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高中数学经典题型50道(另附详细答案)


高中数学习题库(50 道题另附答案) 1. 求下列函数的值域:

解法 2 令 t=sinx, 则 f(t)=-t2+t+1, ∵ |sinx|≤1,

∴ |t|

≤1.问题转化为求关于 t 的二次函数 f(t)在闭区间[-1,1]上的最 值.

本例题(2)解法 2 通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次 函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换 的思想.善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联 系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由 复杂化简单,一句话:由难化易.可见化归是转换的目的,而转换是

实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处,当此慧星离地球相距 m 万千米和 m 万千米时,经过地 球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为 和 , 求该慧星与地球 的最近距离。 解:建立如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点 F (?c,0) 处,椭圆的 方程为
x2 y2 ? ? 1 (图见教材 P132 页例 1) 。 a2 b2
4 3

? 2

? 3

? 3 ? ? 意 义 可 知 , 彗 星 A 只 能 满 足 ?xFA ? (或?xFA / ? ) 。 作 3 3 1 2 AB ? Ox 于B,则 FB ? FA ? m 2 3
? c a2 m ? ( ? c) ? ? a c 故由椭圆第二定义可知得 ? 2 ? 4 m ? c ( a ? c ? 2 m) ? a c 3 ?3
c 2 a 3 2 2 ? c ? m. ? a ? c ? c ? m. 3 3

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为 时,由椭圆的几何

两式相减得 m ? ? m,? a ? 2c.代入第一式得 m ? (4c ? c) ? c,

1 3

1 2

3 2

答:彗星与地球的最近距离为 m 万千米。 说明: (1)在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而 恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个 则是远地点,这两点到恒星的距离一个是 a ? c ,另一个是 a ? c. (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数 学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外,数学应用问题的解

2 3

决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识 地训练数学思维的品质。

3. A,B,C 是我方三个炮兵阵地,A 在 B 正东 6 Km ,C 在 B 正北偏西
30? ,相距 4 Km ,P 为敌炮阵地,某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种

信号,由于 B,C 两地比 A 距 P 地远,因此 4 s 后,B,C 才同时发 现这一信号,此信号的传播速度为 1 Km / s ,A 若炮击 P 地,求炮 击的方位角。 (图见优化设计教师用书 P249 例 2) 解:如图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系, 则 B(?3,0), A(3,0),C(?5,2 3) ,因为 PB ? PC ,所以点 P 在线段 BC 的垂直 平分线上。 因 为 k BC ? ? 3 , BC 中 点 D(?4, 3) , 所 以 直 线 PD 的 方 程 为
y? 3 ? 1 3 ( x ? 4)

(1)

又 PB ? PA ? 4, 故 P 在以 A,B 为焦点的双曲线右支上。设 P( x, y) ,则
x2 y2 双 曲 线 方 程 为 ? ? 1( x ? 0) 4 5

(2) 。联立(1) (2) ,得

x ? 8, y ? 5 3 ,

所以 P(8,5 3). 因此 k PA ?

5 3 ? 3 ,故炮击的方位角北偏东 30? 。 8?3

说明:本题的关键是确定 P 点的位置,另外还要求学生掌握方位角的 基本概念。

4. 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶 5 米时,水面宽度为 8 米,

一小船宽 4 米,高 2 米,载货后船露出水面的部分高 0.75 米,问 水面上涨到与抛物线拱顶距多少时,小船开始不能通行? 解:建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为 x 2 ? ?2 py ( p ? 0) 。 将 B(4,-5)代入得 P=1.6
? x 2 ? ?3.2 y 船两侧与抛物线接触时不能通过

则 A(2,yA),由 22=-3.2 yA 得 yA = - 1.25 因为船露出水面的部分高 0.75 米 所以 h=︱yA︱+0.75=2 米 答:水面上涨到与抛物线拱顶距 2 米时,小船开始不能通行 [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程

解决实际问题的技巧。 .

5. 如图所示,直线 l1 和 l 2 相交于点 M, l1 ? l2 ,点 N ? l1 ,以 A、B 为端 点的曲线段 C 上任一点到 l 2 的距离与到点 N 的距离相等。 若 ?AMN 为锐角三角形, AM ? 17 , AN ? 3, 且 NB =6 ,建立适当的坐标系, 求曲线段 C 的方程。 解:以直线 l1 为 x 轴,线段 MN 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标 系,由条件可知,曲线段 C 是以点 N 为焦点,以 l 2 为准线的抛物线 的一段,其中 A、B 分别为曲线段 C 的端点。 设曲线段 C 的方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0)(x A ? x ? xB , y ? 0) , 其中 x A , xB 为 A、 B 的横坐标,p ? MN , 所以 M (? ,0), N ( ,0) , 由 AM ? 17, AN ? 3 , 得 ( x A ? ) 2 ? 2 px A ? 17
p 2 p 2 p 2

(1)

(xA ?

p 2 ) ? 2 px A ? 9 2

(2) , (1) (2)联立解得 x A ?

4 ,代入(1) p

式,并由 p ? 0 解得 ?
?p ? 4 ?p ? 2 p ,因为 ?AMN 为锐角三角形,所以 ? x A ,故舍去 或? 2 ?x A ? 1 ?x A ? 2

?p ? 2 ?p ? 4 ,所以 ? ? ?x A ? 2 ?x A ? 1

由点 B 在曲线段 C 上,得 x B ? BN ?
y 2 ? 8x(1 ? x ? 4, y ? 0)

P ? 4 ,综上,曲线段 C 的方程为 2

[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路,考查了定义法,待定系数 法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能 力。

6. 设抛物线 y 2 ? 4ax (a ? 0) 的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心,︱AB ︱为半径,在 x 轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同的两 点 M,N。点 P 是 MN 的中点。 (1)求︱AM︱+︱AN︱的值 (2)是否存在实数 a,恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列?若存 在,求出 a,不存在,说明理由。 解:(1)设 M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为 M′,N′,P′. ︱ AM ︱ + ︱ AN ︱ = ︱ MM ′ ︱ + ︱ NN ′ ︱ =xM+xN+2a
[ x ? (a ? 4)]2 ? y 2 ? 16

又圆方程

将 y 2 ? 4ax 代入得 x 2 ? 2(4 ? a) x ? a 2 ? 8a ? 0
? xM ? x N ? 2?4 ? a ? 得︱AM︱+︱AN︱=8

(2)假设存在 a 因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱ 所以︱AP︱=︱PP′︱ 盾。故 a 不存在。 ,P 点在抛物线上,这与 P 点是 MN 的中点矛

7. 抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0? 上有两动点 A,B 及一个定点 M,F 为焦点, 若 AF , MF , BF 成等差数列 (1) 求证线段 AB 的垂直平分线过定点 Q (2) 若 MF ? 4, OQ ? 6 (O 为坐标原点) ,求抛物线的方程。 (3) 对于(2)中的抛物线,求△AQB 面积的最大值。 解: ( 1 )设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, M ?x0 , y0 ? ,则 AF ? x1 ?
MF ? x 0 ?

p p , BF ? x 2 ? , 2 2

x ?x p ,由题意得 x0 ? 1 2 ,? AB 的中点坐标可设为 ?x0 , t ? ,其 2 2


t? y1 ? y 2 ? 0 (否则 AF ? MF ? BF ? p ? 0 ) , 2

而 k AB ?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 2p p ? ? ? , 故 AB 的 垂 直 平 分 线 为 1 x1 ? x 2 2 2 y1 ? y 2 t y1 ? y 2 2p

?

?

y ?t ?

t ?x ? x0 ? ,即 t ?x ? x0 ? p? ? yp ? 0 ,可知其过定点 Q?x0 ? p,0? p
p ? 4, x0 ? p ? 6 , 联 立 解 得 2

( 2 ) 由 MF ? 4, OQ ? 6 , 得 x0 ?
p ? 4, x0 ? 2 ? y 2 ? 8x 。

( 3 )直线 AB : y ? t ? ?x ? 2 ? ,代入 ? y 2 ? 8x 得 y 2 ? 2ty ? 2t 2 ? 16 ? 0 ,

4 t

2 ?? y1 ? y2 ? ? ? y1 ? y2 ? ? 4 y1 y2 ? ? ? 64 ? 4t , ?x1 ? x2 ? ?

2

2

2

t2 ? y1 ? y 2 ?2 16
2 2

?
?

t2 16 ? t 2 , ? AB ? 4

?

?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2

???

1 2

?16 ? t ??16 ? t ?

1 256 ? t 4 , 又 点 Q?6,0? 到 AB 的 距 离 d ? ? ? 16 ? t 2 , 2 1 1 1 ? S ?AQB ? AB d ? 256 ? t 4 16 ? t 2 ? 4096 ? 256t 2 ? 16t 4 ? t 6 2 4 4

?

??

?

令 u ? 4096? 256t 2 ? 16t 4 ? t 6 , 则 u ? ? 512t ? 64t 3 ? 6t 5 , 令 u ? ? 0 即
512t ? 64t 3 ? 6t 5 ? 0 ,得 t ? 0 或 t 2 ? ?16 或 t 2 ?
16 16 4 ,? t 2 ? ? t ? ? 3 时 3 3 3

?S

?AQB

? ? 64
9

6。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本 方法, 必须熟练掌握, 对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线 l : y ? tan(x ? 2 2 ) 交椭圆 x 2 ? 9 y 2 ? 9 于 A、B 两点,若 ? 为 l 的倾斜角,且 AB 的长不小于短轴的长,求 ? 的取值范围。 解 : 将 l 的 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 , 消 去 y , 得
(1 ? 9 tan2 ? ) x 2 ? 36 2 tan2 ? ? x ? 72t a2 ? n? 9 ? 0
? AB ? 1 ? tan2 ? x2 ? x1 ? 1 ? tan2 ? ?
1 3

? 6 tan2 ? ? 6 ? (1 ? 9 tan2 ? ) 1 ? 9 tan2 ?

由 AB ? 2, 得 tan2 ? ? ,? ?

3 3 , ? tan? ? 3 3

? ? ? ? 5? ? ?? 的取值范围是 ?0, ? ? ? , ? ? ? 6? ? 6 ?

[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民。本题由于
l 的方程由 tan ?

给出,所以可以认定 ? ?

?
2

,否则涉及弦长计算时,还

要讨论 ? ?

?
2

时的情况。

9、已知抛物线 y 2 ? ? x 与直线 y ? k ( x ? 1) 相交于 A、B 两点 (1) 求证: OA ? OB (2) 当 ?OAB 的面积等于 10 时,求 k 的值。 (1) 证明:图见教材 P127 页,由方程组 ?
? y 2 ? ?x 消去 x 后,整理 ? y ? k ( x ? 1)

得 ky 2 ? y ? k ? 0 。 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 由 韦 达 定 理 得 y1 y2 ? ?1
2 2 ? A, B 在抛物线 y 2 ? ? x 上,? y12 ? ? x1 , y2 ? ? x2 , y12 ? y2 ? x1 ? x2

? k OA ? k OB ?

y1 y 2 y1 ? y 2 1 ? ? ? ? ?1,? OA ? OB x1 x2 x1 ? x2 y1 ? y 2

(2) 解 : 设 直 线 与 x 轴 交 于
y ? 0, 则x ? ?1 ,即N(- 1 , 0)
? S ?OAB ? S ?OAN ? S ?OBN ?

N , 又 显 然 k ? 0,? 令

1 1 1 ON y1 ? ON y 2 ? ON y1 ? y 2 2 2 2

? S ?OAB ?

1 1 1 2 ? 1 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? ( ) ?4 2 2 k 1 1 1 ? 4 , 解得k ? ? 2 2 k 6

? S ?OAB ? 10,? 10 ?

[思维点拔]本题考查了两直线垂直的充要条件,三角形的面积公式, 函数与方程的思想,以及分析问题、解决问题的能力。

10、在抛物线 y2=4x 上恒有两点关于直线 y=kx+3 对称,求 k 的取值 范围。 〖解〗设 B、C 关于直线 y=kx+3 对称,直线 BC 方程为 x=-ky+m 代入

y2=4x 得: y2+4ky-4m=0, 则 y0=(y1+y2)/2=-2k。x0=2k2+m,
2k 3 ? 2 k ? 3 ∵点 M(x0,y0)在直线上。∴-2k(2k +m)+3,∴m=又 k
2

设 B(x1,y1) 、C(x2,y2) ,BC 中点 M(x0,y0) ,

BC 与抛物线交于不同两点,∴⊿ =16k2+16m>0 把 m 代入化简得
k 3 ? 2k ? 3 (k ? 1)(k 2 ? k ? 3) ? 0即 ? 0, k k

解得-1<k<0 [思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点。

11、 已知椭圆的一个焦点 F1 (0, -2 2 ) , 对应的准线方程为 y=且离心率 e 满足:2/3,e,4/3 成等比数列。 (1) 求椭圆方程;

9 2 , 4

(2) 是否存在直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且线段 MN 恰被直线 x=- 平分。 若存在, 求 l 的倾斜角的范围; 若不存在, 请说明理由。 〖解〗依题意 e= (1)∵
2 2 3
1 2

a2 9 2 2 2 2 -c= -2 2 = ,又 e= ∴ a =3,c=2 2 ,b=1,又 F1 c 4 3 4 9 2 。∴椭圆中心在原点,所求 4

(0,-2 2 ) ,对应的准线方程为 y=-

方程为:
x2 ? y2 =1 9
1 2

(2)假设存在直线 l ,依题意 l 交椭圆所得弦 MN 被 x=- 平分,∴直 线 l 的斜率存在。设直线 l : y ? kx ? m 由
2

y ? kx ? m

y2 =1 消去 y,整理得 x ? 9

(k 2 ? 9) x 2 ? 2kmx? m2 ? 9 =0

∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N∴⊿=4k2m2-4(k2+9)(m2-9)>0 即 m2-k2-9<0 ①

设 M (x1,y1) 、N(x2,y2) ∴
x1 ? x2 k2 ?9 ? km 1 ? 2 ? ? ,∴ m ? 2k 2 2 k ?9



把②代入①可解得: k ? 3或k ? ? 3
? ? ? ? ? 2? ? ∴直线 l 倾斜角 ? ? ? ? , ??? , ?
?3 2? ?2 3 ?

[思维点拔] 倾斜角的范围,实际上是求斜率的范围。

?3x ? y ? 6 ? 0 ? 12、设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z=ax+by(a>0, ? x ? 0, y ? 0 ?

b>0)的值是最大值为 12,则 ? 的最小值为( A.
25 6

2 a

3 b

) D. 4

B.

8 3

C.

11 3

答案:A

解析:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线 ax+by= z(a>0,b>0)过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by (a>0, b>0) 取得最大 12, 即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6, 而 ? =( ? )
2 a 3 b 2 a 3 2a ? 3b 13 b a 13 25 ? ?( ? ) ? ?2? ,故选 A. b 6 6 a b 6 6

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的 最值问题.要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得 目标函数的最值,对于形如已知 2a+3b=6,求 ? 的 最小值常用乘积进而用基本不等式解答.
2 a 3 b

13、本公司计划 2008 年在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分 钟的广告,广告总费用不超过 9 万元,甲、乙电视台的广告收费标准 分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司 所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万 元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司 的收益最大,最大收益是 答案:70 解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为 x 分钟 和
y

万元.

分 钟,总收益为 z 元 ,由题意 得

y
500

? x ? y ≤ 300, ? ?500 x ? 200 y ≤ 90000, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?

400

目标函数为 z ? 3000 x ? 2000 y .
l

300 200 100 M

0

100

200 300

x

? x ? y ≤ 300, ? 二元一次不等式组等价于 ?5 x ? 2 y ≤ 900, ? x ≥ 0,y ≥ 0. ?

作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域. 如图:作直线 l : 3000 x ? 2000 y ? 0 ,即 3x ? 2 y ? 0 . 平移直线,从图中可知,当直线过 M 点时,目标函数取得最大值. 联立 ?
? x ? y ? 300, 解得 x ? 100,y ? 200 .? 点 M 的坐标为 (100, 200) . ?5 x ? 2 y ? 900.

. ? zmax ? 3000x ? 2000 y ? 700000 (元) 点评: 本题是线性规划的实际应用问题, 需要通过审题理解题意, 找出各量之间的关系,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数, 通过数形结合解答问题. 用线性规划的方法解决实际问题能提高学生 分析问题、解决问题的能力,随着课改的深入,这类试题应该是高考 的热点题型之一.

14、设 a 为实数,函数 f ( x) ? 2 x2 ? ( x ? a) | x ? a | . (1)若 f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x) 的最小值; (3)设函数 h( x) ? f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出 (不需给出演算步骤)不 .... 等式 h( x) ? 1的解集. 解析: (1)若 f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ?
?a ? 0
2 ?a ? 1

? a ? ?1 ;

(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x)min
2 2

2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? 2 , ?? a ? ? 2a f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? ? 3 ? 3

当 x ? a 时, f ( x) ? x2 ? 2ax ? a2 , f ( x)min ? ?
??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ; ,a ? 0 ? ? 3

??2a 2 , a ? 0 ? f (?a), a ? 0 ? , ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

综上 f ( x)min

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1得 3x2 ? 2ax ? a 2 ? 1 ? 0 ,
? ? 4a2 ?12(a2 ?1) ? 12 ? 8a2

当a ? ?

6 6 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 或a ? 2 2

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ? ( x ? )( x ? )?0; 当 ? ? a ? 时, △>0, 得:? 3 3 2 2 ? ?x ? a

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 2 ( a , ] ? [ , ??) ; 当 a ? (? , ? ) 时,解集为 3 3 2 2
a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ??) . 当 a ? [? , ] 时,解集为 [ 2 2 3

点评:本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不 等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行 探索、分析与解决问题的综合能力.

15、知函数 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 . (Ⅰ)设 ?an ? 是正数组成的数列,前 n 项和为 Sn ,其中 a1 ? 3 .若
' 2 点 (an , an ?1 ? 2an ?1 ) (n∈N*)在函数 y ? f ( x) 的图象上,求证:点 (n, Sn ) 也在

1 3

y ? f ' ( x) 的图象上;

(Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 (a ? 1, a) 内的极值.

解析:(Ⅰ)证明: 因为 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 2, 所以 f ' ( x) ? x2 ? 2x ,
2 ? 由 点 (an , an 在 函 数 y ? f ' ( x) 的 图 象 ?1 ? 2an?1 )(n ? N ) 2 2 上, an ?1 ? 2an ?1 ? an ? 2an

1 3

(an?1 ? an )(an?1 ? an ) ? 2(an ? an?1 ) ,

又 an ? 0(n ? N? ) ,

所以 an?1 ? an ? 2 , ?an ? 是 a1 ? 3, d ? 2 的等差数列, 所 以 Sn ? 3n ?
Sn ? f ?(n) ,
n( n ? 1 ) 2 ? 2n = ? n 2, 又 因 为 f ' (n) ? n2 ? 2n , 所 以 2

故点 (n, Sn ) 也在函数 y ? f ' ( x) 的图象上. (Ⅱ)解: f ?( x) ? x2 ? 2x ? x( x ? 2) ,令 f ?( x) ? 0, 得 x ? 0或x ? ?2 . 当 x 变化时, f ?( x) ﹑ f ( x) 的变化情况如下表: x (∞,-2) f(x ) f(x ) 注意到 (a ?1) ? a ? 1 ? 2 ,从而
时 ,f (x 的极大值为 ) f (?2) ? ? , 此时 f ( x) 无 ①当 a ? 1 ? ?2 ? a ,即 ? 2 ? a ? ?1 2 3

-2

(-2, 0) 0 -

+



极大 值



极小值;
1 ,f (x ) ②当 a ?1 ? 0 ? a ,即 0 ? a ? 时 的极小值为 f (0) ? ?2 , 此时 f ( x) 无

极大值; ③当 a ? ?2或 ?1 ? a ? 0或a ? 1时,f ( x) 既无极大值又无极小值.

点评:本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识,考查分类与 整合、 转化与化归等数学思想方法, 考查分析问题和解决问题的能力.

16、 设 a ? 0, b ? 0. 若 3 是 3a 与 3b 的等比中项, 则 ? 的最小值为 ( A.8 答案:B 解析:因为 3 a ? 3 b ? 3 ,所以 a ? b ? 1 , ? ? (a ? b)( ? ) ? 2 ? ?
? 2?2
1 a 1 b 1 a 1 b b a

1 a

1 b



B.4

C.1

D.

1 4

a b

b a 1 b a ? ? 4 ,当且仅当 ? 即 a ? b ? 时“=”成立,故选择 a b 2 a b

B. 点评:本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最 值的运用,考查了变通能力.
3 17、设数列 ?an ? 满足 a0 ? 0, an?1 ? can ?1? c, c ? N * , 其中c 为实数.

(Ⅰ) 证明:an ?[0,1] 对任意 n ? N * 成立的充分必要条件是 c ?[0,1] ;
1 3 1 2 2 2 ? ? an ? n ?1? ,n? N* . (Ⅲ)设 0 ? c ? ,证明: a12 ? a2 3 1 ? 3c

(Ⅱ)设 0 ? c ? ,证明: an ? 1? (3c)n?1, n ? N * ;

解 析 :

(1)

必 要 性 : ∵a1 ? 0,∴a2 ? 1 ? c

, 又

∵a2 ?[0,1],∴0 ? 1 ? c ? 1 ,即 c ?[0,1] .

充分性 :设 c ?[0,1] ,对 n ? N * 用数学归纳法证明 an ?[0,1] , 当 n ? 1 时, a1 ? 0 ?[0,1] .假设 ak ?[0,1](k ? 1) ,
3 3 则 ak ?1 ? cak ?1 ? c ? c ? 1 ? c ? 1,且 ak ?1 ? cak ? 1 ? c ? 1 ? c ?? 0 ,

∴ak ?1 ?[0,1] ,由数学归纳法知 an ?[0,1] 对所有 n ? N * 成立.

(2) 设 0 ? c ? ,当 n ? 1 时, a1 ? 0 ,结论成立.
3 2 当 n ? 2 时,∵an ? can 1 ? an ? c(1 ? an?1 )(1 ? an?1 ? an ?1 ? 1 ? c,∴ ?1 ) ,

1 3

∵0 ? C ?

1 , 由 ( 1 ) 知 an?1 ?[ 0 , 1, ] 所以 3

2 1 ? an?1 ? an ?1 ? 3



1 ? an?1 ? 0 , ∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 ) ,
∴1 ? an ? 3c(1 ? an?1 ) ? (3c)2 (1 ? an?2 ) ? ? ? (3c)n?1 (1 ? a1 ) ? (3c)n?1 , ∴an ? 1 ? (3c)n?1 (n ? N * ) .

(3) 设 0 ? c ? ,当 n ? 1 时, a12 ? 0 ? 2 ?

1 3

2 ,结论成立, 1 ? 3c

当 n ? 2 时,由(2)知 an ? 1? (3c) n?1 ? 0 ,
2 ∴an ? (1 ? (3c)n?1 )2 ? 1 ? 2(3c)n?1 ? (3c)2( n?1) ? 1 ? 2(3c)n?1 , 2 2 2 2 2 n?1 ∴a 2 ] 1 ?a2 ? ?? an ? a2 ? ?? an ? n ? 1 ? 2[3c ? (3c) ? ?? (3c)

? n ?1?

2(1 ? (3c)n ) 2 ? n ?1? . 1 ? 3c 1 ? 3c

点评:该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、 充分必要条件和数学归纳法等,具有较高的难度,对逻辑推理能力的 考查要求较高.

18、将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的 概率为( )

A. D.

B.

C.

解析:一骰子连续抛掷三次得到的数列共有

个,其中为等差数

列有三类: (1)公差为 0 的有 6 个;(2)公差为 1 或-1 的有 8 个;(3) 公差为 2 或-2 的有 4 个, 共有 18 个, 成等差数列的概率为 选 B. 点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面, 有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复. 19、等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别用 Sn 和 Tn 表示, 若 则
an 的值为( bn
Sn 4n , ? Tn 3n ? 5



) B
8n ? 3 6n ? 2

A
6n ? 2 8n ? 3

4n ? 2 3n ? 1

C

6n ? 3 8n ? 2

D

答案:A 解析: ∵ S2 n?1 ? (2n ? 1) ∴
a1 ? a2 n ?1 ? (2n ? 1)an ; T2n?1 ? (2n ?1)bn . 2

4(2n ? 1) 8n ? 4 4 n ? 2 an S 2 n ?1 ? ? ? . ? bn T2 n ?1 3(2n ? 1) ? 5 6n ? 2 3n ? 1

点评:考查等差数列的前 n 项和的变形。

20、已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比 (a+b)2 数列,则 的最小值是________. cd 答案:4 (a+b)2 (x+y)2 (2 xy)2 解析:∵ = ≥ =4. cd xy xy 点评:考查等差等比数列的基本知识,均值不等式。

21、命题 p : 实数 x 满足 x2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0 ,其中 a ? 0 ,命题 q : 实数 x 满足
x2 ? x ? 6 ? 0 或 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ,且 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求 a 的取值

范围. 解析:设 A ? ? x | x 2 ? 4ax ? 3a 2 ? 0(a ? 0)? ? ?x | 3a ? x ? a? ,
B ? ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0或x 2 ? 2 x ? 8 ? 0? ? ? x | x 2 ? x ? 6 ? 0? ? ? x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0?

? ?x | ?2 ? x ? 3? ??x | x ? ?4或x ? 2? = ?x | x ? ?4或x ? ?2?

因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,所以 ? q ? ? p ,且 ? p 推不出 ? q 而 CR B ? ?x | ?4 ? x ? ?2? , CR A ? ?x | x ? 3a, 或x ? a? 所以 ?x | ?4 ? x ? ?2? ? ?x | x ? 3a或x ? a? ,则 ? 即 ? ? a ? 0 或 a ? ?4 . 点评:考查逻辑用语,一元二次方程及其含参数的解集。
2 3

?3a ? ?2 ?a ? ?4 或? ?a ? 0 ?a ? 0

22、已知二次函数 f ( x) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的 解集为(1 , 3) . (l)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f ( x) 的解析式; (2)若 f ( x) 的最大值为正数,求 a 的取值范围. 解析: (1) 因为 f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为 (1, 3) , 所以 f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) 且a ? 0. 因而 f ( x) ? a( x ?1)( x ? 3) ? 2x ? ax2 ? (2 ? 4a) x ? 3a 由方程 f ( x) ? 6a ? 0 得: ax2 ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0 因为方程(2)有两个相等的根. (1) (2)

所以 ? ? [?(2 ? 4a)]2 ? 4a ? 9a ? 0 ,即 5a2 ? 4a ? 1 ? 0 . 解得: a ? 1 (舍去)或 a ? ? , 将 a ? ? 代入(1)得 f ( x) 的解析式为: f ( x) ? ? x 2 ? x ? , (2) f ( x) ? ax2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a( x ?
1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 ) ? , a a
1 5 1 5 6 5 3 5 1 5

a 2 ? 4a ? 1 有 a < 0,可得 f ( x) 的最大值为 ? , a

所以 ?

a 2 ? 4a ? 1 > 0,且 a < 0. a

解得: a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0 , 故 当 f ( x) 的 最 大 值 为 正 数 时 , 实 数 a 的 取 值 范 围 是
(??, ?2 ? 3)? (?2 ? 3,0) .

点评:含参数的未知一元二次方程,求函数表达式以及参数的取值范 围。计算量比较大,且要求对一元二次函数的知识熟练。

23、 已知数列 ?an ? 中, 并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 , S n 是其前 n 项和, ⑴设数列 bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;
an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列; 2n ⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。

⑵设数列 c n ?

分析:由于 {b n } 和 {c n } 中的项都和 {a n } 中的项有关, {a n } 中又有 S n?1 =4a n +2,可由 S n?2 -S n?1 作切入点探索解题的途径. 解 : (1) 由 S n?1 =4a n ?2 , S n?2 =4a n?1 +2 , 两 式 相 减 , 得 S n?2 -S n?1 =4(a n?1 -a n ),即 a n?2 =4a n?1 -4a n .(根据 b n 的构造,如何把该 式表示成 b n?1 与 b n 的关系是证明的关键, 注意加强恒等变形能力的训 练) a n?2 -2a n?1 =2(a n?1 -2a n ),又 b n =a n?1 -2a n ,所以 b n?1 =2b n ① 已知 S 2 =4a 1 +2,a 1 =1,a 1 +a 2 =4a 1 +2,解得 a 2 =5,b 1 =a 2 -2a 1 =3 ②

由①和②得,数列{b n }是首项为 3,公比为 2 的等比数列,故 b n =3·2 n?1 .

当 n≥2 时,S n =4a n?1 +2=2 n?1 (3n-4)+2;当 n=1 时,S 1 =a 1 =1 也适 合上式. 综上可知,所求的求和公式为 S n =2 n?1 (3n-4)+2. 说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等 差,等比数列,求数列通项与前 n 项和。解决本题的关键在于由条件 S n?1 ? 4an ? 2 得出递推公式。 2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面 论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用. 24、设实数 a ? 0 ,数列 ?an ? 是首项为 a ,公比为 ? a 的等比数列,记 bn ? an 1g | an | (n ? N * ), S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn , 求证: 当 a ? ?1 时, 对任意自然数 n 都有 S n = 解: an ? a1q n?1 ? a(?a) n?1 ? (?1) n?1 a n 。
?bn ? an lg | an |? (?1) n?1 a n lg | (?1) n?1 a n |? (?1) n?1 nan lg | a |
a lg a (1 ? a)
2

?1 ? (?1)

n?1

(1 ? n ? na)a n

?

? S n ? a lg | a | ?2a 2 lg | a | ?3a 3 lg | a | ?? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 lg | a | ?(?1) n?1 nan lg | a |
? [a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 ? (?1) n?1 nan ] lg | a |

记 S ? a ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (?1) n?2 (n ? 1)a n?1 ? (?1) n?1 nan ①
as ? a 2 ? 2a 3 ? ? ? (?1) n?3 (n ? 2)a n?1 ? (?1) n?2 (n ? 1)a n ? (?1) n?1 nan?1 ②

①+②得 (1 ? a)s ? a ? a 2 ? a 3 ? ? ? (?1) n?2 a n?1 ? (?1) n?2 a n ? (?1) n?1 nan?1 ③
? a ? ?1,?(1 ? a)S ? a ? (?1)n?1 an?1 ? (?1)n?1 n ? an?1 1 ? (1 ? a)

a ? (?1) n ?1 a n ?1 ? (1 ? a ) ? (?1) n ?1 ? n ? a n ?1 ?S ? (1 ? a ) 2 a ? (1 ? n ? na) ? (?1) n ?1 a n ?1 a[1 ? (1 ? n ? na)(?1) n ?1 a n ] ?S ? ? (1 ? a ) 2 (1 ? a ) 2 a lg | a | ? Sn ? [1 ? (?1) n ?1 (1 ? n ? na)a n ] 2 (1 ? a )

说明:本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是 先研究通项,确定 Cn ? an ? bn ,{an } 是等差数列, {bn } 等比数列。 25、设正数数列{a n }为一等比数列,且 a 2 =4,a 4 =16.

说明:这是 2000 年全国高考上海试题,涉及对数、数列、极限 的综合题,主要考查等比数列的定义及通项公式,等差数列前 n 项和 公式,对数计算,求数列极限等基础知识,以及综合运用数学知识的 能力.

26、 (2004 年北京春季高考 20)下表给出一个“等差数阵” : a1j 4 7 () () () ?? a2j 7 12 () () () ?? a3j () () () () () ?? a4j () () () () () ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? a i1 a i2 a i3 a i4 a i5 a ij ??

?? ?? ?? ?? ?? ??

?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 其中每行、每列都是等差数列, a i j 表示位于第 i 行第 j 列的数。 (I)写出 a 4 5 的值; (II)写出 a i j 的计算公式; (III)证明:正整数 N 在该等差数列阵中的充要条件是 2N+1 可以分 解成两个不是 1 的正整数之积。 分析:本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识,考查逻 辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。 解: (I) a 4 9 4 5? (II)该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列:
a 43 ( j ? 1 ) 1 j ??

第二行是首项为 7,公差为 5 的等差数列:
a 75 ( j ? 1 ) 2 j ??

?? 第 i 行是首项为 4 ,公差为 2 的等差数列,因此 ? 3 ( i? 1 ) i? 1
a 4 ? 3 ( i? 1 ) ? ( 2 i? 1 ) ( j? 1 ) i j? ? 2 i j?? i j? i ( 2 j? 1 ) ? j

(III)必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i,j 使得
N ? i ( 2 j ?? 1 ) j

从而 21 N ? ? 2 ij ( 2 ? 1 ) ? 2 j ? 1 ? ( 21 i ? ) ( 2 j ? 1 ) 即正整数 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积。 充分性:若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积,由于 2N+1 是 奇数,则它必为两个不是 1 的奇数之积,即存在正整数 k,l,使得 ,从而 N ? k ( 2 l ? 1 ) ? l ? a 2 N ? 121 ? ( k ? ) ( 2 l ? 1 ) k l 可见 N 在该等差数阵中。 综上所述,正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成 两个不是 1 的正整数之积。 27、已知点的序列 ( ,0), ,其中 =0, ,A3 的中

是线钱 A1A2 的中点,A4 是线段 A2A3 的中点,?,An 是线段 点,?。 (I)写出 与 、 之间的关系式( ≥3)

(II)设 ,计算 , , ,由此推测数列{ 式,并加以证明。

}的通项公

(I)解:当 n≥3 时, (II)解:

.

由此推测。

证法一:因为

,且

(n≥2)所以 证法二:(用数学归纳法证明:)



(i)当时,

,公式成立,

(ii)假设当

时,公式成立,即

成立。

那么当

时,

=

式仍成立。

根据(i)与(ii)可知,对任意

,公式

成立

评注:本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识,考查运 算能力和逻辑思维能力。

28、(94 年全国理)设{an}是正数组成的数列,其前 n 项和为 Sn, 并且对所有自然数 n,an 与 2 的等差中项等于 Sn 与 2 的等比中项. (1)写出数列{an}的前三项;?(2)求数列{an}的通项公式(写出推 证过程);?

(3)令 bn= 解:(1)由题意 令 n=1 时, 令 n=2 时有 令 n=3 时有 = = =

(n∈N),求:b1+b2+?+bn-n. =

an>0
S1=a1 解得 a1=2 =a1+a2 ?解得 a2=6 S3=a1+a2+a3 解得 a3=10 ?

故该数列的前三项为 2、6、10.? (2)解法一:由(1)猜想数列{an}有通项公式 an=4n-2,下面用数学 归纳法证明数列{an}的通项公式是 an=4n-2(n∈N)? 1°当 n=1 时,因为 4×1-2=2,又在(1)中已求得 a1=2,所以上述结 论正确.? 2°假设 n=k 时,结论正确,即有 ak=4k-2 ? 由题意有 得 ak=4k-2,代入上式得 2k= ,解得 Sk=2k2

由题意有 ?

=

Sk+1=Sk+ak+1 得 Sk=2k2 代入得

=2(ak+1+2k2)

整理 a2k+1-4ak+1+4-16k2=0 ?由于 ak+1>0,解得:ak+1=2+4k ? 所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2 ?

这就是说 n=k+1 时,上述结论成立.? 根据 1°,2°上述结论对所有自然数 n 成立.? 解法二:由题意有, = (n∈N)?整理得 Sn= (an+2)2 ?

由此得 Sn+1= (an+1+2)2 所以 an+1=Sn+1-Sn= [(an+1+2)2-(an+2)2]? 整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0 由题意知 an+1+an≠0,所以 an+1-an=4 即数列{an}为等差数列,其中 a1=2,公差 d=4, 所以 an=a1+(n-1)d=2+4(n-1)?即通项公式 an=4n-2.? (3)令 cn=bn-1,?

则 cn=

=

=

b1+b2+?+bn-n=c1+c2+?+cn ?
= 说明:该题的解题思路是从所给条件出发,通过观察、试验、分析、 归纳、 概括、 猜想出一般规律, 然后再对归纳、 猜想的结论进行证明. 对于含自然数 n 的命题,可以考虑用数学归纳法进行证明,该题着重 考查了归纳、概括和数学变换的能力.

29、 (江苏 18)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆
x2 y2 ? ?1 4 2 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中 P 在

第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于 点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值;

(2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直 关系、点到直线的距离等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能 力,满分 16 分. 解: (1)由题设知, a ? 2, b ? 2, 故M (?2,0), N (0,? 2 ), 所以线段 MN 中点 的坐标为
(?1,? 2 ) 2 ,由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN
?

2 2 ? 2. k? ?1 2 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以

(2)直线 PA 的方程

y ? 2 x代入椭圆方程得

x2 y 2 ? ? 1, 4 2

2 2 4 2 4 x ? ? ,因此 P( , ), A(? ,? ). 3 3 3 3 3 解得

4 3 ? 1, 故直线AB的方程为x ? y ? 2 ? 0. 2 2 2 3 ? C ( ,0), 于是 3 直线 AC 的斜率为 3 3 0?

2 4 2 | ? ? | 2 2 因此, d ? 3 3 3 ? . 1 2 3 1 ?1

(3)解法一: 将直线 PA 的方程 y ? kx 代入
x2 y 2 2 2 ? ? 1, 解得x ? ? , 记? , 4 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

则 P(?, ?k ), A(??,??k ),于是C(?,0)

0 ? ?k k ? , ? ? ? 2 故直线 AB 的斜率为
y? k ( x ? ? ), 代入椭圆方程得 (2 ? k 2 ) x 2 ? 2?k 2 x ? ? 2 (3k 2 ? 2) ? 0, 2

其方程为
x?

? (3k 2 ? 2)
2 ? k2

解得

或x ? ??因此B(

? (3k 2 ? 2) ? k 3
2 ? k2 ,

) 2 ? k2 .

?k 3
k1 ? 2? k2
2

? ?k ?

? (3k ? 2)
2? k2

1 ?? . k 3k ? 2 ? (2 ? k )
2 2

k 3 ? k (2 ? k 2 )

于是直线 PB 的斜率 因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB. 解法二:

设 P( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 ? 0, x2 ? 0, x1 ? x2 , A(? x1 ,? y1 ),C( x1 ,0) . 设直线 PB , AB 的斜率分别为 k1 , k 2 因为 C 在直线 AB 上,所以
k2 ? 0 ? ( y1 ) y k ? 1 ? . x1 ? (? x1 ) 2 x1 2

从而
k1k ? 1 ? 2k1k 2 ? 1 ? 2 ? y 2 ? y1 y 2 ? (? y1 ) ? ?1 x2 ? x1 x2 ? (? x1 )

?

2 2 2 2 y2 ? 2 y12 ( x2 ? 2 y2 ) 4?4 ? 1 ? ? 2 ? 0. 2 2 2 2 x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x12

因此 k1k ? ?1, 所以PA ? PB.

30、 (安徽理 21)设 ? ? ? ,点 A 的坐标为(1,1) ,点 B 在抛物线 y ? x

?

上运动,点 Q 满足 BQ ? ?QA ,经过 Q 点与 M x 轴垂直的直线交抛物线 于点 M ,点 P 满足 QM ? ? MP ,求点 P 的轨迹方程。

本题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点 的轨迹方程等基本知识, 考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能 力,全面考核综合数学素养. 解:由 QM ? ? MP 知 Q,M,P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上, 故可设
P( x, y),Q( x, y0 ), M ( x, x 2 ),则x 2 ? y0 ? ?( y ? x 2 ),则y0 ? (1 ? ?) x 2 ? ?y.



再设 B( x1 , y1 ),由BQ ? ? QA,即( x ? x1 . y0 ? y1 ) ? ? (1 ? x,1 ? y0 ),
? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? , ? 解得 ? y1 ? (1 ? ? ) y 0 ? ?.



将①式代入②式,消去 y0 ,得

? x1 ? (1 ? ? ) x ? ? , ? 2 2 ? y1 ? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ?.
2


2 2

又点 B 在抛物线 y ? x 上,所以 y1 ? x1 ,再将③式代入 y1 ? x1 ,得
(1 ? ? ) 2 x 2 ? ? (1 ? ? ) y ? ? ? ((1 ? ? ) x ? ? ) 2 , (1 ? ? ) 2 x 2 ? ? (1 ? ? ) y ? ? ? (1 ? ? ) 2 x 2 ? 2? (1 ? ? ) x ? ?2 , 2? (1 ? ? ) x ? ? (1 ? ? ) y ? ? (1 ? ? ) ? 0. 因? ? 0, 两边同除以? (1 ? ? ), 得2 x ? y ? 1 ? 0.

故所求点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1.

31、 (北京理 19) 已知椭圆
G: x2 ? y2 ? 1 2 2 4 .过点 (m,0) 作圆 x ? y ? 1的切线 I 交椭圆 G

于 A,B 两点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值. (19) (共 14 分) 解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1, 所以
c ? a 2 ? b 2 ? 3.

所以椭圆 G 的焦点坐标为 (? 3,0), ( 3,0) 离心率为
e? c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由题意知, | m |? 1 . 当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为 此时 | AB |? 3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3
(1, 3 3 ), (1,? ), 2 2

当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),
? y ? k ( x ? m), ? 2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 ?x 2 ? ? y ? 1. 由? 4

设 A、B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 )(x2 , y2 ) ,则
x1 ? x2 ? 8k 2 m 1 ? 4k 2 , x1 x2 ? 4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2
| km | k ?1
2

x 2 ? y 2 ? 1相切, 得

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.

又由 l 与圆 所以

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2
2

64 k 4 m ? 4( 4 k 2 m 2 ? 4) ? (1 ? k )[ ? ] (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2 ? 4 3|m| . m2 ? 3

由于当 m ? ?3 时, | AB |? 3,
| AB |?

所以
| AB |?

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) m2 ? 3

.

4 3|m| ? m2 ? 3

4 3 3 |m|? |m|

? 2,

因为

且当 m ? ? 3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

32、 (福建理 17)已知直线 l:y=x+m,m∈R。 (I)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切与点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (II) 若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l ? , 问直线 l ? 与抛物线 C: x2=4y 是否相切?说明理由。

本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识,考查运算求解能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合 思想。满分 13 分。 解法一: (I)依题意,点 P 的坐标为(0,m)
0?m ?1 ? ?1 因为 MP ? l ,所以 2 ? 0 ,

解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2) 从而圆的半径
r ?| MP |? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2,
2 2 故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.

(II)因为直线 l 的方程为 y ? x ? m, 所以直线 l ' 的方程为 y ? ? x ? m.
? y ' ? ? x ? m, 得x 2 ? 4 x ? 4m ? 0 ? 2 由 ?x ? 4 y
? ? 42 ? 4 ? 4m ? 16(1 ? m)

(1)当 m ? 1,即? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切 (2)当 m ? 1,那 ? ? 0 时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 综上,当 m=1 时,直线 l ' 与抛物线 C 相切; 当 m ? 1时,直线 l ' 与抛物线 C 不相切。 解法二:
2 ? 2 (I)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为 ( x ? 2) ? y ? r .

依题意,所求圆与直线 l : x ? y ? m ? 0 相切于点 P(0,m) ,

?4 ? m2 ? r 2 , ? ?| 2 ? 0 ? m | ? r, ? 2 ? 则
? ? m ? 2, ? ? ? r ? 2 2.

解得

2 2 所以所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8.

(II)同解法一。

33、 (广东理 19)
2 2 2 2 设圆 C 与两圆 ( x ? 5) ? y ? 4,( x ? 5) ? y ? 4 中的一个内切,另一

个外切。 (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程;
3 5 4 5 , ), F ( 5, 0) MP ? FP 5 (2)已知点 M 5 ,且 P 为 L 上动点,求 的 (

最大值及此时点 P 的坐标.

(1)解:设 C 的圆心的坐标为 ( x, y ) ,由题设条件知
| ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 |? 4,
x2 ? y 2 ? 1. 化简得 L 的方程为 4

(2)解:过 M,F 的直线 l 方程为 y ? ?2( x ? 5) ,将其代入 L 的方 程得
15x2 ? 32 5x ? 84 ? 0.
x1 ? 6 5 14 5 6 5 2 5 14 5 2 5 , x2 ? , 故l与L交点为T1 ( ,? ), T2 ( , ). 5 15 5 5 15 15

解得

因 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 内,故 | MT1 | ? | FT1 | ?| MF |? 2,
| MT2 | ? | FT2 | ?| MF |? 2. | MP | ? | FP | ?| MF |? 2.

,若 P 不在直线 MF 上,在 ?MFP 中有

故 | MP | ? | FP | 只在 T1 点取得最大值 2。 34、 (湖北理 20) 平面内与两定点 A1(?a, 0) , A2(a, 0) (a ? 0) 连续的斜率之积等于非零常数
m 的点的轨迹,加上 A1 、 A 2 两点所成的曲线 C 可以是圆、椭圆成双曲

线. (Ⅰ)求曲线 C 的方程,并讨论 C 的形状与 m 值得关系; (Ⅱ)当 m ? ?1 时,对应的曲线为 应的曲线为 C2 ,设
F1

C1

;对给定的 m ? (?1, 0)U (0, ??) ,对
C1

、 F2 是 C2 的两个焦点。试问:在
F1

撒谎个,是
F1
N F2 的

否存在点 N ,使得△

2 N F2 的面积 S ?| m | a 。若存在,求 tan

值;若不存在,请说明理由。 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识,同时考查推理运 算的能力,以及分类与整合和数形结合的思想。 (满分 14 分) 解: (I)设动点为 M,其坐标为 ( x, y ) , 当 x ? ? a 时,由条件可得
kMA1 ? kMA2 ? y y y2 ? ? 2 ? m, x ? a x ? a x ? a2

2 2 2 即 mx ? y ? ma ( x ? ?a) , 2 2 2 又 A1 (?a,0), A2 ( A,0) 的坐标满足 mx ? y ? ma , 2 2 2 故依题意,曲线 C 的方程为 mx ? y ? ma .

x2 y2 ? ? 1, C 2 2 当 m ? ?1时, 曲线 C 的方程为 a ?ma 是焦点在 y 轴上的椭圆;
2 2 2 当 m ? ?1 时,曲线 C 的方程为 x ? y ? a ,C 是圆心在原点的圆;

x2 y2 ? ?1 2 2 当 ?1 ? m ? 0 时,曲线 C 的方程为 a ?ma ,C 是焦点在 x 轴上的椭

圆;
x2 y2 ? ? 1, 2 2 当 m ? 0 时,曲线 C 的方程为 a ma C 是焦点在 x 轴上的双曲线。
2 2 2 (II)由(I)知,当 m=-1 时,C1 的方程为 x ? y ? a ;

当 m ? (?1,0) ? (0, ??) 时, C2 的两个焦点分别为 F1 (?a 1? m,0), F2 (a 1 ? m,0). 对于给定的 m ? (?1,0) ? (0, ??) , C1 上存在点 N ( x0 , y0 )( y0 ? 0) 使得 S ?| m | a 的充要条件是
2
2 2 ? x0 ? y0 ? a 2 , y0 ? 0, ? ?1 2 ? ? 2a 1 ? m | y0 |?| m | a . ?2

① ②

由①得 0 ?| y0 |? a, 由②得 当 或
0?

| y0 |?

|m|a . 1? m

| m| a 1? 5 ? a,即 ? m ? 0, 2 1? m
1? 5 2 时,

0?m?

存在点 N,使 S=|m|a2;

|m| a 1? 5 ? a,即-1<m< , 2 当 1? m
m? 1? 5 2 时,



不存在满足条件的点 N,
?1 ? 5 ? ? 1 ? 5 ? m?? ,0? ??? ? 0, 2 ? 2 ? ? ? ? 时, 当

???? ???? ? NF ? ( ? a 1 ? m ? x ? y ), NF 0 0 2 ? (a 1 ? m ? x0 , ? y0 ) , 由 1 ???? ???? ? 2 2 2 2 NF ? NF 1 2 ? x0 ? (1 ? m)a ? y0 ? ?ma , 可得 ???? ???? ? | NF | ? r ,| NF 1 1 2 |? r 2 , ?F 1 NF 2 ?? , 令
???? ???? ? ma 2 NF1 ? NF2 ? r1r2 cos ? ? ?ma 2 , 可得r1r2 ? ? cos ? , 则由 S? 1 ma 2 sin ? 1 r1r2 sin ? ? ? ? ? ma 2 tan ? 2 2cos ? 2 ,
2

从而

于是由 S ?| m | a ,
1 2|m| ? ma 2 tan ? ?| m | a 2 , 即 tan ? ? ? . m 可得 2

综上可得:
?1 ? 5 ? m?? ,0? ? 2 2 ? ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? 2; 当 ? 1? 5 ? m?? ? 0, 2 ? 2 ? ? 时,在 C1 上,存在点 N,使得 S ?| m | a , 且 tan F1NF2 ? ?2; 当



m(?1,

1? 5 1? 5 )?( , ??) 2 2 时,在 C1 上,不存在满足条件的点 N。

35、 (湖南理 21)

如图 7,椭圆

C1 :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,x 轴被曲线

C2 : y ? x2 ? b 截得的线段长等于 C1 的长半轴长。

(Ⅰ)求 C1,C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的焦点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于 点 A,B,直线 MA,MB 分别与 C1 相交与 D,E. (i)证明:MD⊥ME; ( ii )记△ MAB, △ MDE 的面积分别是
S1 17 ? S1 , S2 . 问: 是否存在直线 l,使得 S2 32 ?

请说明理由。 解 : (Ⅰ)由题意知
e? c 3 ? , 从而a ? 2b, 又2 b ? a, 解得a ? 2, b ? 1. a 2

x2 ? y 2 ? 1, y ? x 2 ? 1. 故 C1,C2 的方程分别为 4

(Ⅱ) (i)由题意知,直线 l 的斜率存在,设为 k,则直线 l 的方程 为 y ? kx .
? ? y ? kx ? y ? x2 ?1 ? ? 由 得

x 2 ? kx ? 1 ? 0

.

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),则x1 , x2 是上述方程的两个实根,于是
x1 ? x2 ? k , x1 x2 ? ?1.

又点 M 的坐标为(0,—1) ,所以

k MA ? k MB ?

2 y1 ? 1 y 2 ? 1 (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) k x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ? ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

?

? k 2 ? k 2 ?1 ?1

? ?1.

故 MA⊥MB,即 MD⊥ME. ( ii ) 设 直 线 MA 的 斜 率 为 k1 , 则 直 线 MA 的 方 程 为
? ? y ? k1 x ? 1, y ? k1 x ? 1,由? 2 ? ? y ? x ? 1 解得

?x ? 0 ?x ? k , 或? ? 2 ? y ? ?1 ? y ? k1 ? 1
2 则点 A 的坐标为 (k1 , k1 ? 1) .

1 又直线 MB 的斜率为 k1 , ? (? 1 1 , ? 1). k1 k12

同理可得点 B 的坐标为 于是
S1 ?

1 1 1 1 1 ? k12 | MA | ? | MB |? 1 ? k12 ? | k1 | ? 1 ? 1 ? | ? |? 2 2 k1 k1 2 | k1 |

? ? y ? k1 x ? 1, ? 2 2 2 2 ? x ? 4 y ? 4 ? 0 得 (1 ? 4k1 ) x ? 8k1 x ? 0. 由?

8k1 ? x? , 2 ? ? x ? 0, ? 1 ? 4k1 或? ? 2 ? y ? ?1 ? y ? 4k1 ? 1 ? 1 ? 4k12 ? 解得
8k1 4k12 ? 1 ( , ). 2 2 1 ? 4 k 1 ? 4 k 1 1 则点 D 的坐标为 ? 8k1 4 ? k12 1 ( , ). ? 2 2 4 ? k 4 ? k k 1 1 又直线 ME 的斜率为 ,同理可得点 E 的坐标为 32(1 ? k12 )? | k1 | 1 S 2 ? | MD | ? | ME |? 2 (1 ? k12 )(k12 ? 4) . 于是

S1 1 4 ? (4k12 ? 2 ? 17). k1 因此 S2 64 1 4 17 1 (4k12 ? 2 ? 17) ? , 解得k12 ? 4, 或k12 ? . k1 32 4 由题意知, 64

1 k12 1 3 k? ? k1 ? , 所以k ? ? . 1 k1 2 k1 ? k1 又由点 A、B 的坐标可知, k12 ?
y? 3 3 x和y ? ? x. 2 2

故满足条件的直线 l 存在,且有两条,其方程分别为

36、 (辽宁理 20) 如图, 已知椭圆 C1 的中心在原点 O, 长轴左、 右端点 M, N 在 x 轴上, 椭圆 C2 的短轴为 MN, 且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按 纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (I)设
e? 1 2 ,求 BC 与 AD 的比值;

(II)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,并说明理由.

解: (I)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设
C1 : x2 y 2 b2 y 2 x 2 ? ? 1, C : ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) 2 a 2 b2 a4 a

设直线 l : x ? t (| t |? a) ,分别与 C1,C2 的方程联立,求得
A(t , a 2 2 b a ? t ), B(t , a 2 ? t 2 ). b a

??????4 分

1 3 e ? 时, b ? a, 分别用y A , yB 2 当 2 表示 A,B 的纵坐标,可知

| BC |:| AD |?

2 | yB | b 2 3 ? ? . 2 | yA | a2 4

??????6 分

(II)t=0 时的 l 不符合题意. t ? 0 时,BO//AN 当且仅当 BO 的斜 率 kBO 与 AN 的斜率 kAN 相等,即
b 2 2 a 2 2 a ?t a ?t a ?b , t t ?a
ab2 1 ? e2 t?? 2 ? ? 2 ? a. a ? b2 e 解得
| t |? a, 又0 ? e ? 1, 所以 1 ? e2 2 ? 1, 解得 ? e ? 1. 2 2 e

因为

所以当

0?e?

2 2 时,不存在直线 l,使得 BO//AN;

2 ? e ?1 当 2 时,存在直线 l 使得 BO//AN.

??????12 分

37、 (全国大纲理 21)
y2 ?1 2 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 在 y 轴正半轴上的焦点,过 ??? ? ??? ? ??? ? l 2 OA ? OB ? OP ? 0. F 且斜率为 的直线 与 C 交于 A、B 两点,点 P 满足 C : x2 ?

(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一 圆上.

解: (I)F(0,1) , l 的方程为 y ? ? 2x ?1 , 代入
x2 ? y2 ?1 2 并化简得

4 x2 ? 2 2 x ?1 ? 0.

????2 分

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), 则
x1 ? 2? 6 2? 6 , x2 ? , 4 4 2 , y1 ? y2 ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 ? 1, 2 x3 ? ?( x1 ? x2 ) ? ? 2 , y3 ? ?( y1 ? y2 ) ? ?1. 2

x1 ? x2 ?

由题意得

所以点 P 的坐标为

(?

2 , ?1). 2 (? 2 , ?1) 2 满足方程

经验证,点 P 的坐标为
x2 ?

y2 ? 1, 2 故点 P 在椭圆 C 上。

????6 分

(II)由

P(?

2 2 , ?1) Q( ,1) 2 2 和题设知,

PQ 的垂直平分线 l1 的方程为
y?? 2 x. 2


M( 2 1 , ) 4 2 ,AB 的垂直平分线为 l2 的方程为

设 AB 的中点为 M,则
y? 2 1 x? . 2 4

② ????9 分

2 1 N (? , ) l , l 8 8 。 由①、②得 1 2 的交点为

| NP |? (?

2 2 2 1 3 11 ? ) ? (?1 ? ) 2 ? , 2 8 8 8 3 2 , 2

| AB |? 1 ? (? 2) 2 ? | x2 ? x1 |? | AM |? 3 2 , 4

| MN |? (

2 2 2 1 1 2 3 3 ? ) ?( ? ) ? , 4 8 2 8 8 3 11 , 8

| NA |? | AM |2 ? | MN |2 ?

故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知 A、P、B、Q 四点在以 N 为圆心,NA 为半径的圆上

38、 (全国新课标理 20) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0,-1) ,B 点在直线 y ? ?3 上,
???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? MB / / OA M 点满足 , MA?AB ? MB?BA ,M 点的轨迹为曲线 C.

(I)求 C 的方程; (II)P 为 C 上动点, l 为 C 在点 P 处的切线,求 O 点到 l 距离的最小 值.

解: (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y) , MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).
r uuu r uuu MB MA 再由题意可知 ( + ) ? uuu r AB =0, 即 (-x, -4-2y) ? uuu r uuu r uuu r

(x, -2)=0.

1 2 所以曲线 C 的方程式为 y= 4 x -2. 1 1 2 ' (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= 4 x -2 上一点,因为 y = 2 x,所以 1 l 的斜率为 2 x 0

因此直线 l 的方程为

y ? y0 ?

1 x0 ( x ? x0 ) 2 2 ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x0 ? 0 . y0 ? 1 2 x0 ? 2 4 ,所以

d?

2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ?4

则 O 点到 l 的距离

.又

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4

当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 39、 (山东理 22)
x2 y 2 ? ?1 已知动直线 l 与椭圆 C: 3 2 交于 P ? x1 , y1 ? 、Q ? x2 , y2 ? 两不同点,且

2

△OPQ 的面积

S?OPQ

6 = 2 ,其中 O 为坐标原点.

2 2 2 2 (Ⅰ)证明 x1 ? x2 和 y1 ? y2 均为定值;

(Ⅱ)设线段 PQ 的中点为 M,求 | OM | ? | PQ | 的最大值; (Ⅲ)椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得
S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 6 2 ?若存

在,判断△DEG 的形状;若不存在,请说明理由. (I)解: (1)当直线 l 的斜率不存在时,P,Q 两点关于 x 轴对称, 所以 x2 ? x1, y2 ? ? y1. 因为 P( x1 , y1 ) 在椭圆上,
x12 y12 ? ?1 因此 3 2
S ?OPQ ? 6 , 2 6 . 2



又因为 所以

| x1 | ? | y1 |?


6 ,| y1 |? 1. 2

由①、②得

| x1 |?

2 2 2 2 此时 x1 ? x2 ? 3, y1 ? y2 ? 2,

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m,
x2 y 2 ? ?1 由题意知 m ? 0 ,将其代入 3 2 ,得

(2 ? 3k 2 ) x2 ? 6kmx ? 3(m2 ? 2) ? 0 ,
2 2 2 2 其中 ? ? 36k m ?12(2 ? 3k )(m ? 2) ? 0,
2 2 即 3k ? 2 ? m

????(*)



x1 ? x2 ? ?

6km 3(m2 ? 2) , x x ? , 1 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以

| PQ |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ? d? |m| 1? k 2 ,

2 6 3k 2 ? 2 ? m2 , 2 ? 3k 2

因为点 O 到直线 l 的距离为 所以
S?OPQ ? 1 | PQ | ?d 2

2 2 1 |m| 2 2 6 3k ? 2 ? m ? 1? k ? ? 2 2 2 ? 3k 1? k 2

6 | m | 3k 2 ? 2 ? m2 ? 2 ? 3k 2
S ?OPQ ? 6 , 2



2 2 整理得 3k ? 2 ? 2m , 且符合(*)式,

此时

2 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2 x1 x2 ? (?

6km 2 3(m2 ? 2) ) ? 2 ? ? 3, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

2 y12 ? y2 ?

2 2 2 2 2 (3 ? x12 ) ? (3 ? x2 ) ? 4 ? ( x12 ? x2 ) ? 2. 3 3 3

2 2 2 2 综上所述, x1 ? x2 ? 3; y1 ? y2 ? 2, 结论成立。

(II)解法一: (1)当直线 l 的斜率存在时, 由(I)知 因此
| OM |?| x1 |? 6 ,| PQ |? 2 | y1 |? 2, 2

| OM | ? | PQ |?

6 ? 2 ? 6. 2

(2)当直线 l 的斜率存在时,由(I)知
x1 ? x2 3k ? , 2 2m

y1 ? y2 x ?x 3k 2 ?3k 2 ? 2m2 ? ? k( 1 2 ) ? m ? ? ?m? ? , 2 2 2m 2m m 2 2 x ?x y ? y2 2 9 k 1 6m ? 2 1 1 | OM |2 ? ( 1 2 ) 2 ? ( 1 ) ? ? 2 ? ? (3 ? 2 ), 2 2 2 2 4m m 4m 2 m 2 2 2 24(3k ? 2 ? m ) 2(2m ? 1) 1 | PQ |2 ? (1 ? k 2 ) ? ? 2(2 ? 2 ), 2 2 2 (2 ? 3k ) m m
| OM |2 ? | PQ |2 ? 1 1 1 ? (3 ? 2 ) ? 2 ? (2 ? 2 ) 2 m m

所以

1 1 )(2 ? 2 ) 2 m m 1 1 3? 2 ? 2? 2 m m ) 2 ? 25 . ?( 2 4 ? (3 ?
| OM | ? | PQ |? 5 1 1 3 ? 2 ? 2 ? 2 , 即m ? ? 2 2 ,当且仅当 m m 时,等号成立.

所以

5 . 综合(1) (2)得|OM|·|PQ|的最大值为 2

解法二:
2 2 2 2 2 2 因为 4 | OM | ? | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )
2 2 ? 2[( x12 ? x2 ) ? ( y12 ? y2 )]

? 10.

所以 即

2 | OM | ? | PQ |?

4 | OM |2 ? | PQ |2 10 ? ? 5. 2 5

| OM | ? | PQ |?

5 , 2 当且仅当 2 | OM |?| PQ |? 5 时等号成立。

5 . 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 2

(III) 椭圆 C 上不存在三点 D, E, G, 使得 证明:假设存在

S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 . 2

D(u, v), E ( x1 , y1 ), G( x2 , y2 )满足S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ?

6 2 ,

由(I)得
2 2 2 2 u 2 ? x12 ? 3, u 2 ? x2 ? 3, x12 ? x2 ? 3; v 2 ? y12 ? 2, v 2 ? y2 ? 2, y12 ? y2 ? 2,

3 2 2 解得u 2 ? x12 ? x2 ? ; v 2 ? y12 ? y2 ? 1. 2 5 因此u, x1 , x2只能从 ? 中选取, v, y1 , y2 只能从 ? 1中选取, 2

因此 D,E,G 只能在

(?

6 , ?1) 2 这四点中选取三个不同点,

而这三点的两两连线中必有一条过原点, 与
S?ODE ? S?ODG ? S?OEG ? 6 2 矛盾,

所以椭圆 C 上不存在满足条件的三点 D,E,G.

40、 (陕西理 17)
2 2 如图,设 P 是圆 x ? y ? 25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的摄影,M

为 PD 上一点,且

MD ?

4 PD 5

(Ⅰ)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程;
4 (Ⅱ)求过点(3,0)且斜率为 5 的直线被 C 所截线段的长度

解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y)P 的坐标为(xp,yp)
? xp ? x, ? ? 5 yp ? y , ? 4 由已知得 ?
?5 ? x2 y 2 x2 ? ? y ? ? 25 ? ?1 ?4 ? ,即 C 的方程为 25 16
2

∵P 在圆上, ∴

4 4 y ? ? x ? 3? 5 (Ⅱ)过点(3,0)且斜率为 5 的直线方程为 ,

设直线与 C 的交点为 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? 将直线方程
2

y?

4 ? x ? 3? 5 代入 C 的方程,得

x 2 ? x ? 3? ? ?1 25 25
x1 ? 3 ? 41 3 ? 41 , x2 ? 2 2

2 即 x ? 3x ? 8 ? 0





线段 AB 的长度为
AB ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

41 41 2 ? 16 ? ? ?1 ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? 41 ? 25 5 ? 25 ?

注:求 AB 长度时,利用韦达定理或弦长公式求得正确结果,同样得 分。 41、 (上海理 23) 已知平面上的线段 l 及点 P ,在 l 上任取一点 Q ,线 段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段 l 的距离,记作 d ( P, l ) 。 (1)求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; (2) 设 l 是长为 2 的线段, 求点集 D ? {P | d ( P, l ) ? 1} 所表示图形的面积; (3) 写出到两条线段 l1 , l2 距离相等的点的集合 ? ? {P | d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )}, 其中

l1 ? AB, l2 ? CD ,
A, B, C , D 是下列三组点中的一组。对于下列三组点只需选做一种,满

分分别是①2 分,② 6 分,③8 分;若选择了多于一种的情形,则按照序号较小的解答计 分。
A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) 。

② ③

A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) 。

y 1 A -1 B 1

A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。

O -1

解:⑴ 设 Q( x, x ? 3) 是线段 l : x ? y ? 3 ? 0(3 ? x ? 5) 上一点,则
5 9 | PQ |? ( x ? 1)2 ? ( x ? 4)2 ? 2( x ? )2 ? (3 ? x ? 5) 2 2





x?3





d(

P, ? l)

m

?|i P n。 Q|

5

⑵ 设线段 l 的端点分别为 A, B ,以直线 AB 为 x 轴, AB 的中点为原点 建立直角坐标系, 则 A(?1, 0), B(1, 0) ,点集 D 由如下曲线围成
l1 : y ? 1(| x |? 1), l2 : y ? ?1(| x |? 1)
C1 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? ?1), C2 : ( x ?1)2 ? y2 ? 1( x ? 1)



其面积为 S ? 4 ? ? 。 ⑶ ① 选择 A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) , ? ? {( x, y) | x ? 0} ② 选择 A(1,3), B(1,0), C( ?1,3), D( ?1, ?2) 。
? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ?{( x, y) | y 2 ? 4 x, ?2 ? y ? 0} ?{( x, y) | x ? y ?1 ? 0, x ? 1}

③ 选择 A(0,1), B(0,0), C(0,0), D(2,0) 。
? ? {( x, y) | x ? 0, y ? 0} ? {( x, y) | y ? x,0 ? x ? 1}

?{( x, y) | x2 ? 2 y ?1,1 ? x ? 2} ?{( x, y) | 4 x ? 2 y ? 3 ? 0, x ? 2}

y C 3 A

y C 3 A
y 2.5

B

D -1 O

B 1 x

-1

O

1

x

A D B=C 1 2

D

-2

x

42、 (四川理 21) 椭圆有两顶点 A(-1,0) 、B(1,0) ,过其焦点 F(0,1)的直线 l 与椭圆交于 C、D 两点,并与 x 轴交于点 P.直线 AC 与直线 BD 交于 点 Q.
3 2 (I)当|CD | = 2 时,求直线 l 的方程; ??? ? ???? OP (II)当点 P 异于 A、B 两点时,求证: ? OQ 为定值。

y2 ? x2 ? 1 2 解:由已知可得椭圆方程为 ,设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 0), k 为 l

的斜率。
2k ? ? y ? kx ? 1 x1 ? x2 ? ? ? ? 2 ? 2 ? k2 2 2 ? (2 ? k ) x ? 2 kx ? 1 ? 0 ? ?y ? 2 ? ? x ?1 ? x x ? ?1 ?2 ? 1 2 2 ? k2 ? 则 4 ? y1 ? y2 ? ? ? 2 ? k2 ? 2 ? y y ? ?2k ? 2 1 2 ? 2 ? k2 ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ?

8k 2 ? 8 8k 4 ? 8k 2 9 ? ? ? k2 ? 2 ? k ? ? 2 2 2 2 2 (2 ? k ) (2 ? k ) 2

? l 的方程为 y ? ? 2x ? 1

43、 (天津理 18) 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 P(a, b) (a ? b ? 0) 为动点,
x2 y 2 ? ?1 F1 , F2 分别为椭圆 a 2 b2 的左右焦点.已知△ F1PF2 为等腰三角形.

(Ⅰ)求椭圆的离心率 e ; (Ⅱ)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点,满足
???? ? ???? ? AM ? BM ? ?2 ,求点 M

的轨迹方程.

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量 等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学 思想,考查解决问题能力与运算能力.满分 13 分. (I)解:设 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0)

由题意,可得 | PF2 |?| F1F2 |,
2 2 即 (a ? c) ? b ? 2c.

c c c 2( )2 ? ? 1 ? 0, 得 ? ?1 a a 整理得 a (舍) ,
c 1 1 ? . e? . 或 a 2 所以 2

(II)解:由(I)知 a ? 2c, b ? 3c,
2 2 2 可得椭圆方程为 3x ? 4 y ? 12c ,

直线 PF2 方程为 y ? 3( x ? c).
2 2 2 ? ?3x ? 4 y ? 12c , ? ? ? y ? 3( x ? c).

A,B 两点的坐标满足方程组

2 消去 y 并整理,得 5x ? 8cx ? 0.

8 x 1 ? 0, x2 ? c. 5 解得

8 ? x2 ? c, ? x ? 0, ? 5 ? 1 ? ? ? ? ? y1 ? ? 3c, ? y ? 3 3 c. 2 ? 5 ? 得方程组的解
8 3 3 A( c, c), B(0, ? 3c) 不妨设 5 5 ???? ? ? 8 3 3 ???? ( x, y), 则 AM ? ( x ? c, y ? c), BM ? ( x, y ? 3c) 5 5 设点 M 的坐标为 , y ? 3( x ? c), 得c ? x ? 3 y. 3



???? ? 8 3 3 8 3 3 AM ? ( y ? x, y ? x), 15 5 5 5 于是

???? ? ???? ? ???? ? BM ? ( x, 3x). 由 AM ? BM ? ?2,

8 3 3 8 3 3 y ? x) ? x ? ( y ? x) ? 3x ? ?2 5 5 5 即 15 , (
2 化简得 18x ?16 3xy ?15 ? 0.



y?

18x2 ? 15 3 10 x2 ? 5 代入c ? x ? y, 得c ? ? 0. 3 16 x 16 3x

所以 x ? 0.
2 因此,点 M 的轨迹方程是 18x ?16 3xy ?15 ? 0( x ? 0).

44、 (浙江理 21)
2 2 3 已知抛物线 C1 : x = y ,圆 C2 : x ? ( y ? 4) ? 1的圆心为点 M

(Ⅰ)求点 M 到抛物线 c1 的准线的距离; (Ⅱ)已知点 P 是抛物线 c1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 c2 的两条 切线,交抛物线 c1 于 A,B 两点,若过 M,P 两点的直线 l 垂直于 AB, 求直线 l 的方程

本题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等基 础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。
1 y?? , 4 (I)解:由题意可知,抛物线的准线方程为:
17 . 所以圆心 M(0,4)到准线的距离是 4

(II)解:设 P( x0 , x0 ), A( x1, x1 ), B( x2 , x2 ) , 则题意得 x0 ? 0, x0 ? ?1, x1 ? x2 ,
2 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y ? x0 ? k ( x ? x0 ) ,

2

2

2

即 y ? kx ? kx0 ? x0
2 | kx0 ? 4 ? x0 |

2





1? k 2

? 1,

2 2 2 2 2 即 ( x0 ?1)k ? 2x0 (4 ? x0 )k ? ( x0 ? 4) ?1 ? 0 ,

设 PA,PB 的斜率为 k1, k2 (k1 ? k2 ) ,则 k1 , k2 是上述方程的两根,所以
k1 ? k2 ?
2 2 2 x0 ( x0 ? 4) ( x0 ? 4)2 ? 1 , k k ? . 1 2 2 2 x0 ?1 x0 ?1

2 2 2 将①代入 y ? x 得x ? kx ? kx0 ? x0 ? 0,

由于 x0 是此方程的根, 故 x1 ? k1 ? x0 , x2 ? k2 ? x0 ,所以
k AB
2 2 2 2 x0 ( x0 ? 4) x0 ?4 x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? k1 ? k2 ? 2 x0 ? ? 2 x0 , kMP ? . 2 x1 ? x2 x0 ? 1 x0 2 2 2 x0 ( x0 ? 4) x0 ?4 ?( ? 2 x0 ) ? ( ? ?1) 2 x0 ? 1 x0 ,

由 MP ? AB ,得 解得
2 x0 ?

k AB ? kMP

23 , 5

即点 P 的坐标为

(?

23 23 , ) 5 5 ,
y?? 3 115 x ? 4. 115

所以直线 l 的方程为

45、 (重庆理 20) 如题(20)图, 椭圆的中心为原点 O ,离心率 一条准线的方程为 x ? ? ? . (Ⅰ)求该椭圆的标准方程;

e?

? ? ,

(Ⅱ)设动点 P 满足: OP ? OM ? ?ON ,其中 M , N 是椭圆上的点,
? 直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ? ,问:是否存在两个定点 F? , F? ,使得 ?

uu u r

uuur

uuu r

PF? ? PF?

为定值?若存在,求 F? , F? 的坐标;若不存在,说明理由.

解: (I)由

e?

c 2 a2 ? , ? 2 2, a 2 c

2 2 2 解得 a ? 2, c ? 2, b ? a ? c ? 2 ,故椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

(II)设 P( x, y), M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则由
??? ? ???? ? ???? OP ? OM ? 2ON 得
( x, y) ? ( x1 , y1 ) ? 2( x2 , y2 ) ? ( x1 ? 2 x2 , y1 ? 2 y2 ), 即x ? x1 ? 2 x2 , y ? y1 ? 2 y2 .
2 2 因为点 M,N 在椭圆 x ? 2 y ? 4 上,所以
2 2 x12 ? 2 y12 ? 4, x2 ? 2 y2 ? 4, 2 2 2 2 2 2 故 x ? 2 y ? ( x1 ? 4x2 ? 4x1 x2 ) ? 2( y1 ? 4 y2 ? 4 y1 y2 )

2 2 ? ( x12 ? 2 y12 ) ? 4( x2 ? 2 y2 ) ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 )

? 20 ? 4( x1 x2 ? 2 y1 y2 ).

设 kOM , kON 分别为直线 OM,ON 的斜率,由题设条件知
kOM ? kON ? y1 y2 1 ?? , x1 x2 2 因此 x1 x2 ? 2 y1 y2 ? 0,

2 2 所以 x ? 2 y ? 20.

x2
2 所以 P 点是椭圆 (2 5)

?

y2 ( 10)2

?1

上的点,设该椭圆的左、右焦点为

F1 , F2 , 则 由 椭 圆 的 定 义 |PF1|+|PF2| 为 定 值 , 又 因
c ? (2 5) 2 ? ( 10) 2 ? 10

,因此两焦点的坐标为

F1 (? 10,0), F2 ( 10,0).

46、A,B 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两点,且 OA ? OB (O 为坐标原 点)求证: (1)A,B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别是定植;

(2)直线 AB 经过一个定点 证明: (1)设
A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则y1 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px 2 ,
2 2

? OA ? OB ,? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

两式相乘得 y1 y2 ? ?4 p 2 , x1 x2 ? 4 p 2
(2) y1 ? y 2 ? 2 p( x1 ? x2 ),当x1 ? x2 , k AB ? 所以直线AB的方程y ? y1 ?
2 2

2p , y1 ? y 2

2p 2p ( x ? x1 ).化简得y ? ( x ? 2 p), y1 ? y 2 y1 ? y 2

过定点( 2 p,0),当x1 ? x2时,显然也过点( 2 p,0)

所以直线 AB 过定点(2p,0)

47、 (2005 年春季北京,18)如图,O 为坐标原点,直线 l 在 x 轴和 y 轴 上 的 截 距 分 别 是 a 和 b (a ? 0, b ? 0) , 且 交 抛 物 线 两点。 y 2 ? 2 px( p ? 0)于M(x1 , y1),N(x2 , y2) (1) 写出直线 l 的截距式方程 (2) 证明:
1 1 1 ? ? y1 y 2 b

(3) 当 a ? 2 p 时,求 ?MON 的大小。 (图见教材 P135 页例 1) 解: (1)直线 l 的截距式方程为 ?
x a y ? 1。 b

(1) (2)

(2) 、 由 (1) 及 y 2 ? 2 px 消去 x 可得 by2 ? 2 pay ? 2 pab ? 0 点 M, N 的坐标 y1 , y2 为 (2) 的两个根。 故 y1 ? y 2 ?
? 2 pa y1 ? y 2 1 1 1 ? b ? . 所以 ? ? y1 y 2 y1 y 2 ? 2 pa b

? 2 pa , y1 ? y 2 ? ?2 pa. b

(3) 、设直线 OM、ON 的斜率分别为 k1 , k 2 , 则k1 ? 当 a ? 2 p 时,由(2)知, y1 y2 ? ?2 pa ? ?4 p 2 ,

y1 y , k2 ? 2 . x1 x2

2 由y12 ? 2 px1 , y 2 ? 2 px2 , 相乘得( y1 y 2 ) 2 ? 4 p 2 x1 x2 , x1 x2 ?

( y1 y 2 ) 2 (4 p 2 ) 2 ? ? 4 p2 , 2 2 4p 4p

因此 k1k 2 ?

y1 y 2 ? 4 p 2 ? ? ?1.所以OM ? ON,即?MON=90? 。 x1 x2 4 p2

说明:本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的 方法分析问题和解决问题的能力。

48 、 ( 2005 年 黄 冈 高 三 调 研 考 题 ) 已 知 椭 圆 C 的 方 程 为
x2 y2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1 的两条渐近线为 l1 , l 2 ,过椭圆 C ,双曲线 a2 b2 a2 b2

的右焦点 F 作直线 l ,使 l ? l1 ,又 l 与 l 2 交于 P 点,设 l 与椭圆 C 的两 个交点由上而下依次为 A、B。 (图见教材 P135 页例 2) (1) 当 l1与l 2 夹角为 60? ,双曲线的焦距为 4 时,求椭圆 C 的方程 (2) 当 FA ? ?AP 时,求 ? 的最大值。 解: (1) 两渐近线的夹角为 60? , 又 ? 1, ? 双曲线的渐近线为 y ? ? x ,
b 3 ? ?POx ? 30? ,即 ? tan30? ? ? a ? 3b.又a 2 ? b 2 ? 4, a 3 x2 ? a 2 ? 3, b 2 ? 1.故椭圆C的方程为 ? y 2 ? 1. 3
b a b a

?

?

(3) 由已知

l:y?

a b a 2 ab ( x ? c),与y ? x解得P( , ) , b a c c

a2 ab ?? ? ? c , c ) ,将 A 点坐标代入椭圆方程 由 FA ? ?AP 得 A( 1? ? 1? ? c???


(c 2 ? ?a 2 ) 2 ? ?2 a 4 ? (1 ? ? ) 2 a 2 c 2 ,? (e 2 ? ? ) 2 ? ?2 ? e 2 (1 ? ? ) 2

? ?2 ?

e4 ? e2 2 ? ? ? ??(2 ? e 2 ) ? ? 3 ? 3 ? 2 2. 2 e ?2 2 ? e2 ? ? ?

? ?的最大值为 2- 1 。

说明:本题考查了椭圆、双曲线的基础知识,及向量、定比分点 公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形,利 用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决 问题能力的一道好题。

49、A,F 分别是椭圆

( y ? 1) 2 ( x ? 1) 2 ? ? 1 的一个上顶点与上焦点,位于 16 12

x 轴的正半轴上的动点 T(t,0)与 F 的连线交射线 OA 于 Q,求: (1) 点 A,F 的坐标及直线 TQ 的方程; (2) 三角形 OTQ 的面积 S 与 t 的函数关系式及该函数的最小值 (3) 写出该函数的单调递增区间,并证明. 解:(1)由题意得 A(1,3),F(1,1) 直线 TQ 得方程为 x+(t-1)y-t=0 (2)射线 OA 的方程 y=3x ( x ? 0), 代入 TQ的方程,得 xQ ?
由xQ ? 0, 得t ?
t 3t ? 2

2 3t 1 3t 2 , 则y Q ? ,? S (t ) ? y Q OT ? 3 3t ? 2 2 2(3t ? 2) 1 3 2 3 4 4 ? ? ,? t ? ,? S (t ) ? ? (当t ? 时取等号) 1 2 1 3 9 9 3 3 3 2( ? 2 ) ? 4( ? ) 2 ? t 3t t 4 4 4
4 3

所以 S(t)的最小值为
?4 ?3 ? ?

(3)S(t)在 ? ,?? ? ? 上是增函数

2 2 4? ? (t 2 ? t1 ) ?(t1 ? )(t 2 ? ) ? ? 4 1 3 3 9? ? 设 ? t1 ? t 2 , 那么S (t1 ) ? S (t 2 ) ? ? ? ? 2 2 3 2 (t1 ? )(t 2 ? ) 3 3
? t 2 ? .t1 ? 4 2 2 2 2 ,? (t1 ? ) ? , t 2 ? ? ,?,? S (t 2 ) ? S (t1 ) 3 3 3 3 3

? 所以该函数在 ? ? ,?? ?上是增函数 4 ?3 ?

50、过抛物线 y2=2px 的焦点 F 任作一条直线 m,交这抛物线于

P1、P2 两点,求证:以 P1P2 为直径的圆和这抛物线的准线相切.
分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷. 证明:如图 2-17.设 P1P2 的中点为 P0,过 P1、P0、P2 分别向准线

l 引垂线 P1Q1,P0Q0,P2Q2,垂足为 Q1、Q0、Q2,则
|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2| ∴|P1P2|=|P1F|+|P2F| =|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0| 所以 P0Q0 是以 P1P2 为直径的圆 P0 的半径,且 P0Q0⊥l,因而圆 P0 和准 线 l 相切. [思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.类似有:以 椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离; 以双曲线焦点弦为直径 的圆与相应的准线相交.以上结论均可用第二定义证明之. 变式:求证:以双曲线的任意焦半径为直径的圆,与以实轴为直 径的圆相切.

取 F1P 的中点为 O1,连结 O1O,只须证明:以 F1P 为直径的圆与 实轴 A1A2 为直径的圆内切.

在△PF1F2 中,O1O 为△PF1F2 的中位线

故以双曲线的任意焦半径为直径的圆,与以实轴为直径的圆内切.


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