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2016-2017学年高中数学苏教版必修5课件:第三章 不等式 3.4.2


阶 段 一

阶 段 三

3.4.2
阶 段 二

基本不等式的应用
学 业 分 层 测 评

1.掌握基本不等式及变形的应用. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 3.能应用基本不等式解决生活中的应用问题.

[基础· 初探] 教材整理 基本不等式与最值 阅读教材 P99~P101,完成下列问题. 已知 a≥0,b≥0,在运用基本不等式时,要注意: (1)和 a+b 一定时,积 ab 有最大值;

(2)积 ab 一定时,和 a+b 有最小值; (3)取等号的条件
? ? ?当且仅当 ?

a=b

a+b? ? 时, ab= 2 ?. ?

1.设 x,y 满足 x+y=40,且 x,y 都是正数,则 xy 的最大值为________.

【解析】 ∵x,y∈(0,+∞),
?x+y? ?2 ∴xy≤? ? 2 ? =400, ? ?

当且仅当 x=y=20 时等号成立.
【答案】 400

2 .把总长为 16 m 的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是 ________ m2.

【解析】

设一边长为 x m ,则另一边长为 (8 - x)m ,则面积 S = x(8 -

?x+8-x? ?2 x)≤? ? ? =16, 2 ? ?

当且仅当 x=8-x,即 x=4 时等号成立.
【答案】 16

[质疑· 手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问1:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问2:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问3:____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________

[小组合作型]

利用基本不等式求条件最值

1 9 (1)已知 x>0,y>0,且x+y=1,则 x+y 的最小值是________. 8 1 (2)若 x+2y=1,且 x>0,y>0,则x +y 的最小值为________. 【导学号:91730069】
1 9 【精彩点拨】 注意条件“x +y =1”及“x+2y=1”的作用.

1 9 【自主解答】 (1)∵x +y =1,x>0,y>0,
?1 9? y 9x ? + ?=10+ + ∴x+y=(x+y)· x y ?x y ?

≥10+2 9 =16. y 9x 当且仅当x= y ,即 x=4,y=12 时等号成立.

(2)∵x+2y=1,x>0,y>0, 8 1 ?8 1? ∴x +y =?x +y ?(x+2y) ? ? 16y x =8+2+ x +y ≥10+2 16 =18. 16y x 2 1 当且仅当 x =y,即 x=3,y=6时等号成立.

【答案】 (1)16 (2)18

解决含有两个变量的代数式的最值时,常用“变量”替换,“1”的替换, 构造不等式求解.

[再练一题] 1.(1)已知正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是________. (2)已知点 M(a,b)在直线 x+y=1 上,则 a2+b2的最小值为________.

a+3 【解析】 (1)法一 由 ab=a+b+3,得 b= . a-1 a+3 由 b>0,得 >0.∵a>0,∴a>1. a-1 a+3 a2+3a ∴ab=a· = a-1 a-1

[?a-1?+1]2+3[?a-1?+1] = a-1 4 =(a-1)+ +5≥2 a-1 4 ?a-1?· +5=9. a-1

4 当且仅当 a-1= ,即 a=3 时,取等号,此时 b=3. a-1 ∴ab 的取值范围是[9,+∞).

法二

由于 a,b 为正数,∴a+b≥2 ab,

∴ab=a+b+3≥2 ab+3,即( ab)2-2 ab-3≥0,∴ ab≥3,故 ab≥9,当 且仅当 a=b=3 时,取等号. ∴ab 的取值范围是[9,+∞).

2 ? a + b ? 1 2 2 (2)因为点 M(a, b)在直线 x+y=1 上, 所以 a+b=1, 因为 a +b ≥ 2 =2,

1 当且仅当 a=b=2时等号成立, 所以 a +b ≥
2 2 2 2

1 2 2= 2 ,

2 所以 a +b 的最小值为 2 .

【答案】 (1)[9,+∞)

2 (2) 2

利用基本不等式解实际应用题
某单位用 2 160 万元购得一块空地, 计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米 的平均建筑费用为 560+48x(单位: 元) . 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少, 该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均 购地总费用 购地费用= ) 建筑总面积

【精彩点拨】

根据题目列函数关系式,利用基本不等式求最值并确定取得

最值的条件,得出结论.

2 160×104 【自主解答】 设将楼房建为 x 层,则每平方米的平均购地费用为 2 000x 10 800 = x .
? 225? 10 800 ∴每平方米的平均综合费用 y=560+48x+ x =560+48?x+ x ?. ? ?

225 当 x+ x 取最小值时,y 有最小值.

225 ∵x>0,∴x+ x ≥2

225 x·x =30,

225 当且仅当 x= x ,即 x=15 时,上式等号成立. 所以当 x=15 时,y 有最小值 2 000 元. 因此该楼房建为 15 层时,每平方米的平均综合费用最少.

在应用基本不等式解决实际问题时,应注意如下的思路和方法: (1)先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数; (2)建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)根据实际背景写出答案.

[再练一题] 2.某汽车公司购买了 4 辆大客车,每辆 200 万元,用于长途客运,预计每辆 车每年收入约 100 万元,每辆车第一年各种费用约为 16 万元.且从第二年开始每 年比上一年所需费用要增加 16 万元. (1)写出 4 辆车运营的总利润 y(万元)与运营年数 x(x∈N*)的函数关系式; (2)这 4 辆车运营多少年,可使年平均运营利润最大?

【解】

(1)依题意,每辆车 x 年总收入为 100x 万元,

总支出为 200+16×(1+2+?+x) 1 =200+2x(x+1)· 16(万元).
? ? 1 16? ∴y=4?100x-200-2x?x+1?· ? ?

=16(-2x2+23x-50).

(2)年平均利润为
? 50? y ?23-2x- ? = 16 x? x ? ? ? 25?? =16?23-2?x+ x ??. ? ?? ?

又 x∈N*, 25 ∴x+ x ≥2 25 x· x =10,

当且仅当 x=5 时,等号成立, y 此时x≤16×(23-20)=48. ∴运营 5 年可使年平均运营利润最大,最大利润为 48 万元.

[探究共研型]

p 形如 y=x+x的最值问题

4 探究 可以用基本不等式求函数 y=x+x(x≥4)的最小值吗?为什么?
【提示】 ∵x≥4, 4 x· x =4,

4 ∴y=x+ x≥2

4 当且仅当 x=x ,即 x=2 时等号成立,

又 x≥4,故不可以用基本不等式求其最小值. 4 由于 y=x+x在[4,+∞)上单调递增,故当 x=4 时, 4 ymin=4+4=5.

x2+a+1 已知 a>0,求函数 y= 的最小值. 2 x +a

【精彩点拨】 分“a>1”和“0<a≤1”两类分别求函数的最值.
【自主解答】 x2+a+1 1 2 ∵y= = x +a+ 2 . 2 x +a x +a
2

1 1 2 (1)当 0<a≤1 时,y= x +a+ 2 ≥2,当且仅当 x +a= 2 , x +a x +a 即 x2+a=1,x=± 1-a时取等号 ymin=2.

(2)当 a>1 时,令 x2+a=t,则 t≥ a, 1 ∴y=f(t)=t+ t ,利用单调性可知 f(t)在[ a,+∞)上是增函数, a+1 ∴y≥f( a)= , a 当且仅当 t= a,即 x=0 时等号成立. a+1 ∴ymin= . a 综上所述,当 0<a≤1 时, ymin=2; a+1 当 a>1 时,ymin= . a

1.利用基本不等式求最值的前提条件是:一正、二定、三相等. 2.在等号不成立时,常借助函数的单调性求其最值.

[再练一题] 3.已知两正数 x,y 满足 x+y=1,求
? 1?? 1? z=?x+x ??y+y ?的最小值. ? ?? ?

【解】 由 x+y=1 知 x2+y2+2xy=1, ∴x2+y2=1-2xy. 从而有 令
? 1?? 1? 1 2 2 2 2 1 ? ? ? ? z= x+x y+ y =xy(x y +x +y +1)=xy(2+x2y2-2xy), ? ?? ?

? 1 1 1? xy=t?0<t≤4,且t=4时,x=y=2?, ? ?

2 则 z= t +t-2,

? 1? 2 2 再令 f(t)= t +t,可以证明 f(t)= t +t 在?0,4?上单调递减, ? ?

1 2 33 故当 t=4时,f(t)= t +t 取最小值 4 ,
? 1?? 1? 1 25 ? ? ? ? ∴当 x=y=2时,z= x+x y+y 取最小值 4 . ? ?? ?

1.已知 x,y 都是正数, (1)如果 xy=15,则 x+y 的最小值是________; (2)如果 x+y=15,则 xy 的最大值是________.
【解析】 (1)x+y≥2 xy=2 15,即 x+y 的最小值是 2 15,当且仅当 x=y = 15时取最小值.

?x+y? 15?2 225 ? ?2 ? (2)xy≤? =? 2 ? = 4 , ? ? ? ? 2 ?

225 即 xy 的最大值是 4 . 15 当且仅当 x=y= 2 时,xy 取最大值.
【答案】 (1)2 15 225 (2) 4

4 2.已知 x>0,则 2-x-x 的最大值是________.
【解析】 4 ∵x>0,∴x+x ≥4,

? 4? 4 ∴2-x-x =2-?x+ x ?≤2-4=-2, ? ?

4 当且仅当 x=x ,即 x=2 时取等号. 4 ∴2-x-x 的最大值为-2.

【答案】 -2

1 1 3.已知 a>0,b>0,a+b=1,则a+b的取值范围是________.
【解析】 ∵a+b=1,a>0,b>0,

【导学号:91730070】

1 1 a+b a+b b a ∴a+b= a + b =2+a+b ≥2+2 =4. 1 b a 当且仅当a=b,即 a=b=2时等号成立. ba a· b

【答案】 4

4.建造一个容积为 8 m3,深为 2 m 的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造 价每平方米分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低总造价为________元.

【解析】 设水池的造价为 y 元,长方形底的一边长为 x m, 4 由于底面积为 4 m ,所以另一边长为x m.
2

那么

? 4? ?2x+2·? y=120· 4+2· 80· x? ?

? 4? =480+320?x+x ? ? ?

≥480+320· 2

4 x· x =1 760(元).

当 x=2,即底为边长为 2 m 的正方形时,水池的造价最低,为 1 760 元.

【答案】 1 760

1 4 5.设 x,y>0,且 x+y=4,若不等式x +y ≥m 恒成立,求实数 m 的最大值.
?1 4? 1 4 1 【解】 x +y =4(x+y)?x +y ? ? ?

1? 4x y? 1? =4?5+ y +x?≥4? ?5+2 ? ? ?

9 4x y? ? 1 = (5+4)=4. y· x? ? 4

4x y 4 8 当且仅当 y =x,且 x+y=4,即 x=3,y=3时,上式取“=”.
?1 4? 9 ? ? 故 x +y min=4. ? ?

1 4 9 ∵x +y ≥m 恒成立,∴m≤4, 9 ∴mmax=4.

我还有这些不足: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

我的课下提升方案: (1) (2) ________________________________________________________ ________________________________________________________

学业分层测评(二十)

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