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变化率与导数


第1讲
【知识梳理】 一、导数的概念

变化率与导数

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 叫做函数 y ? f (x) 从 x1到x2 的平均变化率。记 ?x ? x2 ? x1 , x2 ? x1
?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,则平均变化率可表示为

?y 。 函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的 ?x

瞬时变化率 lim

?y f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ? lim 称为函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
x ? x0

导数,记作 f ' ( x0 )或y ' 二、导数的运算



(1)基本初等函数的导数公式 函数 f (x ) 导数 f ' ( x) (2)导数的运算法则 ? [ f ( x) ? g ( x)]' ? ? [
f ( x) ]' ? g ( x)

C

xn

sin x

cos x

ex

ax

loga x

ln x

;? [ f ( x) ? g ( x)]' ? 。



【典例分析】 【例 1】 求函数 y=f(x)=3x2+2 在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率,并求 当 x0=2,Δx=0.1 时平均变化率的值.

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1 【变式 1】 在例 1 中, 分别求函数在 x0=1,2,3 附近 Δx 取2时的平均变化率 k1, k2,k3,并比较其大小.

【例 2】 一质点按规律 s(t)=at2+1 作直线运动(位移单位:m,时间单位:s), 若该质点在 t=2 s 时的瞬时速度为 8 m/s,求常数 a 的值.

【变式 2】 如果质点 A 按照规律 s=3t2 运动,则在 t=3 时的瞬时速度为 ( A.6 ). B.18 C.54 D.81

【例 3】 求 y=x2 在点 x=1 处的导数.
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【变式 3】 求 y=2x2+4x 在点 x=3 处的导数.

【例 4】 用导数的定义求函数 y=x2+ax+b(a,b 为常数)的导数.

【变式 4】 用导数的定义求函数 f(x)=2 012x2 的导数.
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【例 5】 求下列函数的导数. (1)y=5x; 1 4 (2)y=x3; (3)y= x3; 1 )+ x. x (4)y=log3x;

(5)y=(1- x)(1+

【变式 5】 求下列函数的导数: 1 3 (1)y=x7; (2)y=x10; (3)y=x2; (4)y= x.

【例 6】 求下列函数的导数:
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(1)y=x· x;(2)y=(x+1)(x+2)(x+3);(3)y= tan x5+ x7+ x9 x x ;(6)y=x-sin2cos2. x

x+3 2 ;(4)y=xsin x-cos x; 2 x +3

(5)y=

【变式 6】 求下列函数的导数: 1 (1)y=5-4x3; (2)y=3x2+xcos x;(3)y=ex· x;(4)y=lg x-x2. ln

【例 7】 求下列函数的导数. (1)y= 1 ; 1-2x2 (2)y=e2x+1; (3)y=( x-2)2; (4)y=5log2(2x+1).

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【变式 7】 求下列函数的导数: x x (1)y=ln(x+2);(2)y=sin44+cos44; (3)y= 1+ x 1- x + . 1- x 1+ x

【课后练习】 第一部分:变化率与导数问题 1. 已知函数 f(x)=2x2-4 的图象上一点(1, -2)及邻近一点(1+Δx, -2+Δy),

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Δy 则Δx等于( A.4 C.4+2Δx

). B.4x D.4+2(Δx)2

2.如果质点 M 按规律 s=3+t2 运动,则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速 度是( A.4 ). B.4.1 C.0.41 D.3

3.如果某物体的运动方程为 s=2(1-t2)(s 的单位为 m,t 的单位为 s),那么其 在 1.2 s 末的瞬时速度为( A.-4.8 m/s C.0.88 m/s ). B.-0.88 m/s D.4.8 m/s ).

4.已知函数 y=f(x)=x2+1,则在 x=2,Δx=0.1 时,Δy 的值为( A.0.40 B.0.41 lim
Δx→0

C.0.43

D.0.44 ).

5.设函数 f(x)可导,则 A.f′(1) 1 C.3f′(1)

f?1+Δx?-f?1? 等于( 3Δx B.3f′(1) D.f′(3)

1 6.已知函数 y=2+x ,当 x 由 1 变到 2 时,函数的增量 Δy=________. 2 7.已知函数 y=x ,当 x 由 2 变到 1.5 时,函数的增量 Δy=________. 8.一做直线运动的物体,其位移 s 与时间 t 的关系是 s=3t-t2,则物体的初 速度是________. 9.某物体作匀速运动,其运动方程是 s=vt,则该物体在运动过程中其平均速 度与任何时刻的瞬时速度的关系是________.

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1 10.利用导数的定义,求函数 y=x2+2 在点 x=1 处的导数.

11. 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动, 如果它的加速度是 a=5×105 m/s2,子弹从枪口射出时所用的时间为 t0=1.6×10-3s,求子弹射出枪口时 的瞬时速度.

12.(创新拓展)已知 f(x)=x2,g(x)=x3,求满足 f′(x)+2=g′(x)的 x 的值.

【第二部分】初等基本函数的导数 1.已知 f(x)=x2,则 f′(3)( A.0 B.2x ). C.不存在 D.不确定 ). C.6 D.9

2.f(x)=0 的导数为( A.0 B.1

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3.曲线 y=xn 在 x=2 处的导数为 12,则 n 等于( A.1 B.2 C.3 D.4

).

4.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N, 则 f2010(x)= ( ). C.cos x D.-cos x

A.sin x B.-sin x 5.下列结论

1 1 1 ?1? ①(sin x)′=-cos x;②? x?′= 2;③(log3x)′= ;④(ln x)′= . x 3ln x x ? ? 其中正确的有( A.0 个 B.1 个 ). C.2 个 D.3 个

6.设函数 y=f(x)是一次函数,已知 f(0)=1,f(1)=-3,则 f′(x)=________.

7.函数 f(x)=

x x x的导数是________.

8.已知 f(x)=cos x,g(x)=x,求适合 f′(x)+g′(x)≤0 的 x 的值.

9.(创新拓展)求下列函数的导数: 2x2+1 x x (1)y=log4x -log4x ;(2)y= x -2x;(3)y=-2sin2(2sin24-1).
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【第三部分】导数的运算法则及复合函数的导数 1.函数 y= A. C. cos x 的导数是( 1-x ). B. xsin x-sin x-cos x ?1-x?2 cos x-sin x+xsin x 1-x ).

-sin x+xsin x ?1-x?2

cos x-sin x+xsin x ?1-x?2

D.

2.已知 f(x)=ax3+3x2+2,若 f′(-1)=4,则 a 的值为( 19 A. 3 13 C. 3 x ?1? 3.已知 f? x?= ,则 f′(x)等于( ? ? 1+x A. C. 1 1+x 10 B. 3 16 D. 3 ). B.- 1 1+x 1 ?1+x?2 ).

1 ?1+x?2

D.-

4.函数 y=(x-a)(x-b)在 x=a 处的导数为( A.ab C.0 5.当函数 y= A.a C.-a

B.-a(a-b) D.a-b x2+a2 x (a>0)在 x=x0 处的导数为 0 时,那么 x0=( B.± a D.a2 ).

6.若质点的运动方程是 s=tsin t,则质点在 t=2 时的瞬时速度为________.

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7.若 f(x)=log3(x-1),则 f′(2)=________. 8.若 f(x)=(2x+a)2,且 f′(2)=20,则 a=________.

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