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2013沈阳四校期中考试高三联考文科数学答案


考试题答案
一. 选择题。 BCAAC BADDA

AB

二、填空题: 13、16 2 +16 三、解答题: 14、-8 15、4 ? 16、 2 2 或 4

2 17、解: (1)? m // n ? 2 sin B(2 cos

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2

? sin 2B ? ? 3 cos2B



t a n B ? ? 3 ……………3 分 2
2? 3
?B ?

又? B 为锐角 ? 2B ? ?0, ? ? ? 2 B ? (2)? B ?

?
3

………6 分

?
3

, b ? 2,由余弦定理得 cos B ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

2 2 即 a ? c ? ac ? 4 ? 0 ----------------------------------------------------9
2 2 又? a ? c ? 2ac 代入上式得 ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立)…10 分

S ?ABC ?

1 3 )………12 分 ac sin B ? ac ? 3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 2 4

18、解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2 所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12

…6 分

(Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b1 ? ?8

b1 (1 ? q n ) ? 4(1 ? 3n ) ?8q ? ?24 , q =3, {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ? 1? q
19、解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?

……12 分

1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ? sin( ? ? )(0 ? ? ? ? ) 2 2 2 1 1 ? cos 2 x 1 cos ? ? cos ? 所以 f ( x) ? sin 2 x sin 2? ? 2 2 2 1 1 ? sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? 2 2 1 ? (sin 2 x sin ? ? cos 2 x cos ? ) 2

?

1 cos(2 x ? ? ). 2

又函数图象过点 ( 所以

? 1

1 1 ? ? cos(2 ? ? ? ) 2 2 6

, ) 6 2

即 cos(

?

3

? ? ) ? 1,

又0 ?? ? ? 所以 ? ?

? . 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 到原来的

1 ? cos(2 x ? ) ,将函数 y ? f ( x) 的图象上各点的横坐标缩短 2 2

1 ,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,可知 2 1 ? g ( x) ? f (2 x) ? cos(4 x ? ), 2 3
因为 x ? [0,

?

4

]

所以 4 x ? [0, ? ] 因此 4 x ? 故?

?
3

? [?

? 2?
3 , 3

]

1 ? ? cos(4 x ? ) ? 1 2 3

所以 y ? g ( x)在[0,

?

4

] 上的最大值和最小值分别为

1 1 和? . 2 4

20、 )在 Rt△ABC 中,AB=1, (Ⅰ ∠ BAC=60° BC= 3 ,AC=2. ,∴ 在 Rt△ACD 中,AC=2,∠ CAD=60° , ∴ CD=2 3 ,AD=4. 1 1 ∴ ABCD= AB ? BC ? AC ? CD S 2 2 1 1 5 ? ? 1? 3 ? ? 2 ? 2 3 ? 3 .……………… 3 分 2 2 2 1 5 5 则 V= ? ……………… 5 分 3?2 ? 3. 3 2 3 (Ⅱ )∵ PA=CA,F 为 PC 的中点, ∴ AF⊥ PC. ……………… 7 分 ∵ PA⊥ 平面 ABCD,∴ PA⊥ CD. ∵ AC⊥ CD,PA∩AC=A, ∴ CD⊥ 平面 PAC.∴ CD⊥ PC. ∵ 为 PD 中点,F 为 PC 中点, E ∴ EF∥ CD.则 EF⊥ PC. ……… 11 分

P

E F A M B C D

∵ AF∩EF=F,∴ PC⊥ 平面 AEF.…… 12 分 21、解: (I) a ?

1 1 时, f ( x) ? x(e x ? 1) ? x 2 , 2 2

f ?( x) ? e x ? 1 ? xe x ? x ? (e x ? 1)( x ? 1).

当x ? (??,?1)时, f ?( x) ? 0;当x ? (?1,0)时, f ?( x) ? 0;当x ? (0,??)时, f ?( x) ? 0. 故f ( x)在(??,?1), (0,??)单调增加 在(?1,0)单调减少 , .
(II) f ( x) ? x(e x ? 1 ? ax). 令 g ( x) ? e x ? 1 ? ax, 则g ?( x) ? e x ? a. 若 a ? 1, 则当x ? (0,??)时, g ?( x) ? 0, g ( x)为增函数 而g (0) ? 0, 从而当x ? 0时 ,

g ( x) ? 0,即f ( x) ? 0.
若 a>1,则当 x ? (0, ln a)时, g ?( x) ? 0, g ( x) 为减函数,而 g (0) ? 0, 从而当 x ? (0, ln a)时g ( x) ? 0,即f ( x) ? 0. 综合得 a 的取值范围为 (??,1]. 22、[解析]:解: (Ⅰ)定义域为 ?0,??? ……………………1 分

? f / ( x) ? ln x ?

1? x x

…………………… 4 分 ? f / (1) ? 2 且切点为(1,0) 故 f (x) 在 x ? 1 处的切线方程 y ? 2 x ? 2. ……………………-6 分 1? x ln x ? 0 . (Ⅱ)由已知 a ? 0 ,因为 x ? (0,1) ,所以 1? x (1)当 a ? 0 时, g ( x) ? 0 ,不合题意. ……………………8 分 2a (1 ? x) ? 0. (2)当 a ? 0 时, x ? (0,1) ,由 g ( x) ? ?2 ,可得 ln x ? 1? x 2a (1 ? x) x 2 ? (2 ? 4a) x ? 1 设 h( x) ? ln x ? ,则 x ? (0,1) , h( x) ? 0 . h?( x) ? . 1? x x(1 ? x) 2 设 m( x) ? x ? (2 ? 4a) x ? 1 ,方程 m( x) ? 0 的判别式 ? ? 16a(a ? 1) .
2

若 a ? (0,1] , ? ? 0 , m( x) ? 0 , h ?( x) ? 0 , h(x) 在 (0,1) 上是增函数,又 h(1) ? 0 ,所 以 x ? (0,1) , h( x) ? 0 . …………………… 10 分 若 a ? (1,??) , ? ? 0 , m(0) ? 1 ? 0 , m(1) ? 4(1 ? a) ? 0 ,所以存在 x0 ? (0,1) ,使得

m( x0 ) ? 0 ,对任意 x ? ( x0 ,1) , m( x) ? 0 , h?( x) ? 0 , h(x) 在 ( x0 ,1) 上是减函数,又

h(1) ? 0 ,所以 x ? ( x0 ,1) , h( x) ? 0 . 综上,实数 a 的取值范围是 (0,1] .

……………………12 分


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