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平面向量知识点+例题+练习+答案


五、平面向量 1.向量的概念 ① 向量 既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模(长度) ,记作| AB | 即向量的大
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? 小,记作| a |。]向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。

向量表示方法: (1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如 AB ,注意起点在前,终 点在后; (2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如 a ,b , c 等; (3)坐标表示法: 在平面内建立直角坐标系,以与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 为基底,则平面内 的任一向量 a 可表示为 a ? xi ? y j ? ? x, y ? ,称 ? x, y ? 为向量 a 的坐标, a = ? x, y ? 叫做向量 a 的 坐标表示。如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 向量和数量的区别: 向量常用有向线段来表示, 注意不能说向量就是有向线段, 为什么? (向量可以平移) 。如已知 A(1,2) ,B(4,2) ,则把向量 AB 按向量 a =(-1,3)平移后得到 的向量是_____(答: (3,0) )

? ? ? ② 零向量[ 长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行 零向量 a =
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? ? 0 ? | a |=0。由于 0 的方向是任意的,且规定 0 平行于任何向量,故在有 关向量平行(共

线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。 (注意与 0 的区别)

? ? ③ 单位向量 模为 1 个单位长度的向量,向量 a0 为单位向量 ? | a0 |=1。(与 AB 共线
的单位向量是 ? AB );
| AB |

④ 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量 。任意一组 平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相 ? ? 反的向量,称为平行向量,记作 a ∥b ,规定零向量和任何向量平行。由于向量可以进行任意 的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。 提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条 直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条

AC 共线; 直线重合;③平行向量无传递性! (因为有 0 );④三点 A、B、C 共线 ? AB、
数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”
1

与几何中的“平行”是不一样的。

? ? ⑤ 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合,记为 a ? b 。
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? x1 ? x 2 大小相等,方向相同 ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y 2 ) ? ? 。 ? y1 ? y 2

⑥相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 a 的相反向量是- a 。 如下列命题: (1)若 a ? b ,则 a ? b 。 (2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,
B C D 终点相同。 (3) 若A 则A B ? D C , B C D 是平行四边形。 (4) 若A

是平行四边形, 则 AB ? DC 。

b ? c ,则 a ? c 。 (5)若 a ?b , (6)若 a // b, b// c ,则 a // c 。其中正确的是_______(答: (4) (5) )

2.向量的运算 (1)向量加法 求 两 个 向 量 和 的 运 算 叫 做 向 量 的 加 法 。 设 AB ? a, BC ? b , 则

? a + b = AB ? BC = AC 。[

规定: ? ? ? ? ? (1) 0 ? a ? a ? 0 ? a ; (2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
C a a+b b B D b a b 三角形法则 A a 平行四边形法则 a+b C

B

(1)

A

①用平行四边形法则时,两个已知向量 是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。 ②三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点 指向最后一个向量的终点的有 向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。 当两个向量的起点公共时, 用平行四边形法则; 当两向量是首尾连接时, 用三角形法则。 向量加法的三角形法则可推 广至多个向量相加: AB ? BC ? CD ?
2

? PQ ? QR ? AR ,

但这时必须“首尾相连”。 (2)向量的减法
? ? ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。
? ? ? 记作 ? a , 零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有: ( i ) ? (?a ) = a ; (ii)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a +( ? a )=( ? a )+ a = 0 ;(iii)若 a 、 b 是互为相反 向量,则 a = ? b , b = ? a , a + b = 0 。
② 向量减法

? ? ? ? ? ? ? ? 向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,记作: a ? b ? a ? (?b ) 求两个向
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量差的运算,叫做向量的减法。 ? ? ? ? ? ? ③ 作图法: a ? b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量( a 、 b 有共同起点) 。

如 (1) 化简: ① AB ? BC ? CD ? ___; ② AB ? AD ? DC ? ____; ③ ( AB ? CD) ? ( AC ? BD) ? _____ (答:① AD ;② CB ;③ 0 ) ; (2) 若正方形 ABCD 的边长为 1, 则 | a ? b ? c | =_____ (答: ; 2 2) AB ? a, BC ? b, AC ? c , (3)实数与向量的积 ? ? ① 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a ,它的长度与方向规定如下: (Ⅰ ) ?a ? ? ? a ;
? ? ? ? (Ⅱ )当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当 ? ? ? ? 0 时, ?a ? 0 ,方向是任意的。
? ?

② 数乘向量满足交换律、结合律与分配律。 3.两个向量共线定理: ? ? ? ? 向量 b 与非零向量 a 共线 ? 有且只有一个实数 ? ,使得 b = ?a 。 4.平面向量的基本定理

? ? ? 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只有
3

? ? ? ? ? 一对实数 ?1 , ? 2 使: a ? ?1e1 ? ?2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的一
组基底。 如(1)若 a ? (1,1), b ? (1, ?1), c ? (?1,2) ,则 c ? ______(答: a ? b ) ; (2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是(答:B) ; A. e1 ? (0,0), e2 ? (1, ?2) C. e1 ? (3,5), e2 ? (6,10) B. e1 ? (?1,2), e2 ? (5,7) D. e1 ? (2, ?3), e2 ? ( , ? )
1 2 3 4 1 2 3 2

(3)已知 AD, BE 分别是 ?ABC 的边 BC , AC 上的中线,且 AD ? a, BE ? b ,则 BC 可用向量 a, b 表 示为_____(答: a ? b ) ; (4) 已知 ?ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且 CD ? 2 DB ,CD ? r AB ? s AC , 则 r ? s 的值是_0__ 5.平面向量的坐标表示 (1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

2 3

4 3

i , j 作为基底 由平面向 量的基本定理知,该平面内的任一向量 a 可表示成 a ? xi ? yj ,由于 a
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与数对(x,y)是一一对应 的,因此把(x,y)叫做向量 a 的坐标,记作 a =(x,y),其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标,y 叫做在 y 轴上的坐标 。 规定: ① 相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量; ② 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其 相对位 置 有关系。 (2)平面向量的坐标运算: ① 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a ? b ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ; ② 若 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ? ,则 AB ? ? x2 ? x1 , y2 ? y1 ? ; ③ 若 a =(x,y),则 ? a =( ? x, ? y); ④ 若 a ? ? x1 , y1 ? , b ? ? x2 , y2 ? ,则 a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 。 6.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角 已知非零向量 a 与 a,作 OA = a , OB = b ,则∠ AOA=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角;
4

说明:①当 θ=0时, a 与 b 同向; ②当 θ=π 时, a 与 b 反向; ③当 θ=

? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥b ; 2

④注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

C

(2)数量积的概念 已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a · ︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数 b =︱ a ︱· 量积(或内积) 。规定 0 ? a ? 0 ; 向量的投影:︱ b ︱cos ? =

a ?b ∈ R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影; |a|

b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。 (3)数量积的几何意义: a ·
(4 )向量数量积的性质 ① 向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 。 ② 乘法公式成立

?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a ? b ? a ? a ? b ? ? a ? 2a ? b ? b ? a
2 2 2 2 2

2

?b ; ? 2a ? b ? b ;[来源:学科网 ZXXK]
2

2

2

③ 平面向量数量积的运算律 交换律成立: a ? b ? b ? a ;[来源:学。科。网]

? ? ? ? 分配律成立: ? a ? b ? ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? ? a ? b ? 。[来源:学科网]
对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? R ? ; 提醒: (1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项, 两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以
5

一个向量,即两边不能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约); (2)向量的“乘法”不 满足结合律,即 a(b ? c) ? (a ? b)c ,为什么? ④ 向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ??

a ?b a?b

=

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
2 2 2 2



当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ=00,当且仅当 a 与 b 反方向时 θ=1800,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。[来源:学,科,网 Z,X,X,K] (5)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a · b = x1 x2 ? y1 y2 。 (6)向量的模:| a |? x 2 ? y 2 , a ?| a |2 ? x 2 ? y 2 。如已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 , 那么 | a ? 3b | =_____(答: 13 ) ; (7)两个向量垂直:如果 a 与 b 的夹角为 900 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥b 。两个非零向量垂直
? ? ? ? 的充要条件: a ⊥b ? a · b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,
2

如(1)已知 OA ? (?1,2), OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ?

(答:

3 ) ; 2

(2)以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB, ?B ? 90? ,则点 B 的坐标是 ________ (答:(1,3)或(3,-1) ) ; (3)已知 n ? (a, b), 向量 n ? m ,且 n ? m ,则 m 的坐标是________ (答: (b, ?a)或(?b, a) ) (8)两个向量平行(共线)的充要条件: a // b ? a ? ? b ? (a ? b)2 ? (| a || b |)2 ? x1 y2 ? y1 x2 =0。 如(1)若向量 a ? ( x,1), b ? (4, x) ,当 x =_____时 a 与 b 共线且方向相同(答:2) ; (2)已知 a ? (1,1), b ? (4, x) , u ? a ? 2b , v ? 2a ? b ,且 u // v ,则 x=______(答:4) ; (3)设 PA ? (k ,12), PB ? (4,5), PC ? (10, k ) ,则 k=_____时,A,B,C 共线(答:-2 或 11) (9)平面内两点间的距离公式 设 a ? ( x, y) ,则 | a |2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? x 2 ? y 2 。 如 果 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) , 那 么
| a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)。

7.常见题型 题型 1:平面向量的概念 例 1.给出下列命题:
6

① 若| a |=| b |,则 a = b ; ② 若 A,B,C,D 是不共线的四点,则 AB ? DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件; ③ 若 a = b ,b = c ,则 a = c ;④a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ;⑤ 若 a // b ,b // c ,则 a // c ; 其中正确的序号是 。

解析:① 不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;[来源:Zxxk.Com] ② 正确;∵ AB ? DC ,∴ | AB |?| DC | 且 AB // DC , 又 A, B, C, D 是不共线的四点, ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形; 反之, 若四边形 ABCD 为平行四边形,则, AB // DC 且 | AB |?| DC | ,因此, AB ? DC 。 ③ 正确;∵ a = b ,∴ a , b 的长度相等且方向相同; 又 b = c ,∴ b , c 的长度相等且方向相同,∴ a , c 的长度相等且方向相同,故 a = c 。 ④ 不正确;当 a // b 且方向相反时,即使| a |=| b |,也不能得到 a = b ,故| a |=| b |且 a // b 不是
a = b 的充要条件,而是必要不充分条件;

⑤ 不正确;考虑 b = 0 这种特殊情况; 综上所述,正确命题的序号是② ③ 。 题型 2:平面向量的运算法则 例 2. (1)如图所示,已知正六边形 ABCDEF,O 是它的中心,若 BA = a , BC = b ,试用 a ,

b 将向量 OE , BF , BD , FD 表示出来。
a B b

A

F

O

E

C

D

(2) (06 上海理,13)如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( A. AB = DC
?? ?
?? ?


?

B. AD + AB = AC

?? ?

?? ?

?? ?

C. AB - AD = BD

?? ?

?? ?

?? ?

D. AD + CB = 0

?? ?

?? ?

(3) (06 广东,4) 如图 1 所示,D 是△ ABC 的边 AB 上的中点,则 向量 CD ? ( )
7

A. ? BC ?

1 BA 2

B. ? BC ?

1 BA 2

C. BC ?

1 BA 2

D. BC ?

1 BA 2

(1)解析:根 据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则,用向量 a , b 来表示其他 向量, 只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可。 因为六边形 ABCDEF 是正六边形, 所以它的中心 O 及顶点 A,B,C 四点构成平行四边形 ABCO,所以 BA ? BC ? BA ? AO ? BO , 由于 A, B, O, F 四点也构成平行四边形 ABOF, 所以 BF = BO BO = a + b ,OE = BO = a + b , + OF = BO + BA = a + b + a =2 a + b , 同样在平行四边形 BCDO 中,BD = BC ? CD = BC ? BO = b +( a + b )= a +2 b , FD = BC ? BA = b - a 。 点评:其实在以 A,B,C,D,E,F 及 O 七点中,任两点为起点和终点,均可用 a , b 表示,且可用规定其中任两个向量为 a ,b ,另外任取两点为起点和终点,也可用 a ,b 表示。 (2)C. (3) CD ? CB ? BD ? ? BC ?
1 BA ,故选 A。 2

例 3.设 A、B、C、D、O 是平 面上的任意五点,试化简: ①AB ? BC ? CD ,②DB ? AC ? BD ,③?OA ? OC ? OB ? CO 。[来源:学科网 ZXXK] 解析:① 原式= ( AB ? BC) ? CD ? AC ? CD ? AD ; ② 原式= (DB ? BD) ? AC ? 0 ? AC ? AC ; ③ 原式= (OB ? OA) ? (?OC ? CO) ? AB ? (OC ? CO) ? AB ? 0 ? AB 。 题型 3:平面向量的坐标 及运算 例 4.已知 ?ABC 中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,1),BC 边上的高为 AD,求 AD 。 解析:设 D(x,y),则 AD ? ? x ? 2, y ? 1? , BD ? ? x ? 3, y ? 2 ? , BC ? ? ?b, ?3?

? ? 6?x ? 2? ? 3? y ? 1? ? 0 ? x ? 1 ∵AD ? BC, BD ? BC ? ? 得? 所以 AD ? ? ?1, 2? 。 ?? 3?x ? 3? ? 6? y ? 2? ? 0 ? y ? 1
例 5.已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的坐 标。 解析:设 P( x, y) ,则 OP ? ( x, y), AP ? ( x ? 4, y) 因为 P 是 AC 与 OB 的交点,所以 P 在直线 AC 上,也在直线 OB 上。
8

即得 OP // OB, AP // AC ,由点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) 得, AC ? (?2,6), OB ? (4, 4) 。

?6( x ? 4) ? 2 y ? 0 ?x ? 3 得方程组 ? ,解之得 ? 。故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 。 ?4 x ? 4 y ? 0 ?y ? 3
题型 4:平面向量的性质 例 6.平面内给定三个向量 a ? ? 3, 2 ? , b ? ? ?1, 2 ? , c ? ? 4,1? ,回答下列问题: (1)求满足 a ? mb ? nc 的实数 m,n; (2)若 ? a ? kc ? // 2b ? a ,求实数 k; (3)若 d 满足 d ? c // a ? b ,且 d ? c ? 5 ,求 d 。

?

?

?

? ?

?

5 ? ?m ? 9 ?? m ? 4n ? 3 解析: (1)由题意得 ?3,2? ? m?? 1,2? ? n?4,1?,所以 ? ,得 ? 。 8 ? 2m ? n ? 2 ?n ? 9 ?
(2) a ? kc ? ? 3 ? 4k , 2 ? k ? , 2b ? a ? ? ?5, 2 ? ,
? 2 ? ?3 ? 4k ? ? ?? 5??2 ? k ? ? 0,? k ? ? 16 ; 13

(3) d ? c ? ? x ? 4, y ? 1? , a ? b ? ? 2, 4? [来源:学.科.网]

?4?x ? 4? ? 2? y ? 1? ? 0 ? x?3 ?x ? 5 由题意得 ? ,得 ? 或? 。 2 2 ??x ? 4? ? ? y ? 1? ? 5 ? y ? ?1 ? y ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 例 7.已知 a ? (1,0),b ? (2,1).(1)求 | a ? 3b | ;(2)当 k 为何实数时, k a ? b 与 a ? 3b 平行,
平行时它们是同向还是反向?

? ? 解析: (1)因为 a ? (1,0),b ? (2,1). 所以 a ? 3b ? (7,3) 则 | a ? 3b |? 72 ? 32 ? 58
? ? ? ? ? ? ? ? (2) k a ? b ? (k ? 2, ?1) , a ? 3b ? (7,3) 因为 k a ? b 与 a ? 3b 平行,所以 3(k ? 2) ? 7 ? 0 ? ? 1 7 ? ? ? ? 即得 k ? ? 。此 时 k a ? b ? (k ? 2, ?1) ? (? , ?1) , a ? 3b ? (7,3) ,则 a ? 3b ? ?3(ka ? b) ,即 3 3 ? ? 此时向量 a ? 3b 与 ka ? b 方向相反。

点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的 共线的判定以及平面向量模的计算方法。 题型 5:共线向量定理及平面向量基本定理 例 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) ,B(-1,3) ,若点 C 满足
9

OC ? ?OA? ? OB ,其中 α、β∈R,且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为(
A.3x+2y-11=0 C.2x-y=0 B. (x-1)2+(y-2)2=5 D.x+2y-5=0



解法一:设 C ?x, y ? ,则 OC ? ? x, y ? , OA ? ? 3,1? , OB ? ? ?1,3? 。 由 OC ? ? OA ? ? OB 得 ?x, y ? ? ?3? ,? ? ? ?? ? ,3? ? ? ?3? ? ? , ? ? 3? ? , [ 来 源 : 学 + 科 + 网 Z+X+X+K]
? x ? 3? ? ? ? x ? 4? ? 1 ? 于是 ? y ? ? ? 3? ,先消去 ? ,由 ? ? 1 ? ? 得 ? 。 ? y ? 3 ? 2? ? ? ? ? ?1 ?

再消去 ? 得 x ? 2 y ? 5 ? 0 ,所以选取 D。 解法二:由平面向量共线定理, 当 OC ? ? OA ? ? OB , ? ? ? ? 1 时,A、B、C 共线。 因此,点 C 的轨迹为直线 AB,由两点式直线方程得 x ? 2 y ? 5 ? 0 即选 D。 点评:熟练运用向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向 量平行的坐标表示;运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。 题型 6:数量积的概念 例 9.判断下列各命题正确与否: (1) 0 ? a ? 0 ; (2) 0 ? a ? 0 ; (3)若 a ? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;

(4)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立; (6)对任意向量 a ,有 a 2 ? a 。 解析: (1)错; (2)对; (3)错; (4)错; (5)错; (6)对。[来源:学|科|网 Z|X|X|K] 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚 0 ? a 为零 向量,而 0 ? a 为零。 例 10. (1)若 a 、 b 、 c 为任意向量,m∈ R,则下列等式不一定 成立的是( ... A. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) C.m( a ? b )=m a +m b B. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c D. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)
10
2



(2)设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则[来源:学,科,网 Z,X,X,K] ① (a· b ) c -( c · a )b =0 ② | a |-| b |<| a - b | ③ (b · c ) a -( c · a ) b 不与 c 垂直 )[来源:学*科*网 Z*X*X*K] D.② ④

④ (3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a |2-4| b |2 中,是真命题的有( A.① ② B.② ③ C.③ ④

解析: (1)答案:D;因为 (a ? b) ? c ?| a | ? | b | cos? ? c ,而 a ? (b ? c) ?| b | ? | c | cos? ? a ;而 c 方向 与 a 方向不一定同向。 (2)答案:D① 平面向量的数量积不满足结合律。故① 假;② 由向量的减法运算可知| a |、 | b |、| a - b |恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故② 真;③ 因 为[ (b · c) 假;④ (3 a +2 b ) (3 a - a -( c · a ) b ]· c =( b · c )a · c -( c · a )b · c =0,所以垂直.故③ 2 b )=9· 真。 a· a -4 b · b =9| a |2-4| b |2 成立。故④ 点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。 题型 7:向量的夹角 例 11. (1)已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1、 | b |? 4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

(2)已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),且 a ? ? b ,那么 a ? b 与 a ? b 的夹角的大小是 (3)已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 1200 ,若 c ? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角。 (4)| a |=1,| b |=2, c = a + b ,且 c ⊥a ,则向量 a 与 b 的夹角为 ( A.30° 解析: (1)C; (2) B.60° C.120° D.150° )

? ; 2

1 (3)由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 1200 ,所以, a ? b ? a b cos1200 ? ? , 2
c ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ,? c ? 7 ,同理可得? d ? 13 。
2

而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7a ? b ? 3b 2 ? 2a 2 ? ?

17 , 2

11

设 ? 为 c 与 d 的 夹角,则 cos? ? (4)C;设所求两向量的夹角为 ?
?

17 2 7 13

??

17 91 。 182

c ? a ? b    c?a
? 2 ? ?

?

?

?

?

? c . a ? ( a? b ) . a ?

?

?

?

?

2 ?

?

a ? .a ? b0

?

?

?| a | ? ? | a || b | cos ?

即: cos ? ?

? | a |2 | a || b |
? ?

?

??

|a| |b|
?

?

??

1 2

所以 ? ? 120o.

点评 :解决向量的夹角问题时要借助于公式 cos ? ?

a ?b | a |?|b|
? ?

,要掌握向量坐标形式的运算。
?

向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。 对于 a . b ?| a || b | cos ? 这个公式的变形应用应 该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。
b3 , 例 12. (1) 设平面向量 a1 、 如果向量 b1 、 满足 | bi |? 2 | a i | , a2 、 b2 、 a3 的和 a1 ? a 2 ? a3 ? 0 。

?

且 a i 顺 时针旋转 30 o 后与 bi 同 向,其中 i ? 1, 2,3 ,则( A.- b1 + b2 + b3 = 0 C. b1 + b2 - b3 = 0



B. b1 - b2 + b3 = 0 D. b1 + b2 + b3 = 0

(2)已知 | a |? 2 | b |? 0, 且关于 x 的方程 x 2 ? | a | x ? a ? b ? 0 有实根, 则 a 与 b 的夹角的取值 范围是( )

? A. [0, ] 6

? B. [ , ? ] 3

? 2? C. [ , ] 3 3

? D. [ , ? ] 6

解析: (1)D; (2)B; 点评:对于平面向量的数量积要 学会技巧性应用,解决好实际问题。 题型 8:向量的模 例 13. (1) 已知向量 a 与 b 的夹角为 120o , a ? 3, a ? b ? 13, 则 b 等于( A.5 B.4 C.3 D.1 ) D.5 )

(2)设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b,| a |? 1,| b |? 2 ,则 | c |2 ? ( A.1 B.2 C.4

解析: (1)B; (2)D; 点评:掌握向量数量积的逆运算 | a |?
a ?b | b | cosQ
12

,以及 a ?| a | 2 。

2

题型 9 :向量垂直、 平行的判定 例 14.已知向量 a ? (2,3) , b ? ( x,6) ,且 a // b ,则 x ? 解析:∵a // b , ∴x1 y 2 ? x2 y1 ,∴2 ? 6 ? 3 x ,∴x ? 4 。 例 15.已知 a ? ? 4,3? , b ? ? ?1, 2 ? , m ? a ? ?b , n ? 2a ? b ,按下列条件求实数 ? 的值。 (1) m ? n ; (2) m // n ; (3) m ? n 。 解析: m ? a ? ?b ? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8? [来源:学,科,网]
52 ; 9 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2



(1) m ? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ?

(3) m ? n ?
?? ?

?4 ? ? ?2 ? ?3 ? 2? ?2
2 ? 2 11 。 5

? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0

点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。 9.练习题: 1.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( A. AB B. DA C. BC D ) D. 0

2、已知向量 a ? (3,?1),b ? (?1,2), 则 ? 3a ? 2b 的坐标是( B ) A. (7,1) B. (?7,?1) C. (?7,1) )
1 D. ( ?4, ) 2

D. (7,?1)

1 3、已知向量 OM ? (3,?2), ON ? (?5,?1), 则 MN 等于 ( D 2 1 A. (8,1) B. (?8,1) C. ( 4 , ? ) 2

4、若 m ? 4, n ? 6 , m 与 n 的夹角是 135? ,则 m ? n 等于(C ) A.12 B. 12 2 C. ? 12 2 C D. ? 12 )

5.已知平面向量 a ? (3,1) , b ? ( x, ?3) ,且 a ? b ,则 x ? ( A. ?3 B. ?1 C. 1 D. 3

6、下列向量中,与 (3,2) 垂直的向量是( C )
13

A. (3,?2)

B. (2,3)

C. (?4,6) )

D. (?3,2)

7、已知 a ? (?1,3),b ? ( x,?1), 且 a ∥ b ,则 x 等于( C A.3 B. ? 3 C.
1 3

D. ? B) D. ? D )

1 3

8、若 a ? (3,4),b ? (5,12), 则 a 与 b 的夹角的余弦值为( A.

63 33 33 B. C. ? 65 65 65 ? 3 1 9、设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( 2 3

63 65

A. 300

B. 600

C. 750

D. 450 C )

10、已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 0 ,那么 a ? 3b ? ( A. 7 B. 10 C. 13 D. 4

11.已知下列命题中: (1)若 k ? R ,且 kb ? 0 ,则 k ? 0 或 b ? 0 , (2)若 a ? b ? 0 ,则 a ? 0 或 b ? 0 (3)若不平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |?| b | ,则 (a ? b) ? (a ? b) ? 0 (4)若 a 与 b 平行,则 a ? b ?| a | ? | b | 其中真命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
1 AB =___(-3,-2)______ 3

C



12.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则

13.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 0 ,则 a ? b ? 14、已知等边三角形 ABC 的边长为 1,则 AB ? BC ?
? 1 2

7



15、设 e1、 e2 是两个单位向量,它们的夹角是 60? ,则 (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) ? 16.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
2? 3

?

15 2


23 8

17.若 a ? 1 , b ? 2 ,a 与 b 的夹角为 60 0 ,若 (3 a ?5 b ) ? (ma ? b) ,则 m 的值为



18.若 A(1, 2), B(2,3), C(?2,5) ,试判断则△ABC 的形状___直角三角形____.

14

19.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行? (1) k ?
19 1 (2) k ? ? 4 3

20.已知 a ? (cos ? ,sin ? ) ,b ? (cos ? ,sin ? ) , (0 ?? ?? ??

) .求证:a ? b 与 a ? b 互相垂直;

? ? ? ? 3 5 21.已知 a ? (2,1) 与 b ? (1,2) ,问当实数 t 的值为多少时 a ? tb 最小。 5

22.已知向量 a ? (cos? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 4



15

10、向量中一些常用的结论: (1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用; (2) || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | ,特别地,当 a、 b 同向或有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b |

b 反 向 或 有 0 ? | a ? b |?| a | ? | b |? || a |? |b || b 不共线 ? || a | ? | b ||?| a ? b | ; 当 a、 ? a | ?b; | 当 a、
). ? || a |? |b || ? a | ?b ? | a | ? | b | (这些和实数比较类似 | ( 3 ) 在 ?ABC 中 , ① 若 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , C ? x3 , y3 ? , 则 其 重 心 的 坐 标 为
? x ? x ? x y ? y ? y3 ? 、 (-3,4) 、 (-1,-1) , G? 1 2 3 , 1 2 ? 。如若⊿ABC 的三边的中点分别为(2,1) 3 3 ? ?
2 4 则⊿ABC 的重心的坐标为_______(答: (? , ) ) ; 3 3 ② PG ? 1 ( PA ? PB ? PC ) ? G 为 ?ABC 的重心,特别地 PA ? PB ? PC ? 0 ? P 为 ?ABC 3

的重心; ③ PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? P 为 ?ABC 的垂心; ④向量 ? ( AB ? AC )(? ? 0) 所在直线过 ?ABC 的内心(是 ?BAC 的角平分线所在直线); | AB | | AC | ⑤ | AB | PC? | BC | PA? | CA | PB ? 0 ? P ?ABC 的内心;

? ,点 M 为平面内的任一点,则 MP ? MP1 ? ? MP2 , (3)若 P 分有向线段 PP 1 2 所成的比为
1? ?

MP 1 ? MP 2 ; 特别地 P 为 PP 1 2 的中点 ? MP ? 2

(4)向量 PA、 PB、 PC 中三终点 A、B、 C 共线 ? 存在实数 ?、? 使得 PA ? ? PB ? ? PC 且

? ? ? ? 1 . 如 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) , B(?1,3) , 若点 C 满 足
OC ? ?1 OA? ?2 OB ,其中 ?1 , ?2 ? R 且 ?1 ? ?2 ? 1,则点 C 的轨迹是_______(答:直线 AB)
? ??

? ??

? ??

16


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