)作直线l交椭圆? (?为参数) ? y ? sin ? 164 于A, B两点,若 PA ? PB ? , 求直线l的方程。 7

练习3:
3 已知经过A(5,?3)且倾斜角的余弦是? 的直线 5 2 2 ( 1 )直线与圆x ? y ? 25交于B、C两点,求 BC中点坐标; (2)求过点A的切线方程及切点坐标 。


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