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2016届高考数学大一轮复习 第二章 8指数函数课件 文


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1.根式
(1)根式的概念 ①若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子
n

a 叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.

②a的n次方根的表示: n ? x = a(当n为奇数且n ? N * 时) ? n x =a?? n x = ? a(当n为偶数且n ? N * 时) ? ?

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(2)根式的性质
n n ①( a) =a.(n∈N*).

?a,当n为奇数 ? n an = ? ?a,a ? 0 ② ? a = ?-a,a < 0 当n为偶数 ? ?

(2)分数指数幂的意义 m *,且n>1). ①正分数指数幂: (a > 0 , m , n ∈ N n m n a = a ②负分数指数幂: a
?m n

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

= m ? n am n a

1

1

(a>0,m,n∈N*,且n>1).

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2.有理数指数幂
(1)幂的有关概念: m *,且n>1). ①正分数指数幂: (a > 0 , m , n ∈ N n m n a = a ②负分数指数幂: a
?m n

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质: ①aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); ②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

= m ? n am an

1

1

(a>0,m,n∈N*,且n>1).

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3.指数函数的图象与性质
函数 图象 定义域 值域 性质 y=ax(a>0,且a≠1) a>1

0<a<1

R (0,+∞) 过定点(0,1) 当x>0时,y>1; x<0时,0<y<1 在R上是增函数 当x>0时,0<y<1; 当x<0时,y>1 在R上是减函数

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1.指数函数图象的画法
画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),
1 (0,1),(-1, ) a

2.应用指数函数性质时应注意的两点
(1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象和性质跟a的取值有关, 要特别注意应分a>1与0<a<1来研究. (2)对可化为a2x+b?ax+c=0或a2x+b?ax+c≥0(≤0)的指数 方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元” 的取值范围.
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考向分层突破一:指数幂的化简与求值

化简下列各式:
1 16 (1)( 3 2 ? 6)6 - 4( ) 2 49

解析:

(1)原式= =101

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( 2)(0.027)

-

1 3

1 -2 7 1 - ( ) + (2 ) 2 - ( 2 - 1)0 7 9

5 -2 -1 -3 (3)( a b ) ? (-3a b ) ? (4a b ) ? 6
-

1 3

1 2

2 3

1 2

ab

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指数幂的一般运算步骤:
有括号先算括号里的,无括号先做指数运算,先乘除后加 减,负指数幂化成正指数幂的倒数,底数是负数,先确定符 号,底数是小数,先要化成分数,底数是带分数的,先化成 假分数,若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式 表示,运用指数运算性质.

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考向大突破二:指数函数的图象及应用

例1:(1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是(

)

解析:

(1)将函数解析式与图象对比分析,

因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0], 只有A满足上述两个性质,故选A.

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(2)方程2x=2-x的解的个数是________.
解析:(2)方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别 作出这两个函数图象(如图所示).

由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1

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指数函数图象的画法及应用 (1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关 1 键点:(1,a),(0,1),(-1, )
a

(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应 指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的 指数型函数图象数形结合求解.

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跟踪训练1:在同一直角坐标系中,函数f(x)=2x+1与g(x)= 1 ( 2 )x-1的图象关于( ) A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对 称

解析:

(1)∵g(x)=21-x=f(-x), ∴f(x)与g(x)的图象关于y轴对称.

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跟踪训练2:若曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共 点,求b的取值范围.
解析: 曲线y=|2x-1|与直线y=b的图象如图所示,

由图象可得,如果曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公共点, 则b的取值范围是(0,1).

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考向分层突破三:指数函数的性质及应用

例2(1)(2014·贵州遵义六校联考)若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1) 1 满足f(1)= ,则f(x) 的单调递减区间是( ) 9 A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]

解析:(1)f(1)=
又a>0,所以a=

得a2=

.

,因此f(x)=13|2x-4|.

因为g(x)=|2x-4|在[2,+∞)上单调递增, 所以f(x)的单调递减区间是[2,+∞).

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(2)设a= ________.

2 3 5 (, ) b= 5

3 2 5 ( ) ,c = 5

2 2 5 )b,c的大小关系是 ,则a( , 5

(2)∵y= x

2 5

(x>0)为增函数,∴a>c.

2 x ( ∵y= ) (x∈R)为减函数,∴c>b,∴a>c>b. 5

答案:a>c>b

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1 -x2 +2x+1 同类练1.求f(x)= ( ) 的单调区间. 2
解析: u=-x2+2x+1在(-∞,1]上是增函数, 在[1,+∞)上为减函数;

1 u 而函数y= ( ) 在R上为减函数, 2
∴f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上为增函数.

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同类练2.2.不等式 2-x

2

+ 2x

1 x+4 > ( ) 的解集为________. 2

1 x2 ? 2x 1 x+4 1 x+4 >( ) 解析:不等式 2 可化为 ( ) , >( ) 2 2 2 等价于不等式x2-2x<x+4,
-x 2 +2x

即x2-3x-4<0,解得-1<x<4, 所以解集为{x|-1<x<4}. 答案: {x|-1<x<4}

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变式练3.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数).若f(x)在区间 [2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.
解析: 令t=|2x-m|,

m 则t=|2x-m|在区间( 2 ,+∞)上单调递增, m 在区间(-∞, )上单调递减; 2
而y=2t在R上为增函数, 所以,若函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)单调递增, 则有m2≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].

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a 拓展练4.已知f(x)=a 2 - 1

(ax-a-x)(a>0,且a≠1). (1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.
解析: (1)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称. 又因为f(-x)=

a (a-x-ax)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 2 a -1

(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数.所以f(x)为增函数. 当0<a<1时,a2-1<0,y=ax为减函数,y=a-x为增函数, 从而y=ax-a-x为减函数.所以f(x)为增函数. 故当a>0且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知f(x)在 R上是增函数,所以在区间[-1,1]上为增函数.

a 所以f(-1)≤f(x)≤f(1).所以f(x)min=f(-1)= 2 (a-1-a)= a -1
所以要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立, 则只需b≤-1.故b的取值范围是(-∞,-1].
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a 1 - a2 =-1. a2 - 1 a

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考向分层突破三:指数函数的性质及应用
1 ax2 -4x+3 ( 例3已知函数f(x)= 3 )

解析: (1)当a=-1时,f(x)= ( ) 3 令g(x)=-x2-4x+3, 由于g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减, 1 而y = ( )t 在R上单调递减,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递减,
2

(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的 值. 1 -x -4x+3

3

在(-2,+∞)上单调递增, 即函数f(x)的递增区间是(-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). (2)令h(x)=ax2-4x+3,y=( )h(x)
?a > 0 ? 因此必有 ? 12a - 16 = -1 ,解得a=1, ? 4a ?

1 3

由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值-1,

即当f(x)有最大值3时,a的值等于1.
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求解与指数函数有关的复合函数问题时, 首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性 等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉 及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助 “同增异减”这一性质分析判断,最终将问题 归纳为与内层函数相关的问题加以解决.

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变式训练3.(1)若函数y= 围是( )
A.(0, 1 ) 2 B.( 1 ,1) 2

(log 1 a)x
2

在R上为增函数,则a的取值范
D.(1, + ?)

C.(

1 , +?) 2

-x ( ) (2)求f(x)=

1 2

2

+2x+1

的单调区间.

解析:(2)u=-x2+2x+1在(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上为减函数;
u 而函数y= ( 2 ) 在R上为减函数,

1

∴f(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上为增函数.

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考向分层突破四:换元法破解与指数函数有关的最值问题

例:函数y = ( )x - ( )x + 1在x ? [-3, 2]上的值域是(

1 4

1 2



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1 ( ) ,把函数 1.解答本题可利用换元法,即令t= 2 1 2 [ , 8] 化为y=t -t+1,其中t∈ 4 ,然后求在这个闭区 间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的 值域. 2.对于含ax、a2x的表达式,通常可以令t=ax进行 换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元 后转化为我们熟悉的一元二次关系.
X

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跟踪训练:方程 ( 1 )x-1+ ( 1 ) x+a=0有正数解,则实数a的取值
2 4

范围是( ) A.(-∞,1) B.(-∞,-2) C.(-3,-2) D.(-3,0)

解析:

令t= ( 1 ) x,因为方程有正根,
2

所以t∈(0,1),则方程可转化为t2+2t+a=0,

所以a=1-(t+1)2.
因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0),故选D. 答案: D
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