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李敏侠教学论文《对高中新教材解析几何的教学体会》


[教学论文?中学数学]

对高中新教材解析几何的教学体会



者:李敏侠

所在学校:临潼区徐杨中学(徐杨街办) 联系方式:13700278062 邮 编:710603

对高中新教材解析几何的教学体会
临潼区徐杨中学 李敏侠 内容摘要:解析几何把代数和几何结合起来,把数学造成一个双面的工具。一方面,几何 概念可以用代数表示,几何的目的通过代数来达到。反过来,另一方面,给代数概念以几何解 释,可以直观地掌握这些概念的意义。也就是说,解析几何是用数形结合的思想将抽象的数学 语言与直观的图形结合起来。通过解析几何的学习使我对解析几何的教学有了一点启示。 关键词:解析几何 数形结合 思想 启示 从历史角度看,解析几何的创立,引入了一系列新的数学概念,特别是将变量引入数 学,使数学进入了一个新的发展时期,这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中 起了推动作用。在现代数学教学中,解析几何是学习高等数学的基础, 另一部分大学数 学基础课的内容。 一、重视“数形结合”的思想 数形结合的思想是解决解析几何问题的一种重要的数学思想方法,其实质是将抽象的数学 语言与直观的图形结合起来,即将代数问题几何化,运用图形的几何性质来解决;或将几何问 题代数化,运用代数特征进行运算解决,其方法是以形助数,以数助形,数形渗透,相互作用. 其目的是将复杂的问题简单化,隐蔽的问题明朗化,抽象的问题直观化,以便迅速、简捷、合 理地解决问题. 例 1 如图,已知 A (4 , 0) 、 B (0 , 4) ,从点 P (2 , 0) 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 O B 上, 最后经直线 O B 反射后又回到 P 点,则光线所经过的最小路程是 A.2 10 B.6 C.3 3 D.2 5

[解析]设点 P 关于直线 AB 的对称点为 D ( 4 , 2 ) , 关于 y 轴 的对称、 C (? 2 , 0 ) ,则光线所经过的路程 PMN 的长
? PM ? MN ? NP ? DM ? MN ? NC ? CD ? 2 10

【归纳小结】本例是运用数形结合解题的典范,关键是 N C 灵活利用平面几何知识与对称的性质实现转化,一般 地,在已知直线上求一点到两个定点的距离之和的最小 值,需利用对称将两条折线由同侧化为异侧,在已知直 线上求一点到两个定点的距离之差的最大值,需利用对 称,将两条折线由异侧化为同侧,从而实现转化。 关键点 1:怎样将几何问题转化为代数问题?在教学中尽量让学生了解几何对象的本质特征, 能够用代数形式将几何问题准确表示出来。有意识的对常见几何对象根据几何特征进行代数化 训练。 关键点 2:提高“代数结论”向“几何结论”转化的意识和能力。这样也就是通过代数问题的解 决使几何题目得以解决。在平时的教学中将前两个关键点融会贯通,才能使学生理解解析几何 的思维方法。 二、用数学思想方法指导平时的教学 在平时教学中指导学生在解决问题时运用数学思维方法,努力提高他们运用数学思维方法 的意识。解题时注意分析题目,在分析时注意数学思维方法的运用。解题过程中要注意提炼数 学思维方法解决问题的思维过程。解题思想的探求即是运用数学思维方法解决问题的过程。 例 2 设点 P ? x 0 , y 0 ? 在直线 x ? m ? y ? ? m , 0 ? m ? 1? 上,过点 P 作双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的两条
2

M

D

切线 PA、 PB ,切点为 A、 B ,定点 M (

1 m

,0).

(1)过点 A 作直线 x ? y ? 0 的垂线,垂足为 N ,试求△ AM N 的重心 G 所在的曲线方程; (2)求证: A、 M 、 B 三点共线. 解: (1)设 A ( x A , y A ) , N ( x N , x N ) ,∵AN⊥直线 y ? x , 则
yA ? xN xA ? xN ? ?1

∴ xN ? 则

xA ? yA 2

,∴ N (

xA ? yA 2

,

xA ? yA 2

),

设 G ( x, y ) ,

x ? yA 1 ? ? xA ? A ? 1 1 1 m 2 ? ? xA ? yA ?x ? ? 3 3m 2 6 ,解得 ? xA ? yA ? ? yA 1 1 2 ? y? ? xA ? yA ? 3 6 2 ?
1 2 9 3 3 ? 9( x ? ) 2 ? x A ? 4 x ? 4 y ? 4m 9y 3m ? ? 1, ,代入双曲线方程 x 2 ? y 2 ? 1 ,并整理得 ? 3 9 1 2 2 ?yA ? ? x ? y ? 4 4 4m ?

(x ?

1

即 G 点所在曲线方程为

3m 2 9

)

2

?

y

2

2 9

?1

(2)设 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,PA 斜率为 k,则切线 PA 的方程为: y ? y 1 ? k ( x ? x1 ) 由?
?
2

? y ? y1 ? k ( x ? x1 ) x ? y ?1
2 2

,消去 y 并整理得:
2

(1 ? k ) x ? 2 k ( y 1 ? kx1 ) x ? ( y 1 ? kx1 ) ? 1 ? 0 ,因为直线与双曲线相切,从而
2

△= 4 k 2 ( y 1 ? kx1 ) 2 ? 4 (1 ? k 2 )( y 1 ? kx1 ) 2 ? 4 (1 ? k 2 ) = 0,及 x1 ? y 1 ? 1 ,解得 k ?
2 2

x1 y1

因此 PA 的方程为: y 1 y ? x1 x ? 1

同理 PB 的方程为: y 2 y ? x 2 x ? 1
y2 y0 ? x2 m ? 1

又 P ( m , y 0 ) 在 PA、PB 上,∴ y 1 y 0 ? x1 m ? 1

即点 A ( x1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 都在直线 y 0 y ? mx ? 1 上, 又M (
1 m , 0 ) 也在 y 0 y ? mx ? 1 上,∴A、M、B 三点共线

【归纳小结】本题重点考查直线与直线、直线与双曲线之间的位置关系。数形结合、熟练地进
3

行坐标运算、设而不求的消元思想、用代数方法解决几何问题是解析几何的主题,复习时要注 重培养学生的综合运算能力。 例 3 如图,为了绿化城市,拟在矩形区域 ABCD 内建一个矩形草坪,另外△AEF 内部有一文物保 护区域不能占用, 经过测量 AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计才能使草坪面积最 大? y [解析]建立如图示的坐标系,则 E(30,0) C D R F(0,20) ,那么线段 EF 的方程就是
x 30 ? y 20 ? 1(0 ? x ? 30) ,在线段 EF 上取点 P(m,n)

F
nA

P

作 PQ⊥BC 于 Q,作 PR⊥CD 于 R,设矩形 PQCR 的面积 是 S,则 S=|PQ||·|PR|=(100-m)(80-n),又因为 故 S ? (100 ? m )(80 ? 20 ?
2 3 m) ? ? 2 3 ( m ? 5) ?
2

Q

m

30 18050 3

?

m x E ? 1(0 ? x ? 30) ,所以, n ? 20(1 ? ), 20 30

(0 ? m ? 30) ,于是,当 m=5 时 S 有最大值,这时

EP PF

?

30 ? 5 5

?

5 1

.

【归纳小结】对于有些几何题目在没有坐标系时可以通过建立适当的坐标系,再根据其图形的 几何性质来用方程来表示曲线,通过研究方程来研究曲线。 三、一点启示 解析几何的重要性在于他的方法──建立坐标系,用方程来表示曲线,通过研究方程来 研究曲线。 苏联著名几何学家格列诺夫在他所编的《解析几何》前言中说: “解析几何没有严格确定 的内容,对它来说,决定性的因素,不是研究对象,而是方法。“这个方法的实质,在于用某 ” 种标准的方式把方程(方程组)同几何对象(即图形)相对应,使得图形的几何关系在其方程 的性质中表现出来。 ” 由于解析几何方法解决各类问题的普遍性,它已成为几何研究中的一个基本方法。不仅如 此,它还被广泛应用于其他精确的自然科学领域,如力学和物理学之中。 因此我们学习解析几何,主要是掌握它的基本思想、基本方法,而不仅仅在于记住它的某 些具体结论。解析几何的基本方法,包括两个方面:一是由图形到方程,二是从方程到图形, 也就是选择坐标系,建立图形方程。通过对方程的研究得到图形的性质,了解图形的形状。 解析几何离不开代数,但又要随时把各种代数表示的几何涵义放在心中。学习中要特别注 意,培养自己的几何直观能力。这种能力对于数学的学习是极为重要的。 参考文献: [1]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003. ? [2]钱珮玲,邵光华编著.数学思想方法与中学数学[M].北京:北京师范大学出版社,1999. [3]人民教育出版社中学数学室 几何[M] 人民教育出版社 2001.3 [4]朱慕菊主编《走进新课程——与课程实施者的对话》 ,北京师范大学出版社,2002.6

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