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2015年高考总复习(北师大版)数学(文)数学思想专项训练(一) 函数与方程思想


数学思想专项训练(一) 函数与方程思想

方法概述 函数思想,是指用函数的概 念和性质去分析问题、转化问题 和解决问题.方程思想,是从问 题中的数量关系入手,运用数学 语言将问题中的条件转化为数学 模型(方程、 不等式或方程与不等 式的混合组),然后通过解方程 (组)或不等式(组)来使问题获 解.有时,还通过函数与方程的 互相转化、接轨,达到解决问题 的目的.

适用题型 函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛,主要有 以下几种类型: (1)函数与不等式的相互转化,对函数 y=f(x),当 y>0 时,就化为不等式 f(x)>0,借助于函数的图象和性质可解 决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数, 用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题, 需要通过解二元方程组才 能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.

一、选择题 1.已知不等式 ax2-bx-1≥0 的解集是[2,3],则不等式 x2-bx-a<0 的解集是( A.(-3,-2) 1 1 C.(- ,- ) 2 3 B.(-∞,-3)∪(-2,+∞) 1 1 D.(-∞,- )∪(- ,+∞) 2 3 )

解析:选 C 由题意知方程 ax2-bx-1=0 的根分别为 x1=2,x2=3,所以由根与系数 b 1 1 5 的关系得 2+3=5= ,2×3=6=- ,解得 a=- ,b=- ,则不等式 x2-bx-a<0 即为 a a 6 6 5 1 1 1 x2+ x+ <0,解得- <x<- . 6 6 2 3 2.若函数 f(x)、g(x)分别为 R 上的奇函数、偶函数,且满足 f(x)-g(x)=ex,则有( A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3) B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)
- -

)

解析:选 D 由题意得 f(x)-g(x)=ex,f(-x)-g(-x)=e x,即-f(x)-g(x)=e x,由此 ex-e x ex+e x ex-e x 解得 f(x)= , g(x)=- , g(0)=-1, 函数 f(x)= 在 R 上是增函数, 且 f(3)>f(2) 2 2 2
- - -

e2-e 2 = >0,因此 g(0)<f(2)<f(3). 2


3.a<0 是方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件

)

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:选 B 一方面,由 a<0 得方程 ax2+2x+1=0 的判别式 Δ=4-4a>0,此时方程 1 有两个不等实根,且两个实根的积等于 <0,方程恰有一正、一负的实根,可知方程 ax2+ a 2x+1=0 至少有一个负数根;另一方面,由方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根不能推知 a<0,如当 a=1 时,方程 ax2+2x+1=0,即(x+1)2=0 满足至少有一个负数根.综上所述, “a<0”是“方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根”的充分不必要条件. 4.设 a>1,若对于任意的 x∈[a,2a],都有 y∈[a,a2]满足方程 logax+logay=3,这时 a 的取值的集合为( A.{a|1<a≤2} C.{a|2≤a≤3}
3

) B.{a|a≥2} D.{2,3}

a a3 1 1 解析:选 B 依题意得 y= ,当 x∈[a,2a]时,y= ∈ a2,a2?[a,a2],因此有 a2≥a, x x 2 2 又 a>1,由此解得 a≥2. 5. 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知(a5-1)3+2 012(a5-1)=1, (a2 008-1)3+2 012(a2
008-1)=-1,则下列结论正确的是(

) B.S2 012=2 012,a2 008>a5 D.S2 012=-2 012,a2 008>a5

A.S2 012=2 012,a2 008<a5 C.S2 012=-2 012,a2 008<a5

解析:选 A 结合等式的结构形式,构造函数 f(x)=x3+2 012x, 因为 f′(x)=3x2+2 012 的值恒大于 0, 所以函数 f(x)是 R 上的增函数. 因为 f(a5-1)>f(a2
008-1),所以

a5-1>a2 008-1.所以 a2 008<a5.

构造方程 x3+2 012x=1,y3+2 012y=-1,相加,得 (x+y)(x2-xy+y2+2 012)=0,因为 x2-xy+y2+2 012>0 恒成立,所以 x+y=0,即 a5 2 012?a1+a2 012? 2 012?a5+a2 008? +a2 008=2.所以 S2 012= = =2 012. 2 2 二、填空题 1 a? 6.已知不等式(x+y)? ?x+y?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 ________. 1 a? x y ?1+a?=1+a· 解析: 只需求(x+y)? 又(x+y)· + +a≥a ?x+y?的最小值大于等于 9 即可, ? x y? y x +1+2 xy x y a··=a+2 a+1,等号成立仅当 a·= 即可,所以( a)2+2 a+1≥9, yx y x

即( a)2+2 a-8≥0 得 a≥2 或 a≤-4(舍), 所以 a≥4,即 a 的最小值为 4. 答案:4 7.若关于 x 的方程(2-2
-|x-2|

)2=2+a 有实根,则实数 a 的取值范围是________.

解析:令 f(x)=(2-2 可.

-|x-2|

)2,要使 f(x)=2+a 有实根,只需 2+a 是 f(x)的值域内的值即

∵f(x)的值域为[1,4), ∴1≤a+2<4,∴-1≤a<2. 答案:[-1,2)
?|lg |x|| x≠0 ? 8.已知函数 f(x)=? ,a∈R,若方程 f2(x)-f(x)=0 共有 7 个实数根, ? a x = 0 ?

则 a=________. 解析:由 f2(x)-f(x)=0 知 f(x)=1 或 f(x)=0. 当 f(x)=1 时,若|lg|x||=1,则 lg|x|=1 或 lg|x|=-1, 解得 x1=10,x2=-10,x3= 1 1 ,x =- . 10 4 10

当 f(x)=0 时,若|lg|x||=0,则 lg|x|=0, x5=1,x6=-1, 要使 f2(x)-f(x)=0 有 7 个根,则 a=0 或 a=1. 答案:1 或 0 8 1?n ?1?n+?1?n(其中 n∈N+),且该数列中最 9.若数列{an}的通项公式为 an= ×? - 3 × ?4? ?2? 3 ?8? 大的项为 am,则 m=________. 1?n 1 解析:令 x=? ?2? ,则 0<x≤2 1? 8 构造函数 f(x)= x3-3x2+x,x∈? ?0,2?, 3 ∴f′(x)=8x2-6x+1. 1 1 令 f′(x)=0,故 x1= ,x2= . 4 2 1? ?1 1? ∴f(x)在? ?0,4?上为增函数,f(x)在?4,2?上为减函数 1? ∴f(x)max=f? ?4? 1 即当 x= 时,f(x)最大, 4 ∴n=2 时,a2 最大. ∴m=2. 答案:2 三、解答题 10.已知 a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc-1=0,求 a 的取值范围.

解:法一(方程思想):因为 b+c=-a,bc=1-a. 所以 b, c 是方程 x2+ax+1-a=0 的两根, 所以 Δ=a2-4(1-a)≥0, 即 Δ=a2+4a-4≥0, 解得 a≥-2+2 2或 a≤-2-2 2.
?a+b+c=0, ? 法二(函数思想):由已知? ? ?a+bc-1=0,

得 b+c-bc+1=0, 如果 c=1,则 b+1-b+1=0, 即 2=0,不成立,因此 c≠1, c+1 1+c 所以 b= ,a= -c. c-1 1-c 1+c c2+1 令 f(c)= -c= , 1-c 1-c c2-2c-1 所以 f′(c)=- ?1-c?2 令 f′(c)=0,则 c=1± 2. 当 c<1- 2时,f′(c)<0, 函数 f(c)在区间(-∞,1- 2)上是减函数; 当 1- 2<c<1 时,f′(c)>0, 函数 f(c)在区间(1- 2,1)上是增函数; 当 1<c<1+ 2时,f′(c)>0, 函数 f(c)在区间(1,1+ 2)上是增函数; 当 c>1+ 2时,f′(c)<0,函数 f(c)在区间(1+ 2,+∞)上是减函数. c2+1 函数 f(c)= 的图象如图所示. 1-c 所以 f(c)≥f(1- 2)=-2+2 2或 f(c)≤f(1+ 2)=-2-2 2, 所以 a 的取值范围是(-∞,-2-2 2]∪[-2+2 2,+∞). x2 11.设 P 是椭圆 2+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最 a 大值. 解:依题意可设 P(0,1),Q(x,y),则 |PQ|= x2+?y-1?2. 又因为 Q 在椭圆上,所以 x2=a2(1-y2). |PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2 1 1 2 =(1-a2)?y-1-a2?2- ? ? 1-a2+1+a ,

1 因为|y|≤1,a>1,若 a≥ 2,则?1-a2?≤1,

?

?

当 y=

a2 a2-1 1 ; 2时,|PQ|取最大值 1-a a2-1

若 1<a< 2,则当 y=-1 时,|PQ|取最大值 2, a2 a2-1 综上,当 a≥ 2时,|PQ|的最大值为 2 ;当 1<a< 2时,|PQ|的最大值为 2. a -1 1 1 12.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0), a x (1)若 f(x)≤2x 在(0,+∞)上恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若 f(x)在[m,n]上的值域也是[m,n](m≠n),求实数 a 的取值范围. 1 1 1 1 解:(1)由 - ≤2x 得 ≤2x+ . a x a x ∵x>0, ∴当 x= 1? 2 时,? ?2x+x?min=2 2, 2

1 2 ∴ ≤2 2,∴a≥ , a 4 ∴实数 a 的取值范围是? 2 ?. ? 4 ,+∞?

1 (2)∵f′(x)= 2>0(x>0), x ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数. 又∵f(x)在[m,n]上的值域也是[m,n](m≠n),
? ?f?m?=m, ∴? 成立,即方程 f(x)=x 在(0,+∞)上有两个不同的解, ?f?n?=n, ?

1 1 即 - =x 在(0,+∞)上有两个不同的解, a x 1 即 x2- x+1=0 在(0,+∞)上有两个不同的解 x1,x2, a Δ>0, ? ? 1 ∴?x +x =a>0, ? ?x x =1>0,
1 2 1 2

1 解得 0<a< , 2

1? ∴实数 a 的取值范围是? ?0,2?.


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