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三道高考试题 一种解答方略


中学数 学 杂志

2 0 1 5年 第 7期 

2 

昆  ‘   岩  器   冕舅  

三道 高 考试 题  一 - 一 种 解 答 方 略 
山 东师 范大 学附属 中学  2 5 0 0 1 4   傅 平修 

山 东邹城 市第二 中学  
翻看今 年 山东 的高 考试 题 , 发 现文 ( 2 1 ) 、 理( 2 0 )   与 山东 2 0 1 1 年理( 2 2 ) 、 2 0 1 3 年文( 2 2 ) 可 以借 助 同一 

2 7 3 5 0 0  

张伟志 

面积 的 最 大 值 .  

为了解 答上述三题 , 现给 出以下两个结论 :  

种 方 略 解 答 ,即 借 助 三 角 形 的 面 积 公 式 S =  

结论 1   人教 B版《 数学 ? 必修 5 》第 1 0页“ 探 索 
及研究 ”中的命题 :  

÷J   a I b   一 a 2 6 。 I 和椭圆的 参数方程, 就可以比 较简捷  
的解答. 现给 出试题及解答方 略.  
试题 1 ( 2 0 1 1 年 山东理 2 2 )已知动直线 z 与椭 圆 
c:   +了 y =1 交于 P (   。,   。 ), Q (   : , y : )两 不 同点 , 且 

已知  =( 。 , , n : ) ,  
厶  
r 

=( 6   , 6   ) , 设 A   O A B的 面 

积为  则 S:   1     l a i b 2 一a : b 1   1 .  
, 

证明  S=  1   f   o a   J .J   O B’ I   s i n   (  为 
, 

的 夹 

二 



AO P Q的面积 S   。 =   , 其 中 0为坐标原点.  

角) ,  

所以4 S 。 =l   0 州 ?l   D   , / 1 一C O S   0  
(I)证明 :   +   和Y  +Y   均为定值 ;  
=   ( o   +   a   )   ?   ( b   +   6   )   ?  

( . 1 I ) 设线段 P Q的中点为  , 求I O M1 . I P Qf 的最 
大值 ;  

( a i b I+h 2 b 2 )  ̄  

( I l I ) 椭圆 C上足否存在 三点 D, E, G, 使得 S  

=  

s △ ∞ 。 =s   叩 。 =   ?若存在 , 判断 / h D E G的形状 ; 若 不 

所 以 S = ÷ J  一   b , I   .  
结论 2   椭 圆 2


存在 , 请说 明理 由.  

试题 2 ( 2 0 1 3 年 山 东文 2 2 )在平 面直 角 坐标 系 
x O y中 , 已知椭 圆 C的中心在原点 0, 焦点 在 轴上 , 短 
/ 6  '

吾 = l 的 参 数 方 程 为 X


= ac o s O  

。 

试 题 1解 析  (I) 由 已 知 可 设 : P(   c o  ,  

s i n  ) , o ( , / x c 。  ,  s i n / 3 ) ,  
所以S A O p Q=  1  

轴长为 2 , 离心率为  .  
(I) 求椭 圆 C的方程 ;  

? s / o s i  一  s i n / o   。  f  



( 1 1 , )  , B为椭 圆 C上满 足 AA O B的面积为  的 

譬【 s i n (   一 卢 I =   .  
所以锄 i n ( 、  - 1) f =   ±1 , 即  — J B =   +   T r ( J i } ∈z)
,  

任 意两点 , E为线段 A 丑的 中点 , 射线 O E交椭 圆 C于点 
P, 设D  =t   O E   , 求实数 t 的值  试题 3 ( 2 0 1 5 年 山东文 2 1 ) 平 面直角 坐标 系 x O y   中, 已知椭 圆 G :   +   y =l ( 。>6>0 )的离心 率 为 
a  D  

所 以  +  2 2 = 3 ( c o s   / +c O o d  ̄) =3 ( s i n  ̄ l+ f c o s  ) = 3 ,  
y 2 +y 2   =2 ( s i n 2 a


+s i n 2 1) f =2 ( s i n   +c 。 s  ) =2 .  

( I I )由 已 知 肘(   ( c 0 s   +唧

) ,   ( s i n  +  



且点( √   ,  ) 在椭圆 c上.  
(I) 求 椭圆 c的方程 

s i   ) ) , 则 : 】 1 0 M   _ ÷ ( 3 ( c 。 S O / + c 。   )   + 2 ( s ’ i n / O 、 ’  
。 s i   )   ) = ÷ ( 5 + . 6 c 。   c 。   + 4 s i n   s i   ) .   .  
I P Q   I 。 :3 ( C O S / 一c O o s 卢)  +2 ( s i n a —s i n   )   I _   1

( 1 I ) 设椭 圆E:  

+  

1 , 尸为椭 圆 c3 : f :  ̄ , , - 

点, 过 P的直线 Y=k x+m交椭圆 E于 A, B两点 , 射线 

P D交椭圆E于点Q : ( 1 ) 求 

的值; ( 2 ) 求△  Q  

: 5 — 6 c 。 s   c 。  一 4 s i n   s i  。 『 O M   I ? I P Q 『 2   { ( 5  
十 6 c o s ac o s  ̄ + 4 s i n / O s i n 1) f ( 5 — 6 c o s / O c o s  ̄  一  

4 s i n   s i   )≤  1(   1 0 )  

2 5
; 
. 

P ( 2 c o s O , s i n 0 ) , 所以S  B : ÷I   4 c o s  ̄‘ 2 s i  一 4 c o s l f  
?

所以 l   O M   1 ?I   P Q   I ≤- 5 -   , 等 号  成 立 的条 件 是 
3 c o s a c o s  ̄ +2 s i n  ̄ s i   =0 .  

2 s i n a   I =4   l   s i n (  一  )1 .  
因为 P, A , B三点共线 , 且 P在 A ,  之间 , 所 以o p=  

( I U )由(I) 知 D、 E、 G中必有 两点 连线过坐标原  点, 故此 椭圆上不存 在满足条件的三点.  
试题 2 解析  (I)   +Y  =1 .  

m   O A   +( 1一m)D 百( 0 <m < 1 ) ,   即 ( 2 c o s O , s i n 0 ) = m( 4 c o s a, 2 s i n a) + ( 1 一   m) ( 4 c o s B, 2 s i   ) ,  

所以 c o s O:2 [ m c o s  ̄ +( 1一m) e o  ],  

① 

( Ⅱ ) 设A ( √   c o s   , s i n a ) , 日 ( √   c o  , s i n 1 f )  

s i n O=2 [ m s i n a+( 1一m) s i   】,  
①② 平方相加得 

② 

财 s = {   c o s a s i   一   s i n   c 。   l =  

÷= m   + ( 1 一 m )   + 2 m ( 1 一 m ) c o s (  一 J B ) (  

知  ~ / 3 ) i :   .  
s i n (  一 / 3 ) j =   5 -   s i 咄  
E (, — / Y os ̄ + ( c c o s / 3 )



因 为 m 2 + ( 1 一   ≥  
=±   .  
2 m( 1一m)≤   :   1


= ÷ ,  
所以C O S (  一  )  



,  

P (  
+2 c o s (  ~ . B ) ) =4 .  

等 

) ,  所   以  < 0 . 由 ③ ,   1   ≥ ÷ + ÷ c 。 s (   一 卢 ) , 所 以 c 。 s (   一 卢 )   所以s i n   (  一 / 3 ) =l —c 。 s   ( a- / 3 )≤   3 所 以  =  

≤ 一 



2 得t   【 ( c o s   +c o  )  +( s i n s+s i n 1) f   】=4 , 即: t 2 ( 2  

s i n (  一 口 )   1 ≤   , 所以s … ≤2  
由( 1 ) S △   即 =3 S   , 所 以( S △   即)   =6 , 3.  

因 为 c 。 s (   一 卢 ) : ± ÷ , 所 以 £   = 4 或 f   = 了 4 , Y . I  ̄ I  
为 .   > 0 , 所 以   : 2 或   : 孳.  
2  

注  ( 1 )由此 法亦可得 , 当 P为A  中点时 J s   删 的 
面积最大.   ( 2 ) 山东理科卷 2 0题(Ⅱ)同此题 ( I 1 ) .  
作者简介 傅 平修 , 男, 1 9 6 5年 3月生 , 1 9 9 7年破 格 晋 

试题 3 解析

(I)  

+, , 。 :1 .  

升为 中学 高级教 师. 全 国 中学生数 学奥林 匹克 优 秀辅 导 员、  
省高 中数 学骨干教 师、 市优 秀教 师 、 市教 学能手、 市学科 带头  人. 潜心于教育教 学及教 学研 究三十 余年 , 主 编 中学 生读 物 

(Ⅱ) ( 1 )  

_2 _  

十余部 , 在《中学数 学杂 志》 等发表 论文 3 0余篇.  

2 0 1   5年 浙 江 高 考 理 科 压 轴 题 的解 题 分 析 
浙 江省桐 乡第二 中学 
与往年 一样 , 2 0 1 5年 高考 理科 压轴 题 ( 第2 0题 )   仍然延续 了往年的风格 , 保持对 不等式的考查 , 不 同的 

3 1 4 5 1 1  

范 广法 

(I)证 明 : 1≤ —  ≤ 2 ( / ' t ∈N  ) ;  
a n+l  

是今年 的压轴题 以迭 代数列 为背 景 , 往 年多 以 函数 和 
导数 的内容 为依 托. 今 年 的压 轴题构 思更精 巧 , 设计别 

( I I ) 设数列 { 。 : } 的前 n 项和为s   , 证明  
≤  ≤  .  

出心裁 , 解答长度 大 大缩短 , 给学 生 更多 的思 维空 间 ,  
题 目简 约 不简 单 .  
1  

题目   已知数列{ o   } 满足o   = ÷ 且a  : n   一  
/ 

1   解题 的“ 切入 点”与“ 突破 口”分析  根据递 推关 系 , 本题 中的数列 { a   } 认 为是在 给定 

0 2   ( n ∈ N ) .  
5 6  

首项 a 。 后, 由递推公式 a   = , ( a   ) ( 其 中I 厂 (  ) =  —  )  


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