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绝对值不等式复习


不等式选讲 [选修4-5]

不等式选讲[选修4-5]

[知识能否忆起]

一、绝对值三角不等式 | 1.定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤ |a|+|b ,

当且仅当 ab≥0 时,等号成立.
2.定理2:如果a,b,c是实数,那么 |a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时, 等号成立.

二、绝对值不等式的解法

1.不等式|x|<a与|x|>a的解集:
不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|-a<x<a} a=0 ? a<0 ? R

{x|x>a,或x<-a} {x|x≠0}

2.|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:

(1)|ax+b|≤c?

-c≤ax+b≤c


.

(2)|ax+b|≥c? ax+b≥c或ax+b≤-c

(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解

法:
方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结 合的思想;

方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;
方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数 与方程的思想.

[小题能否全取]
1.(教材习题改编)函数 y=|x+1|+|x+3|的最小值 为________.

解析:由|x+1|+|x+3|≥|(x+1)-(x+3)|=2, ∴ymin=2.

答案:2

2.(教材习题改编)不等式|2x-1|<x+1 的解集为________.

解析:∵|2x-1|<x+1, 即-(x+1)<2x-1<x+1,
? ?2x-1>-x-1, ∴? ? ?2x-1<x+1, ? ?x>0, 即? ? ?x<2,

∴解集为{x|0<x<2}.
答案:{x|0<x<2}

3.(2012· 肇庆模拟)|x|2-2|x|-15>0 的解集是________.

解析:∵|x|2-2|x|-15>0, ∴|x|>5 或|x|<-3(舍去), ∴x<-5 或 x>5.

答案:(-∞,-5)∪(5,+∞)

4.若存在实数 x 满足不等式|x-4|+|x-3|<a,则实数 a 的 取值范围是________.
解析:由绝对值不等式的性质知,|x-4|+|x-3|≥|(x -4)-(x-3)|=1, 所以函数 y=|x-4|+|x-3|的最小值为 1, 又因为原不等式有实数解,所以 a 的取值范围是(1, +∞).
答案:(1,+∞)

5.(2012· 湖南高考)不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集 为________.

解析:原不等式即|2x+1|>2|x-1|,两端平方后解得 1 12x>3,即 x> . 4
? ? ? 1? ? ? ? 答案:?x x>4? ? ? ? ?

1.不等式|x-a|+|x-b|≥c的解就是数轴上到A(a),B(b)

两点的距离之和不小于c的点所对应的实数,只要在数轴上
确定出具有上述特点的点的位置,就可以得出不等式的解. 2.不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条 件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|;不等式 |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左

侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

绝对值不等式的解法

[例1] (2012· 新课标全国卷)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

[ 自 主 解 答 ] ?-2x+5,x≤2, ? ?1,2<x<3, ?2x-5,x≥3. ?

(1) 当 a = - 3 时 , f(x) =

当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4; 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1,或 x≥4}.

(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0].

在本例条件下,若 f(x)≥3 对一切实数 x 恒成立,求 a 的取值范围.
解:∵f(x)=|x+a|+|x-2|, ∴f(x)≥|(x+a)-(x-2)|=|a+2|. 由条件知|a+2|≥3,即 a+2≥3 或 a+2≤-3, ∴a≥1 或 a≤-5. 即 a 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).

形如|x-a|±|x-b|≥c不等式的常用解法:

(1)零点分段讨论法,其步骤为:
①求零点;②划分区间、去绝对值号;③分别解去掉绝 对值的不等式;④取每个结果的并集,特别注意在分段时不 要漏掉区间的端点值. (2)用|x-a|±|x-b|的几何意义求解. (3)数形结合,作出y=|x-a|±|x-b|的图象,直观求解.

1.已知函数 f(x)=|x-8|-|x-4|.

(1)作出函数y=f(x)的图象;

(2)解不等式|x-8|-|x-4|>2.

x≤4, ?4, ? 解:(1)f(x)=?-2x+12, 4<x≤8, ?-4, x>8, ? 图象如下:

(2)不等式|x-8|-|x-4|>2,即 f(x)>2. 由-2x+12=2,得 x=5. 由函数 f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).

绝对值三角不等式的应用

[ 例 2] -3|+a.

(2012· 延边质检 ) 已知函数 f(x) = |2x + 1| + |2x

(1)当a=0时,解不等式f(x)≥6;
(2)若不等式f(x)≥3a2对一切实数x恒成立时,求实数a 的取值范围.

[自主解答]

(1)当 a=0 时,求得

? ?-4x+2,x<-1, 2 ? ? 1 3 f(x)=?4,-2≤x≤2, ? ? 3 4x-2,x> , ? 2 ? 由 f(x)≥6?x≤-1 或 x≥2. 所以不等式的解集是(-∞,-1]∪[2,+∞).

1 ? ?-4x+2+a,x<- , 2 ? ? 1 3 (2)法一:f(x)=?4+a,-2≤x≤2, ? ? 3 4x-2+a,x> ? 2 ?

的最小值是 4+a.

要使不等式 f(x)≥3a2 恒成立,只要 4+a≥3a2,
? 4? 4 解得-1≤a≤ .所以 a 的取值范围是?-1,3?. 3 ? ?

法二:因为|2x+1|+|2x-3|≥|(2x+1)-(2x-3)|=4. 所以 f(x)min=4+a, 要使 f(x)≥3a2 对一切实数 x 恒成立,只要 4+a≥3a2,
? 4? 4 解得-1≤a≤ .所以 a 的取值范围为?-1,3?. 3 ? ?

对于求 y=|x-a|+|x-b|或 y=|x+a|-|x-b|型的最 值问题,利用绝对值不等式的性质更方便.形如 y=|x -a|+|x-b|的函数只有最小值,形如 y=|x-a|-|x-b| 的函数既有最大值又有最小值.

2.(2012· 长春模拟)设函数 f(x)=|2x-1|+|2x-3|,x∈R.

(1)解不等式 f(x)≤5;
1 (2)若 g(x)= 的定义域为 R, 求实数 m 的取值范围. f?x?+m

1 ? ?x< , 解 : (1) 原 不 等 式 等 价 于 ? 2 ? ?4-4x≤5

1 3 ? ? ≤x≤ , 2 或 ?2 ? ?2≤5



3 ? ?x> , ? 1 9? ? 2 因此不等式的解集为?-4,4?. ? ? ? 4 x - 4 ≤ 5 , ? 1 (2)由于 g(x)= 的定义域为 R, 则 f(x)+m=0 在 R 上 f?x?+m

无解. 又 f(x)=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2,f(x)的最小 值为 2, 所以-m<2,即 m>-2,m 的取值范围为(-2,+∞).

绝对值不等式的证明

[例 3]

(2012· 长春调研)已知 f(x)= 1+x2,a≠b,求

证:|f(a)-f(b)|<|a-b|.

[自主解答]

证明:∵|f(a)-f(b)|=| 1+a2- 1+b2|

|a2-b2| |a-b||a+b| = 2 2= 2 2, 1+ a + 1 + b 1+a + 1+b 又|a+b|≤|a|+|b|= a2+ b2< 1+a2+ 1+b2, |a+b| ∴ 2 2<1. 1+ a + 1 + b ∵a≠b,∴|a-b|>0. ∴|f(a)-f(b)|<|a-b|.

含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较 简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值

符号转化为常见的不等式证明题,或利用绝对值不等式
性质:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证明; 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往 可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想, 或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.

3.设函数 f(x)=x2-2x,实数 a 满足|x-a|<1. 求证:|f(x)-f(a)|<2|a|+3.

证明:法一:∵f(x)=x2-2x, ∴|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a| =|(x-a)· (x+a-2)| =|x-a||x+a-2|<|x+a-2| =|(x-a)+2a-2|

≤|x-a|+|2a-2|<1+2|a|+2=2|a|+3, ∴|f(x)-f(a)|<2|a|+3. 法二:|f(x)-f(a)|=|x2-2x-a2+2a| =|x-a|· |x+a-2|<|x+a-2|≤|x|+|a-2| ≤|x|+|a|+2<|a|+1+|a|+2=2|a|+3. (∵|x-a|<1,∴|x|-|a|<1,即|x|<|a|+1) ∴|f(x)-f(a)|<2|a|+3.


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