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第二十四章圆考点复习doc


圆小结与复习 考点呈现 考点 1:圆的半径 例 1 如图 1,⊙O 的弦 AB=6,M 是 AB 上任意一点,且 OM 最小值为 4,则⊙O 的半 径为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:作 OC ? AB ,由垂径定理,结合勾股定理即可求解. 连接 OC ,在 Rt?ACO中, AC ?
2 2 2

1 AB ? 3cm . 2
4 2 ? 32 ? 5 cm. 故选 A.

因为 AO ? AC ? OC ,所以 AO ?

考点 2:圆心角与圆周角 例2如图 2,∠AOB 是⊙O 的圆心角,∠AOB=80°,则弧 AB 所对圆周角 ∠ACB 的度数是( ) A.40° B.45° C.50° D.80° 解析:利用圆周角定理, ?AOB ? 80°,可得 ?ACB ? 40°,故选 A. 考点 3:垂径定理的应用 例 3 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图 3 所示,已知 AB=16m, 半径 OA=10m,则中间柱 CD 的高度为 m. C D O 图3 B

解析: 因为 OC 垂直弦 AB, 根据垂径定理可得 OC 平分 AB, AD=BD, 即 要求 CD 的长,只要求得 OD 的长即可解决问题. A 在 Rt△ADO 中,由垂径定理得 AD ?

1 AB ? 8m .由勾股定理得, 2

OD ?

AO ? AD ? 10 ? 8 ? 36 ? 6 .
2 2 2 2

所以 CD ? 10 ? 6 ? 4 (m). 考点 4:弦与弦心距 例 4 如图 4,两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm,弦 AB 与小圆相切于点 C,则 AB 的长为( A.4cm ) B.5cm · O A C 图4 B

C.6cm D.8cm 解析:作 OC ? AB 于 C,连接 OA,在 Rt△OAC 中,由 勾股定理,得 AC ?

5 2 ? 3 2 ? 4, AB ? 2 AC ? 8cm .故选 D.

考点 5:直线和圆的位置关系 例 5 如图 5,在 Rt △ ABC 中,∠ABC=90° ,以 AB 上的点 O 为圆心,OB 的长为半径 的圆与 AB 交于点 E,与 AC 切于点 D. 求证: (1)BC=CD; (2)∠ADE=∠ABD. 证明: (1)∵∠ABC=90° , ∴OB⊥BC.
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∵OB 是⊙O 的半径, ∴CB 为⊙O 的切线. 又 CD 切⊙O 于点 D, ∴BC=CD. (2)∵BE 是⊙O 的直径, ∴∠BDE=90° . ∴∠ADE+∠CDB =90° . 又∠ABC=90° , ∴∠ABD+∠CBD=90° . 由(1)得 BC=CD. ∴∠CDB =∠CBD. ∴∠ADE=∠ABD. 考点 6:圆和圆的位置关系 例 6 如图 6,是一张卡通图,图中两圆的位置关系是( A.相交 B.外离 C.内切 D.内含 )

解析:根据圆和圆的位置有五种关系可知,本图圆与圆的位置关系是 内含.选 D. 考点 7:与圆有关的计算 例 7 如图 7, PA 、 PB 是半径为 1 的 ⊙O 的两条切线,点 A 、 B 分 别为切点, ?APB ? 60° OP与弦AB交于点C,与⊙O交于点D . , (1)在不添加任何辅助线的情况下,写出图中所有的全等三角形. (2)求阴影部分的面积(结果保留 π ) . 解析: 观察图形, 由圆的对称性可知 S ?ACO ? S ?BCO .图中阴影部分 的面积等于扇形面积. (1) △ACO ≌△BCO, APC ≌△BPC, PAO ≌△PBO . △ △ (2)? PA 、 PB 为 ⊙O 的切线, P D 图6 A C O

B

图7

? PO 平分 ?APB,PA ? PB,?PAO ? 90°. ? PO ? AB .

?由圆的对称性,知 S阴影 ? S扇形AOD

.

1 1 ?在 Rt△PAO 中, ?APO ? ?APB ? ? 60° ? 30? 2 2 ,

??AOP ? 90°? ?APO ? 90°? 30? ? 60? .
? S阴影 ? S扇形AOD 60 ? π ?12 π ? ? 360 6.

考点 8:扇形与阴影部分的面积
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例 8 如图 8,圆心角都是 90? 的扇形 OAB 与扇形 OCD 叠放在一起,连接 AC,BD. (1)求证:AC=BD. (2)若图中阴影部分的面积是 ? cm 2 ,OA=2cm,求 OC 的长. 解析:图中阴影部分可看作两扇形面积之差, 先证明△AOC 与△ BOD 全等得 AC=BD,然后利用扇形面积求得阴影部分面积. (1)证明略.
2 2 2 2 (2)根据题意,得 S阴影 ? 90?OA ? 90?OC ? 90? (OA ? OC ) .

3 4

图8

360

360

360

2 2 所以 3 ? ? 90? (2 ? OC )

. 解得 OC=1(cm) . 考点 9:圆柱、圆锥的面积 例 9 如图 9,一把遮阳伞撑开时母线的长是 2 米,底面半径为 1 米,则做这把遮阳伞需 用布料的面积是( ) A. 4π 平方米 B. 2π 平方米 2米 1 C. π 平方米 D. π 平方米 解析:圆锥的底面圆周长为 2? 米,母线长为 2 米, 所以圆锥的侧面展开图的扇形的弧长为 2? 米. 故它的侧面积为:

4

360

2

1米

1 ? 2 ? 2? ? 2? (平方米).选 B. 2

考点 10:正多边形和圆 例 10 如图 10,有一个圆 O 和两个正六边形 T1 , T2 . T1 的 6 个顶 点都在圆周上, T2 的 6 条边都和圆 O 相切(我们称 T1 , T2 分别为 圆 O 的内接正六边形和外切正六边形) .设 T1 , T2 的边长分别为

图9

a , b ,圆 O 的半径为 r ,求 r : a 及 r : b 的值.
解析:连接圆心和正六边形的顶点,可得等边三角形. 连接圆心 O 和 T 1 的 6 个顶点可得 6 个全等的正三角形,所以 r∶a=1∶1. 连接圆心 O 和 T 2 相邻的两个顶点, 得以圆 O 半径为高的正三角形, 所以 r∶b= 3 ∶2. 误区点拨 例 1“平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”,这句话正确吗?为什么? 错解:正确 剖析:解答此题的错误是对圆的相关概念理解时产生的思维误区,这里的弦如果是直径, 结论就不一定成立,因为一个圆的任意两条直径总是相互平分的,但它们未必垂直,垂径定 理的这个推论,一定要强调“弦不是直径”这一条件. 正解:不正确
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图 10

例 2 ⊙O 的半径 r ? 5cm ,圆心 O 到直线 l 的距离 d ? OD ? 3cm .直线 l 上有 P、Q、R 三点,且有 PD=4cm,QD>4cm,RD<4cm.P、Q、R 三点对于⊙O 的位置各是怎样的? 错解:点 P 在⊙O 上,点 Q 在⊙O 外,点 R 在⊙O 内. 剖析:以上判断的根据错误,应该计算 P、Q、R 各点到圆心的距离,与半径进行比较, 然后作出判断. 正解: OP ?

OD 2 ? PD 2 ? 9 ? 16 ? 5cm ,

? OQ ? OD 2 ? QD 2 ? 32 ? QD 2 ? ? ? OQ ? 5 , ? QD ? 4 ? ? OR ? OD 2 ? RD 2 ? 32 ? RD 2 ? ? ? OR ? 5 . ? RD ? 4 ?
∴点 P 在⊙O 上,点 Q 在⊙O 外,点 R 在⊙O 内. 例 3 已知⊙O 的半径为 13cm,弦 AB∥CD,AB=10cm,CD=24cm,则 AB 和 CD 之间 的距离是 . 错解:17 剖析:错解忽视了圆心在两平行弦同侧的情形. 正解: 17cm 或 7cm. 例 4 已知相交两圆的半径分别为 5cm 和 4cm ,公共弦长为 6cm ,则这两个圆的圆心距 是________cm. 错解: 4 ? 7 剖析:错解忽视了圆心在公共弦同侧的情形. 正解: 4 ? 7 或 4 ? 7 跟踪训练 1.如图 1,⊙O 的半径为 5,弦 AB=8,M 是弦 AB 上的动点,则 OM 不可能为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图 2,⊙ O 是 ?ABC 的外接圆, AB 是直径,若 ?BOC ? 80? ,20 则 ?A 等于( ) A.60? B.50? C.40? D.30? 3.如图 3,圆弧形桥拱的跨度 AB=12 米,拱高 CD=4 米,则拱桥的半径为( ) A.6.5 米 B.9 米 C.13 米 D.15 米

图3 4.如图 4,⊙O 的半径为 5,P 为圆内一点,P 点到圆心 O 的距离为 4,则过 P 点的弦长的最 小值是_____________.
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5.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm,圆心距为 6cm,则这两圆的位置关系是( A.内切 B.相交 C.外切 D.外离



6.如图 5,⊙ O 的内接多边形周长为 3 ,⊙ O 的外切多边形周长为 3.4,则下列各数中与此 圆的周长最接近的是( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 17

O

A?
30°

C
30°

图7 A

图5

C?

B 图6

7.如图 6,将 △ABC 绕点 B 逆时针旋转到 △A?BC? ,使 A、B、C? 在同一直线上,若 cm2. ?BCA ? 90° , ?BAC ? 30° AB ? 4cm ,则阴影部分的面积为 , 8.如图 7,圆锥的截面是一个等边三角形,边长为 2,则这外圆锥的侧面积为______(结果 保留π ). 9.如图 8,直线 l 切⊙O 于点 A,点 P 为直线 l 上一点,直线 PO 交⊙O 于点 C、B,点 D 在 线段 AP 上,连接 DB,且 AD=DB. (1)求证:DB 为⊙O 的切线. (2)若 AD=1,PB=BO,求弦 AC 的长.

图8

跟踪训练答案 1.A 2.C 3. A 4. 6 5.C 6.C 7.4π 8.2π 9.(1)证明: 连接 OD . ∵ PA 为⊙O 切线 , ∴ ∠OAD = 90° . ∵ OA=OB,DA=DB,DO=DO, ∴ΔOAD≌ΔOBD . ∴ ∠OBD=∠OAD = 90° , ∴PA 为⊙O 的切线. (2)解:在 RtΔOAP 中,PB=OB=OA , 所以 ∠OPA=30° . ∴ ∠POA=60° =2∠C. ∴PD=2BD=2DA=2 . ∴ ∠OPA=∠C=30° . ∴ AC=AP=3
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