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二面角7


二面角
新疆奎屯市一中 王新敞

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? ? ? ? ? ? 引入 基本概念 图形 范例 练习 作业

基本概念:

1、半平面:一个平面内的一条 直线,把这个平面分成两部分, 其中的每一部分都叫做半平面。
D E C

A

F

B

A a B β

2、二面角:从一条直线出发的两个 半平面所组成的图形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。

α
α B

记为:二面角α-AB-β 或者二面角α-a-β
α

α
B

B
β

a A

β

A

a

a A

β

A a D β

O C α

B

3、二面角的平面角:以二面 角的棱上的任意一点为端点, 在两个面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所 成的角叫做二面角的平面角。

α C B A aO D β

α C

4、直二面角:平面 角是直角的二面角叫 做直二面角。
∠COD= 90?

B a O A

D β

例1.山坡的倾斜度(坡面与水平面所成的二 面角的度数)是60 ? ,山坡上有一条直道CD, 它和坡脚的水平线AB的夹角是 30 ? ,沿这条 山路上山,行走100米后升高多少米?

α D
A

D β
H

C

B

30 ?

C

G

60 ?

解:如图所示,DH垂直于过AB的水平平面,垂 足为H,线段DH的长度就是所求的高度。 在平面DBC内,过点D作DG⊥BC,垂足是G, 连接GH。∵DH⊥平面BCH,DG⊥BC∴GH⊥BC
因此,∠DGH就是坡面DGC和水平平面BCH 的二面角的平面角,∠DGH= 60 ?

D
H

C

DH=DGsin600 =CDsin300sin600 =100sin300sin600 ≈43.3(米) 答:沿直道前进100米, 升高约43.3米

G

例2:如图所示,DB、EC都垂直于正 ?ABC所在 的平面,且EC=BC=2BD,求平面ADE与平面 ABC所成二面角的大小。
解:延长ED交CB于F,连AF,则平面ABC∩平面ADE=AF,

E

EC ? ABC? BC ? BF ? ? BD ? ABC? ? ? ? BC ? AB ? BF CB ? AB ? AC ? ? EC ? 2 BD ?

D C A

B

∴∠CAF=900, 由 三 垂 线 定 理 AE⊥AF ∴∠EAC 为 二 面 角 EAF-C 的 平 面 角 。 在 直 角 三 角 形 ACE中,AC=EC, ∴∠EAC=450 F 因此平面 ABC与平面 ADE所成的角为450.

练习
1、一个平面垂直于二 面角的棱,它和二面角 的两个面的交线所成的 角就是二面角的平面角。 为什么? 答:因为二面角的棱垂 直于这个平面,所以它 就垂直于两条交线

K Q M

2、在300二面角的一个面内有一点,它到另 一个面的距离是10cm,求它到棱的距离。
解:如图所示,过点A作AH⊥β,垂足为H, 由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF,垂足为O,连OA, 则OA⊥EF,OA就是点A到棱EF的距离。 所 以 ∠ AOH 就 是二面角 αEF-β 的一个 平 面 角 , ∠ AOH=300 , OA=20cm.

α β
H

A F E
O

作业
? 第45-46页习题六: 第1、2、4题。

; http://www.zcaijing.com/chanlunjiepan/ 缠论解盘

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你们就可以住过去了!”耿直听娘这样说,也就不再说什么了,只对尚武说:“那就听娘的哇!爹娘屋里的火炕更宽大呢!咱们就住一夜 主屋了!”耿英说:“娘,你只给三弟和爹拿两床新被褥出来就行了!车上能带得了,俺们把南边用过的被褥都带回来了,回家前俺刚拆 洗过的!”停一停又说:“俺爹的也带回来了,只是没有舍得拆洗??”感觉已经失口,耿英突然打住话不再往下说了。郭氏和耿兰不明 就里,都愣住了。耿兰奇怪地问:“姐姐,拆洗被褥怎么还舍不得啊?”坐在一边的耿老爹、耿直和尚武却是再明白不过了:耿英是想保 留着爹爹的气息啊!见姐姐没有回答,急性子的耿兰继续瞪大一双好看的丹凤眼追问:“姐姐,你怎么不回答俺?拆洗被褥有什么舍不得 的啊?拆洗得干干净净的多好哇!”耿英只好搪塞着说:“好啦,姐姐过几天就拆洗。咱俩啊,拿盆儿端到小河边上,洗得干干净净的, 再缝上给咱爹铺,给咱爹盖!”耿兰还要追问:“可你还是没有回答俺??”郭氏突然感觉到有些大的不寻常了!她再联想到丈夫在堂屋 里给大家介绍尚武时说过的话,还有尚武刚才在门口和自己说的话,忍不住心里阵阵疼痛,就赶快制止耿兰,说:“兰儿行了,不要打破 沙锅问(纹)到底了!快和姐姐收拾完了,咱们把两边的被褥早点儿安置好了;倘若谁想躺一躺歇着,就方便了呢!”听娘这样说,耿兰 只好不再继续追问下去了。但看得出来,她是很不愿意就此搁置以后不再提起这事儿的。只见她一边把姐姐已经洗干净的茶杯、茶碗什么 的用抹布擦干了往橱柜里放,一边倔强地说:“那好啊,俺这会儿不问了。反正姐姐也不会再离开俺了,俺以后再问,还怕找不着她!” 耿老爹默默地坐在一旁,怜爱地看着这个模样儿虽然和耿英当年非常相似,但却特别倔强的小女儿,心里说:“爹会告诉你的,会把一切 都告诉你,也会把前些年你没有得到的父爱和爹没有早点儿教给你的所有知识,都补给你,都补教给你??”耿兰又烧好了水泡上新茶。 两边的被褥也都安置好了。大家喝喝茶,说说话,郭氏随便问了尚武父母和哥哥姐姐的一些情况后,耿直就拉着他的这个同龄兄弟,高高 兴兴地躺到西厢房的火炕上歇息聊天儿去了。日头快要落山的时候,郭氏的大侄儿郭栋儿挑着两个盖着笼布的大箩筐来了。进门就说: “姑姑,俺爹娘叫俺送来饭铺里老师傅们新烧的猪肉,新炸的丸子、山药、土豆和豆腐,还有新蒸的花卷和包子。”29第百十三回 耿憨粉 坊小插曲|(耿憨粉坊成倍扩,链条经营生气旺;两个通间大库房,焦炭家什满当当。)三家十多口子人在耿老爹妻弟家的饭铺里吃了团圆 面告辞出来之后,一行人慢慢出了大街向南走去。一路上不断地碰到一些上了年纪出来遛弯儿的人和他们打招呼。这些老爷


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