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高考复习 一元二次不等式及其解法


第一节

一元二次不等式及其解法

1 . 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程 的关系如下表
判别式 Δ=b2- 4ac 二次函数 y=ax2+ bx+c (a>0)的 图像 Δ>0 Δ=0 Δ<0

一元二次方程 有两相异实根 2 ax + bx+c= 0 x1,x2(x1< x2) (a> 0)的根 一元二次不等 {x| x<x1 式 或x>x2 } ax2+ bx+c> 0 ____________ (a> 0)的解集 ax2+ bx+c< 0 {x|x <x<x } 1 2 ___________ (a> 0)的解集

有两相同实根 b 没有实根 x1=x2=- 2a R

{x|x≠x1} ___________

?

? ______

2.用程序框图表示一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0) 的求解过程

3.简单的分式不等式 f(x) f(x)· g(x)>0 (1) >0?_______________ ; g(x) f(x) f(x)· g(x)≤0且g(x)≠0 (2) ≤0?________________________ . g(x)

1.(人教 A版教材习题改编)不等式2x2-x-1>0的解集 是( ) 1 A.(- ,1) B.(1,+∞ ) 2 1 C.(-∞, 1)∪(2,+∞) D.(-∞,- )∪(1,+∞) 2

【解析】 ∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0, 1 ∴x>1或x<- . 2 1 故原不等式的解集为(-∞,- )∪(1,+∞). 2 【答案】 D

x-1 2.不等式 ≤0的解集为( ) 2x+1 1 1 A.(- ,1] B.{x|x≥1或x<- } 2 2 1 1 C.[- ,1] D.{x|x≥1或x≤- } 2 2
【解析】 原不等式等价于 (x-1)(2x+1)<0或x-1=0. 1 ∴原不等式的解集为(- ,1]. 2

【答案】

A

解下列不等式 (1)3+ 2x- x2≥0; (2)x2+3>2x; 2x (3) ≤1. x- 1

【思路点拨】

(1) 先把二次项系数化为正数,再用因

式分解法; (2) 用配方法或用判别式法求解; (3) 移项通分,
转化为一元二次不等式求解.

【尝试解答】 (1)原不等式化为 x2- 2x- 3≤ 0, 即 (x- 3)(x+ 1)≤ 0, 故所求不等式的解集为 {x|- 1≤ x≤ 3}. (2)原不等式化为 x2- 2x+ 3> 0, ∵Δ= 4- 12=- 8< 0,又因二次项系数为正数, ∴不等式 x2+ 3> 2x的解集为 R. x+ 1 2x 2x (3)∵ ≤ 1? - 1≤ 0? ≤0 x- 1 x- 1 x- 1 ? (x- 1)(x+ 1)≤ 0且 x≠ 1. ∴原不等式的解集为 [- 1, 1).

1 . 熟记一元二次不等式的解集公式是掌握一元二次不

等式求解的基础,可结合一元二次方程及判别式或二次函数
的图象来记忆求解. 2.解一元二次不等式的步骤: (1)把二次项系数化为正 数;(2)先考虑因式分解法,再考虑求根公式法或配方法或判 别式法;(3)写出不等式的解集.

解下列不等式: (1)-2x2-5x+3>0;

(2)-1≤x2+2x-1≤2;
【解】 (1)∵-2x2- 5x+ 3> 0,∴ 2x2+ 5x-3< 0, ∴ (2x- 1)(x+3)<0, 1 ∴原不等式的解集为{x|- 3<x< }. 2 (2)这是一个双向不等式,可转化为不等式组 2 ? ?x + 2x- 1≥- 1, ? 2 ? ?x + 2x- 1≤ 2,

2 ? ?x + 2x≥ 0, 即? 2 ? ?x + 2x- 3≤ 0.

① ② 由①得x≥0或x≤-2; 由②得-3≤x≤1. 故得所求不等式的解集为{x|-3≤x≤-2或0≤x≤1}.

求不等式12x2-ax>a2(a∈R)的解集. 【思路点拨】 先求方程 12x2-ax= a2的根,讨论根的

大小,确定不等式的解集.

【尝试解答】 ∵12x2-ax>a2,∴12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 得:x1=- ,x2= . 4 3 a a a a ①a>0时,- < ,解集为{x|x<- 或x> }; 4 3 4 3

② a= 0时, x2> 0,解集为{x|x∈R且x≠ 0}; a a a a ③ a< 0时,- > ,解集为{x|x< 或 x>- }. 4 3 3 4 a 综上所述:当a> 0时,不等式的解集为{x|x<- 或 x> 4 a }; 3 当 a= 0时,不等式的解集为{x|x∈ R且x≠ 0}; a a 当 a< 0时,不等式的解集为{x|x< 或 x>- }. 3 4

解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项若含有参数应讨论参数是等于0,小于0,还是 大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程实根的个数,讨论判别式Δ与0的关系.

(3) 确定方程无实根时可直接写出解集,确定方程有两
个相异实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形 式.

解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0.
【解】 原不等式可化为(x-a)(x-1)<0.

当a>1时,原不等式的解集为(1,a);
当a=1时,原不等式的解集为空集; 当a<1时,原不等式的解集为(a,1).

3.(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在

R上恒成立,则实数a的取值范围是________.
【解析】 ∵x2-ax+2a>0在R上恒成立,

∴Δ=a2-4×2a<0,∴0<a<8. 【答案】 (0,8)

1 1 4.一元二次不等式ax +bx+2>0的解集是(- , ), 2 3 则a+b的值是________.
2

【解析】 1 . 3

1 由已知得方程 ax + bx+ 2=0的两根为- , 2
2

1 1 ? b ?-a=-2+3 则? ?2=(- 1)×1 2 3 ?a ∴ a+ b=- 14.

?a=- 12, ? 解得? ? ?b=- 2,

【答案】

-14

已知关于 x的不等式 x2 + ax+ b< 0的解集 ( - 1 , 2) ,
试求关于x的不等式ax2+x+b<0的解集. 【思路点拨】 不等式解集的端点值是相应方程的根.

【尝试解答】 由于x2+ax+b<0的解集是(-1,2), ?1- a+ b= 0, ?a=- 1, ? ? 所以? 解得? ? ? ?4+ 2a+ b= 0, ?b=- 2. 故不等式即为-x2+x-2<0, ? ?- 1< 0, ∵? ? ?Δ= 1- 8=- 7< 0 ∴不等式ax2+x+b<0的解集为R.

(1) 给出一元二次不等式的解集,则可知二次项系数的 符号和相应一元二次方程的两根. (2) 三个二次的关系体现了数形结合,以及函数与方程 的思想方法.

若不等式mx2-mx-1<0对一切实数x恒成立,求实 数m的取值范围. 【思路点拨】 分 m = 0 与 m≠0 两种情况讨论,当 m≠0

时,用判别式法求解.

【尝试解答】 要使mx2-mx-1<0对一切实数x恒成 立, 若m=0,显然-1<0; ?m< 0, ? 若m≠0,则? 解得-4<m<0, 2 ? ?Δ= m + 4m< 0, 故实数m的取值范围是(-4,0].

1.不等式ax2+ bx+ c>0的解是全体实数(或恒成立)的 ? ?a> 0, 条件是当 a=0时,b= 0,c>0;当a≠0时, ? 不等式 ? ?Δ< 0; ax2+ bx+c< 0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a= 0 ?a< 0, ? 时,b= 0,c<0;当a≠0时,? ? ?Δ< 0. 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数, 一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就 是参数.

对任意 a∈[ - 1 , 1] 不等式 x2 + (a - 4)x + 4 - 2a > 0 恒成 立,则实数x的取值范围是________.

【解析】 设f(a)=(x-2)a+x2-4x+4,则原问题可 转化为一次函数(或常数函数)f(a)在区间[-1,1]上恒正时x 应满足的条件, ?f(- 1)> 0, ? 故应有? ? ?f( 1)> 0. 2 ? ?x - 5x+ 6> 0, 即? 2 ? ?x - 3x+ 2> 0,

? ?( x- 2)( x- 3)> 0, 化为? ? ?( x- 1)( x- 2)> 0.

解之,得x<1或x>3.

【答案】

x<1或x>3

解一元二次不等式的一般过程是:一看 ( 看二次项系数 的符号 ) ,二算 ( 计算判别式,判断方程根的情况 ) ,三写 ( 写 出不等式的解集).

不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)(a≠0)的求解,
善于联想:(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点, (2)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,运用好“三个二次”间的 关系.

1.二次项系数中含有参数时,参数的符号影响不等式的

解集;不要忘了二次项系数是否为零的情况.
2 . 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解, 再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别 式进行分类讨论,分类要不重不漏. 3.不同参数范围的解集切莫取并集,应分类表述.

从近两年的高考试题来看,一元二次不等式的解法、含 参数不等式的解法以及二次函数、一元二次方程、一元二次 不等式的综合应用等问题是高考的热点.常与集合、函数、 导数等知识交汇命题,主要考查分析问题、解决问题的能

力、推理论证能力及转化与化归的思想.

思想方法之一 巧用一元二次不等式求代数式的最值
(2011· 浙江高考 ) 设 x , y 为实数,若 4x2 + y2 + xy = 1,则2x+y的最大值是________.
【解析】 法一 设2x+ y= t,∴ y=t- 2x,代入4x2+ y2+ xy= 1,整理得6x2- 3tx+t2- 1= 0.关于 x的方程有实 2 10 2 2 根,因此Δ=(- 3t) - 4×6× (t - 1)≥ 0,解得- ≤ t≤ 5 2 10 2 10 .则 2x+ y的最大值是 . 5 5 法二 ∵ 1= 4x2+y2+ xy= (2x+y)2- 3xy 3 2 = (2x+ y) - (2x)· y 2

3 2x+ y 2 5 ≥ (2x+ y) - · ( ) = ( 2x+y)2, 2 2 8 8 2 ∴ (2x+ y) ≤ , 5 8 8 ∴- ≤2x+ y≤ , 5 5 2 10 2 10 即- ≤ 2x+ y≤ . 5 5
2

【答案】

2 10 5

易错提示:(1)换元后,不会从关于x的一元二次方程有

实数解入手解决问题,致使思维受阻.
(2) 不会利用化归与转化思想化未知为已知,致使解题 时无从下手,盲目作答. 防范措施:(1)应熟练掌握一元二次方程与其判别式Δ之 间的关系,关于x 的一元二次不等式有实根的充要条件是其 对应的判别式非负. (2) 遇到一个问题,要注意寻找结论和已知间的关系,

化已知为未知或化未知为已知.

2 . (2013· 清远模拟 ) 不等式 ax2 + 4x + a > 1 - 2x2 对一切
x∈R恒成立,则实数a的取值范围是________.

【解析】 由题意知,不等式(a+2)x2+4x+a-1>0 对一切x∈R恒成立,则有 ? ?a+ 2> 0, ? 解得a>2. ? ?Δ= 16- 4( a+ 2)( a- 1)< 0,
【答案】 (2,+∞)


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